Алгебра и начало анализа

Алгебра и начала анализа.

1. Линейная функция y = ax + b, ее свойства и график.

Ответ

2. Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, ее свойства и график.

Ответ

3. Функция y = k/x, ее свойства и график, график дробно-линейной функции (на конкретном приме-ре).

Ответ

4. Показательная функция y = ax, ее свойства и график.

Ответ

5. Логарифмическая функция y = loga x, ее свойства и график.

Ответ

6. Функция y = sin(x), ее свойства и график.

Ответ

7. Функция y = cos(x), ее свойства и график.

Ответ

8. Функция y = tg(x), ее свойства и график.

Ответ

9. Функция y = ctg(x), ее свойства и график.

Ответ

10. Арифметическая прогрессия, сумма первых n членов арифметической прогрессии.

Ответ

11. Геометрическая прогрессия, сумма первых n членов геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Ответ

12. Решение уравнения sin(x) = a, неравенств sin(x) > a, sin(x) < a.

Ответ

13. Решение уравнения cos(x) = a, неравенств cos(x) > a, cos(x) < a.

Ответ

14. Решение уравнения tg(x) = a, неравенств tg(x) > a, tg(x) < a.

Ответ

15. Формулы приведения (с выводом).

Ответ

16. Формулы синуса и косинуса суммы и разности двух аргументов (с доказательством).

Ответ

17. Тригонометрические функции двойного аргумента.

Ответ

18. Тригонометрические функции половинного аргумента.

Ответ

19. Формулы суммы и разности синусов, косинусов (с доказательством).

Ответ

20. Вывод формулы корней квадратного уравнения, теорема Виета.

Ответ

21. Логарифм произведения, степени, частного.

Ответ

22. Понятие производной, ее геометрический смысл и физический смысл.

Ответ

23. Правила вычисления производной.

Ответ

Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b – некоторые числа, называется линейной. Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, т. к. выражение kx + b имеет смысл при любых значениях х. График линейной функции y = kx + b есть прямая. Для построения графика, очевидно, достаточно двух точек, если k 0. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0 – тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох. График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного переноса графика функции y = kx.

Ответ №2. Опр. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax2 + bx + c, где х – независимая переменная, а, b и с – некоторые числа, причем а 0. Графиком квадратичной функции является парабола. Свойства функции y = ax2(частный случай) при а > 0. 1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат. 2. Если х 0, то y > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости. 3. График функции симметричен относительно оси Oy. 4. Функция убывает в промежутке (- ; 0] и возрастает в промежутке [0; + ). 5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции [0; + ). Свойства функции y = ax2 при а < 0. 1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат. 2. Если х 0, то y < 0. График функции расположен в нижней полуплоскости. 3. График функции симметричен относительно оси Oy. 4. Функция убывает в промежутке [0; + ) и возрастает в промежутке (- ; 0]. 5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции (- ; 0]. И, так, график функции y = ax2 + bx + c есть парабола, вершиной которой является точка (m; n), где m = , n= . Осью симметрии параболы служит прямая х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 – вниз.

Ответ 3

Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость выражается формулой , где – коэффициент обратной пропорциональности.

Область определения функции – есть множество всех чисел, отличных от нуля, т. е. . Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если же k<.0, то во II и IV координатных четвертях. Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается.

№ 4. Опр. Функция, заданная формулой y = ax, где а – некоторое положительное число, не равное еденице, называется показательной. 1. Функция y = ax при а>1 а) область определения – множество всех действительных чисел; б) множество значений – множество всех положительных чисел; в) функция возрастает; г) при х = 0 значение функции равно 1; д) если х > 0, то ax > 1; е) если х < 0, то 0< ax <1; 2. Функция y = ax при 0< а <1 а) область определения – множество всех действительных чисел; б) множество значений – множество всех положительных чисел; в) функция убывает; г) при х = 0 значение функции равно 1; д) если х > 0, то 0< ax <1; е) если х < 0, то ax > 1.

№5.Опр. Функцию, заданную формулой y = loga x называют логарифмической функцией с основанием а. Свойства функции y = loga x при a>1: а) D(f) = R+; б) E(f) = R; в) функция возрастает; г) если x = 1, то loga x = 0; д) если 0<x<1, то loga x < 0; е) если x > 1, то loga x > 0. Свойства функции y = loga x при 0<a<1: а) D(f) = R+; б) E(f) = R; в) функция убывает; г) если x = 1, то loga x = 0; д) если 0 < x < 1, то loga x > 0; е) если x > 1, то loga x < 0.

№6. Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, противолежащего острому углу, к гипотенузе называется синусом этого угла (обозначается sin ).

область определения – множество всех действительных чисел; множество значений – [-1; 1]; функция нечетная: sin(-x) = – sin(x) для всех ; функция периодическая с наименьшим положительным периодом ; sin(x) = 0 при x = ; sin(x) > 0 для всех ; sin(x) < 0 для всех ; функция возрастает на ; функция убывает на .

№ 7.Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, прилежащего к острому углу, к гипотенузе называется косинусом этого угла (обозначается cos )

область определения – множество всех действительных чисел; множество значений – [-1; 1]; функция четная: cos(-x) = cos(x) для всех ; функция периодическая с наименьшим положительным периодом ; cos(x) = 0 при ; cos(x) > 0 для всех ; cos(x) > 0 для всех ; функция возрастает на ; функция убывает на

№8.Опр. Отношение катета, противолежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом (обозначается tg ).

область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида; множество значений – вся числовая прямая; функция нечетная: tg(-x) = – tg(x) для всех х из области определения; функция периодическая с наименьшим положительным периодом ; tg(x) = 0 при х = ; tg(x) > 0 для всех ; tg(x) < 0 для всех ; функция возрастает на .

№9.Опр. Отношение катета, прилежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, противолежащему к этому углу, называется котангенсом (обозначается ctg )

область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида ; множество значений – вся числовая прямая; функция нечетная: ctg(-x) = – ctg(x) для всех х из области определения; функция периодическая с наименьшим положительным периодом ; ctg(x) = 0 при x = ; ctg(x) > 0 для всех ; ctg(x) < 0 для всех ; функция убывает на .

Ответ № 10

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией. Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. а2 – а1 = а3 – а2 = … = ak – ak-1 = … . Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d. Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn ), достаточно знать ее первый член а1 и разность d. Если разность арифметической прогрессии – положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью. Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е. (1) Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: an = a1 + d(n-1) . (2) Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид: (3) Если в формулу (3) подставить вместо аn его выражение по формуле (2), то получим соотношение Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a1 + an = a2 + an-1 = …, т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Ответ № 11

Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2 :b1 = b3 :b2 = … = bn :bn-1 = bn+1 :bn = … . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn ), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q. Если q > 0 (), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b1 = -2, q = 3, тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, … есть монотонно убывающая последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью. Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Последовательность (bn ) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е. (1) Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: (2) Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид: , (3) Если в формулу (3) подставить вместо bn его выражение по формуле (2), то получится соот-ношение. , (4) Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1 bn = b2 bn-1 = …, т. е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при

Пусть (xn ) – геометрическая прогрессия со знаменателем q, где И . Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию , называется предел суммы n первых ее членов при . Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S. Тогда верна формула .

№ 12

Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a

формула для корней уравнения sin(x) = a, где , имеет вид: Частные случаи: sin(x) = 0, x = sin(x) = 1, x = sin(x) = -1, x = формула для корней уравнения sin2 (x) = a, где , имеет вид: x=

Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a

Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими. При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a (sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y = sin(x). sin(x) = 0 если х = ; sin(x) = -1, если x = >; sin(x) > 0, если ; sin(x) < 0, если .

Ответ № 13

Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a

Формула для корней уравнения cos(x) = a, где , имеет вид: . Частные случаи: cos(x) = 1, x = ; cos(x) = 0, ; cos(x) = -1, x = Формула для корней уравнения cos2 (x) = a, где , имеет вид: .

Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a

Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y = cos(x); Важным моментом является знание, что: cos(x) = 0, если ; cos(x) = -1, если x = ; cos(x) = 1, если x = ; cos(x) > 0, если ; cos(x) > 0, если .

№ 14

Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a

Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: . Частные случаи: tg(x) = 0, x = ; tg(x) = 1, ; tg(x) = -1, . Формула для корней уравнения tg2 (x) = a, где , имеет вид:

Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a

Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y = tg(x). Важно знать, что: tg(x) > 0, если ; tg(x) < 0, если ; Тангенс не существует, если .

№ 15

Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов , , , , выражаются через значения sin , cos , tg И ctg . Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:

Функция

Аргумент

Sin

Cos

Cos

Sin

-sin

-cos

-cos

-sin

Sin

Cos

Sin

-sin

-cos

-cos

-sin

Sin

Cos

Cos

Tg

Ctg

-ctg

-tg

Tg

Ctg

-ctg

-tg

Tg

Ctg

Tg

-tg

-ctg

Ctg

Tg

-tg

-ctg

Ctg

Для облегчения запоминания приведенных формул нужно использовать следующие правила: a) при переходе от функций углов , К функциям угла Название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот; при переходе от функций углов , К функциям угла Название функции сохраняют; б) считая Острым углом (т. е. ), перед функцией угла Ставят такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов , , .

Все вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом: Любая тригонометрическая функция угла 90°n + По абсолютной величине равна той же функции угла , если число n – четное, и дополнительной функции, если число n – нечетное. При этом, если функция угла 90°n + . положительна, когда – острый угол, то знаки обеих функций одинаковы, если отрицательна, то различны.

№ 16

Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов: Рис.1 Рис.2 Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол И на угол (рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов И . Пусть координаты точки В равны х1 и y1, координаты точки С равны х2 и y2. Эти же координаты имеют соответственно и векторы И . По определению скалярного произведения векторов: = х1 х2 + y1 y2 . (1) Выразим скалярное произведение Через тригонометрические функции углов И . Из определения косинуса и синуса следует, что х1 = R cos , y1 = R sin , х2 = R cos , y2 = R sin . Подставив значения х1 , х2 , y1 , y2 в правую часть равенства (1), получим: = R2 cos cos + R2 sin sin = R2 (cos cos + sin sin). С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем: = Cos BOC = R2 cos BOC. Угол ВОС между векторами И Может быть равен (рис.1), – () (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos BOC = cos (). Поэтому = R2 cos (). Т. к. Равно также R2 (cos cos + sin sin), то cos() = cos cos + sin sin. cos( + ) = cos( – (-)) = cos cos(-) + sin sin(-) = cos cos – sin sin. Значит, cos( + ) = cos cos – sin sin. Формулы синуса суммы и разности двух аргументов: sin( + ) = cos( /2 – ( + )) = cos(( /2 – ) – ) = cos( /2 – ) cos + sin( /2 – ) sin = sin cos + cos sin. Значит, sin( + ) = sin cos + cos sin. sin() = sin( + (-)) = sin cos(-) + cos sin(-) = sin cos – cos sin. Значит, sin() = sin cos – cos sin.

№ 17

Формулы двойных углов

Формулы сложения позволяют выразить sin 2, cos 2, tg 2, ctg 2 через тригонометрические функции угла . Положим в формулах sin( + ) = sin cos + cos sin , cos( + ) = cos cos – sin sin , , . Равным . Получим тождества:

Sin 2 = 2 sin Cos ; cos 2 = cos2 – sin2 = 1 – sin2 = 2 cos2 – 1; ; .

№ 18

Формулы половинного аргумента

Выразив правую часть формулы cos 2 = cos2 – sin2 Через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям cos 2 = 1 – sin2 , cos 2 = 2 cos2 – 1. Если в данных соотношениях положить = /2, то получим: cos = 1 – 2 sin2 /2, cos 2 = 2 cos2 /2 – 1. (1) Из формул (1) следует, что (2), (3). Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим (4). В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол /2. Полезно знать следующую формулу: .

№ 19

Формулы суммы и разности синусов, косинусов

Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения. Чтобы представить в виде произведения сумму sin + sin , положим = x + y и = x – y и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим: sin + sin = sin (x + y) + sin (x – y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy – cosx siny = 2sinx cosy. Решив теперь систему уравнений = x + y, = x – y относительно x и y, получим х = , y = . Следовательно, sin + sin = 2 sin cos . Аналогичным образом выводят формулы: sin -sin = 2 cos sin ; cos + cos = 2 cos cos ; cos + cos = -2 sin sin .

№ 20

Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x2 + p x + q = 0, где , достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям равенства прибавить . Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы получаем равносильное уравнение = – q. Оно отличается от простейшего уравнения x2 = m только внешним видом: Стоит вместо x и – q – вместо m. Находим = . Отсюба х = – . Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет два корня. Но эти корни могут быть и мнимыми, если < q. Может также оказаться, что оба корня квадратного уравнения равны между собой, если = q. Возращаемся к обычному виду . 1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + p x + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т. е. х1 + х2 = – р, а х1 х2 = q. 2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х1 , х2 таковы, что х1 + х2 = – р и х1 х2 = q, то х1 и х2 – корни уравнения x2 + p x + q = 0.

№ 21

Опр. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b. Формулу (где b > 0, a > 0 и a 1) называют основным логарифмическим тождеством. Свойства логарифмов:

; ; Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей: . Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством: x = , y = . Перемножим почленно эти равенства, получаем: xy = = . Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан. Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя: . Ход доказательства аналогичен доказательству п.3 Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания: . При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным логарифмическим тождеством.

№ 22

Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения Функции в точке х0 к приращению Аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так: . Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х0 только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х0 , включая эту точку. Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке. Существование производной функции f в точке х0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х0 ; f(х0 )) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен . В этом состоит геометрический смысл производной. Механический смысл производной f ‘(x) функции у = f(x) – это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс.

№ 23

Производная суммы равна сумме производных, если они существуют: . Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 то их производные дифференцируемы в этой точке и . Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 , а С – постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и . Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в точке х0 и .


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (No Ratings Yet)
Loading...
Алгебра и начало анализа