Алгоритм решения Диофантовых уравнений

Алгоритм решения Диофантовых уравнений

Нижнегородская область

Г. Заволжье

2009 г.

В работе рассмотрен метод исследования Диофантовых уравнений и представлены решенные этим методом:

– великая теорема Ферма;

– уравнение Пелля;

– уравнения эллиптических кривых У2 =X3 +K,

(У2 =Х3 – Х, У2 =Х3 – Х+1, У2 =Х3 +аХ+В);

– иррациональные корни уравнения Х2 – У2 =1;

– поиск Пифагоровых троек;

– уравнение Каталана;

– уравнение гипотезы Билля

Решение Диофантовых уравнений

Лирическое отступление (ЛО) – 1

Все началось с теоремы Ферма.

В клубе фермистов оказался случайно, решал совершенно другую задачу, и неожиданно пришла идея ВТФ. Я даже не помнил ее классическое написание – хn +уn =сn, формулу ВТФ написал в виде хn = уn + сn, а потом не стал переучиваться, т. к. привык к своему написанию формулы.

ЛО – 2. При доказательстве ссылаюсь на закон распределения простых чисел. Можно было бы обойтись без упоминания оного. Просто сохранил историческую правду, т. к. лично для меня этот закон стал подсказкой.

ЛО – 3. Этот же подход был применен для решения уравнения гипотезы Биля и решения других уравнений. Выводы получились интересными.

Для себя обкатал этот метод на нескольких шуточных уравнениях. При профессиональном подходе, похоже, этот метод может дать как качественные выводы, так и количественные, окончательный же приговор этому методу будет сделан совместными усилиями.

Великая теорема Ферма. Решение

– не имеет решений в целых числах при показателе степени n>2.

Для доказательства данного утверждения было рассмотрено аналогичное функциональное уравнение. Чтобы получить функциональное уравнение надо обратиться к закону распределения простых чисел в ряду натуральных чисел. В таблице изображена матрица распределения составных чисел в ряду натуральных чисел.

4 +2 6 +2 8 +2 10 +2 12 +2 14 +2 16 +2 18

+2

+3

+4

+5

+6

+7

+8

+9

6 +3 9 +3 12 +3 15 +3 18 +3 21 +3 24 +3 27
+2

+ 6
+6
8

+4

12 16 20 24 28 32 36

+2

10 +5 15 20 25 30 35 40 45
+2

+6
+7
12 +6 18 24 30 36 42 48 54

+2

14 +7 21 28 35 42 49 56 63

+2

16 +8 24 32 40 48 56 64 72

+2

18 +9 27 36 45 54 63 72 81

Формула любого составного числа, соответствующего этой матрице, имеет вид – (I + 1) (J + 1), где I – номер столбца этой матрицы,

J – соответственно, номер строки этой матрицы. Для верхней строки (= 1) формула составного числа примет вид – 2(I + 1) – это ряд четных чисел.

Все это пока заготовка для доказательствавеликой теоремы Ферма (ВТФ).

Нечетные числа примут вид 2(I + 1) ± 1. В нашем случае пусть нечетные числа будут – 2(I + 1) – 1.

Чтобы доказать ВТФ надо рассмотреть три варианта:

– IX – четное число, У – четное число, Z – четное число;

– IIX – четное число, У – нечетное число, Z – нечетное число;

– IIIX – нечетное число, У – четное число, Z – нечетное число.

Вариант I. Пусть уравнение ВТФ верно для четных чисел.

В формулу ВТФ вставим аналитические выражения четных чисел.

[2(1 + 1)]n = [2(2 + 1)]n + [2(3 + 1)]n,

Где для определенности возьмем 1 > 2 > 3

После упрощения.

(1 + 1)n = (2 + 1)n + (3 + 1)n

По сути, природа этого уравнения та же, что и уравнения ВТФ, т. к. зависимость между Х, У, Z и столбцами матрицы I – функции соответствующие линейным уравнениям.

Можно составить систему подобных уравнений.

………………………………………… (а)

Каждое уравнение этой системы также является функциональным уравнением ВТФ.

Для обоснования данного утверждения рассмотрим следующий пример.

Вычислим несколько значений Соответствующих числу 10 по формуле четных чисел.

2(1 + 1)=10 1 =4

2(2 + 2)=10 2 =3

2(3 + 3)=10 3 =2

Т. е. переменная Может принимать значения от 1 до ¥.

Условием для существования системы уравнений (а) служат лишь условия

и .

Данные условия слабее условий существования пифагоровых троек, где, если (а, в, с) – пифагорова тройка, то таковою будет и тройка (nа, nв, nс), при всех n = 1, 2, 3 …

Т. е. система (а) должна быть справедливой для всего ряда натуральных чисел, при условии неизменности величин р и f, и условии 3 +1<½K½<¥.

Это следует при предположении справедливости уравнения ВТФ – .

У системы уравнений (а) есть 2 варианта:

– I – каждое уравнение системы имеет решение;

– II – каждое из уравнений системы не имеет решений.

Если взять в уравнении системы к = –3 , тогда уравнение примет вид

Данное уравнение вида не может иметь решений в целых числах при n>2.

Тогда не верно любое уравнение системы и следовательно не верно и уравнение ВТФ.

Рассматривались четные значения Х, У, Z.

В системе уравнений (а) переменные I принимают значения всех чисел натурального ряда, и четных и не четных. Тогда ВТФ тоже доказана для всего ряда натуральных чисел. Если же рассматривать варианты II и IIIдоказательства ВТФ, тогда функциональные уравнения примут вид:

II [2(1 +1)]n =[2(2 +1)-1]n +[2(3 +1)-1]n

III [2(1 +1)-1]n =[2(2 +1)]n +[2(3 +1)-1]n

Принципиально в доказательстве ВТФ это ничего не меняет.

Для обоснования данного, довольно – таки экзотического на сегодняшний день метода, далее будут рассмотрены некоторые известные задачи.

Уравнение Пелля

(1)

Рассмотрим 3 варианта:

– I Х – четное число, У – нечетное число, n – нечетное число;

– II Х – нечетное число, У – нечетное число, n – четное число;

– III Х – нечетное число, У – четное число, n – любое, и четное, и нечетное число.

И всегда ½Х½ > ½У½

Вариант I.

Составим функциональное уравнение.

, где, конечно же, 1 > 2

Возьмем к = – 2 ,тогда

После преобразований

(2)

Где ; .

Окончательно, после подстановки будет

, где n= 3, 15 . . . . .

Проверим при n= 3

А) ,

Б) ,

Подставим (а) в уравнение (1)

Для случая Х = 2, У = 1, n = 3 будет

Подставим (б) в уравнение (1)

Для

Проверка дает

Для

Проверка дает

Составим последующее функциональное уравнение.

После упрощения

Где ,

После подстановки

Следующее функциональное уравнение примет вид

После упрощения

Где ,

После подстановки

Получилась система бесконечных решений:

(3)

Вариант II.

Функциональное уравнение примет вид.

После преобразований будет

, где n четные числа n= 8, 24 ……

Само же выражение идентично формуле (2).

Система бесконечных решений примет вид системы (3).

Тогда система решений (3) будет общей для вариантов I и II при n – четных и нечетных числах.

Вариант III.

Также напишем функциональное уравнение.

Опускаю все вычисления, – напишу окончательный результат:

На решении данного уравнения Пелля подтверждено следующее утверждение из доказательства ВТФ:

Или все формулы системы функциональных уравнений имеют решения, или же в системе уравнений нет ни одной такой формулы.

Мне не приходилось встречать классического решения этого уравнения, – для меня это чистый экспромт. Специалисты могут сравнить.

Вообще же, этим методом решается любое уравнение вида:

,

А уравнение Пелля лишь как частный случай, при t = 2 и N= 1.

Уравнение

. (1)

(У2 =Х3 – Х, У2 =Х3 – Х+1, У2 =Х3 +аХ+В)

Рассмотрим 4 варианта:

– I У – нечетное число, Х – нечетное число, К – четное число;

– II У – нечетное число, Х – четное число, К – нечетное число;

– III У – четное число, Х – четное число, К – четное число;

– IV У – четное число, Х – нечетное число, К – нечетное число.

Решение этого уравнения принципиально ни чем не отличается от решения уравнения Пелля, – в обоих уравнениях наличие двух переменных.

Вариант I.

Во всех четырех вариантах У>Х, и следовательно 1 >2

Тогда будет

(2)

Получилась система уравнений (1) и (2).

Хотя и без решения системы часть решений уже можно определить.

Рассмотрим частный случай уравнения (2) при m=1.

,при m≥1.

Т. к. K четное число, тогда K=8, 24, 48, 80, 120, 168, 224, 288, 360 ….

Получится возрастающий ряд K.

Этому ряду K соответствует ряд разностей:

У-Х=2, 4, 6, 8, 10, 12 …. при положительных значениях радикала и

У-Х=-4, -6, -8, -10, -12 …. при отрицательных значениях радикала.

Рассмотрим четыре примера, взяв соответственно:

1) У-Х=2 K=8

2) У-Х=4 K=24

3) У-Х=6 K=48

4) У-Х=8 K=80

1) У=Х+2, подставим в уравнение (1) при K=8

Х1 =1 Х2 =2 Х3 =-2

У1 =3 У2 =4 У3 =0

K=8 K=8 K=8

2) У=Х+4

Х=1

У=5

K=24

3) У=Х+6

Х=1

У=7

K=48

4) У=Х+8

Х1 =1 Х2 =4 Х3 =-4

У1 =9 У2 =12 У3 =4

K=80 K=80 K=80

Вариант II.

(3)

Подставляем в (3), получаем

, m≥1.

При m=1 K примет значения -7, 1, 17, 41, 73, 113 ….;

Как и в предыдущем варианте получится возрастающий ряд K, и ему соответствует ряд разностей:

У-Х=-1, 1, 3, 5, 7, 9….; У-Х=-3, -5, -7, -9….

Вариант III.

После подстановки 1 , 2 , окончательно получим

, m≥1.

При m=1 K примет значения -4, 8, 28, 56 ….

Этому ряду K соответствует ряд разностей:

У-Х=0, 2, 4, 6….; У-Х=-4, -6, -8, -10….

Вариант IV.

, m≥1.

При m=1 K примет значения 3, 15, 35, 63, 99 ….

Этому ряду K соответствует ряд разностей:

У-Х=1, 3, 5, 7, 9 ….; У-Х=-3, -5, -7, -9, -11….

Уравнения У2 =Х3 – Х, У2 =Х3 – Х+1, У2 =Х3 +аХ+В и прочие уравнения эллиптических кривых познавательного интереса для данного алгоритма не представляют.

Повторяясь, скажу, важно лишь количество неизвестных. Поэтому распишу лишь первое из них.

– I У – четное число, Х – нечетное число;

– II У – четное число, Х – четное число, всегда У > Х, и как следствие 1 >2 .

Вариант I.

Т. к.

Тогда

После подстановки

Вариант II.

Сразу пишу ответ

И после всех преобразований и подстановок

Работа при исследовании уравнений данным алгоритмом достаточно монотонная.

Исследование уравнения Проведено, кстати, не до конца.

Не рассмотрена ситуация У < Х.

Иррациональные корни уравнения

.

Известно, что данное уравнение имеет иррациональные корни. Но для решения, предположим, что уравнение увидели впервые. И тогда начало решения будет традиционным для данного алгоритма.

Рассмотрим 2 варианта:

– I Х – четное число, У – нечетное число;

– II Х – нечетное число, У – четное число.

Всегда Х > У

Вариант I.

Функциональное уравнение общего вида будет:

, где , (1)

Преобразования изображу подробно

(2)

В уравнении (1),

Тогда ,

Значения и подставим в формулу (2)

Исходное уравнение

Запишем в виде

Тогда

До конца не преобразуя, оставляю решение в виде системы

(3)

Вариант II.

, где , (4)

Преобразования без комментариев.

(5)

В уравнении (4)

Тогда ,

Значения и подставим в формулу (5)

И сразу пишу систему решений

(6)

Итого: иррациональными решениями уравнения

Являются две системы уравнений (3) и (6).

Отрицательные значения радикалов не рассматриваю.

Поиск Пифагоровых троек

(1)

Пусть Х – нечетное число, У – четное число, Z – нечетное число

И Х > У >Z.

,

Уравнение Представлено в виде , и далее оно расписано в виде произведения (2)

Можно составить три системы уравнений:

А)

Б)

В)

И по порядку начинаем рассматривать все три варианта.

Заранее составим заготовку для их решения.

Откуда следует

(3)

А)

Произведя подстановку соотношений (3) и с учетом уравнений (2) получим систему из трех уравнений с тремя же неизвестными.

После соответствующих преобразований будет

Перед радикалом убран знак “минус” ибо комплексные решения не интересуют.

Простой перебор значений mдает следующие результаты:

– при m=2 , тогда

– при m=7 , тогда

Б) Система (б) после сокращений примет вид

После подстановок (3) и с учетом уравнения (2) получим систему уравнений:

Откуда

При m≥1, Z=1, 3, 5, 7, 9, 11…. т. е. все нечетные числа, хотя единицу надо убрать, ибо она не удовлетворяет условию системы (4).

Из (Х-У)(Х+У)=Z2 получаем, систему уравнений

(4)

Решая данную систему, получаем ряд значений Пифагоровых троек.

Х 5 13 25 41 61 85 113 145 181 221 265 313 365 421
У 4 12 24 40 60 84 112 144 180 220 264 312 364 420
Z 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

В этой таблице, когда Z является простым числом, дальнейшие расчеты Пифагоровых троек отсутствуют.

Когда Z является составным числом, возможен дальнейший расчет.

Возьмем Z=15 Z2 =225

225=1х 225; 3х75; 5х45; 9х25

Будем рассматривать систему (4), подставляя подчеркнутые произведения.

Х=39, У=36, Z=15, после сокращения на три

Х=13, У=12, Z=5

Х=25, У=20, Z=15, после сокращения на пять

Х=5, У=4, Z=3

Х=17, У=8, Z=15, несколько неожиданный

результат, ибо рассматривается по условию У > Z.

Возьмем Z=27 Z2 =729

729=1х729; 3х243; 9х81

Расчет показывает

Х=123, У=120, Z=27, после сокращения на три Х=41, У=40, Z=9;

Х=45, У=36, Z=27, после сокращения на девять Х=5, У=4, Z=3.

Возьмем Z=35 Z2 =1225

1225 = 1х1225; 5х245; 7х175; 25х49.

Х = 125 (25),... 91 (13), 37

У = 120 (24), 84 (12), 12

Z = 35 (7), 35 (5), 35

И последний раз в качестве примера

Возьмем Z=39 Z2 =1521

1521=1х1521; 3х507; 9х169; 13х117.

Х = 255 (85), 89, 65

У = 252 (84), 80, 52

Z = 39 (13), 39, 39

К сожалению системы пока не вижу.

В) После преобразований получается:

И формула для Z.

Рассмотрим следующий вариант.

От вышеуказанного он отличается следующим условием: У < Z,

А следовательно и <.

Получается девять систем уравнений.

Г)

Д)

Е)

Ж)

З)

И)

К)

Л)

М)

И после подстановки в эти девять систем значений

Из соотношений (3), получается также девять систем значений Х, У, Z.

Г)

Д)

Е)

Ж)

З)

И)

К)

Л)

М)

И далее, – все девять систем надо решить.

Г)

– нет решения в целых числах при любых m.

Д)

Е) , при m=2, У=8;

Решим уравнение (X-Z)(X+Z)=64 перебором произведений

64=1х64; 2х32; 4х16.

Из соотношения 2х32, получаем

Т. е.

Система

Дает значения

Ж) – нет корней в целых числах.

З) , при m=2, У=12 и т. д.

Разберем до конца У=12и соответственно У2 =144.

Число 144 дает следующие интересующие нас произведения

144=2х72; 4х36; 6х24; 8х18.

Из формулы (Х-Z)(X+Z)=У2 получим следующие значения Х, У, Z.

Х 37 20 (5) 15 (5) 13
У 12 12 (3) 12 (4) 12
Z35 16 (4) 9 (3) 5

И) – нет корней в целых числах.

К) – нет корней в целых числах.

Л) – нет корней в целых числах.

М) – нет корней в целых числах.

Рассмотрим следующий вариант:

– пусть все три числа четные и Х>У>Z, как и >>.

Заранее знаю, что после сокращения всех членов на 22 уравнение перейдет в область всех натуральных чисел.

Из последнего уравнения составим три системы уравнений, после соответствующих преобразований, используя соотношения

П)

Р)

Рассмотрим все три полученные системы уравнений (н), (п), (р).

Н) и преобразуя – Z=2m, получились все четные числа при m ≥1.

В таблице приведены значения троек для m ≤10, при условии Х-У=2.

Х 5 10 26 37 50 65 82 101
У 3 8 24 35 48 63 80 99
Z 4 6 10 12 14 16 18 20

П) – то же выражение, что и в (н).

Р)

После упрощения.

При m=2, 3 значения троек будут

Х 13 34 (17)
У 5 16 (8)
Z12 30 (15)

При рассмотрении вопроса о Пифагоровых тройках не было целью составление таблиц этих троек. Ибо целью этой статьи является показ возможностей алгоритма решения Диофантовых уравнений.

Решение уравнения Каталана

Уравнение данного вида получается при попытке решения гипотезы Биля. Поэтому решение данного уравнения является как бы леммой гипотезы Биля. Ответ будет дан лишь в качественной оценке. Количественный анализ принципиально не труден, но нуден.

Рассмотрим 2 варианта:

– I А – четное число, В – нечетное число;

– II А – нечетное число, В – четное число.

Каждый из вариантов распадается опять же на два случая:

А > В, Х < У;

А < В, Х > У.

И требуется перебрать комбинацииХ, У – четные – нечетные числа.

Итого 16 вариантов. Плюс варианты гипотезы Биля.

И если все это обилие решать количественно, – это уже приличная работа для издания отдельной брошюры, а не публикации в формате статьи.

Вариант I.

1. А > В, Х < УХ – четное число, У – четное число.

Основания и показатели расписываю за один заход.

, где конечно же 1 >2 ,а 1 < 2 .

Вначале разбираемся с показателями

На второй стадии пройдусь по основаниям

Равенство левой и правой части уравнения невозможно.

Тогда и исходное уравнение решений не имеет.

2. А > В, Х < УХ – нечетное число, У – нечетное число.

Во всех решениях вначале степень, затем основание

Решим полученное условие относительно А и В.

После подстановки А=В+1.

Т. е., чтобы уравнение Ах – Ву =1 существовало при заданных условиях д. б. А=В+1.

3. А > В, Х < УХ – четное число, У – нечетное число.

После преобразований

Далее вывод, как и в примере (1).

4. А > В, Х < УХ – нечетное число, У – четное число.

Результат, как и в примере (2).

5. А < В, Х > УХ – четное число, У – четное число.

Нет решения, ибо это формула разности квадратов.

6. А < В, Х > У Х – нечетное число, У – нечетное число.

Решение у такой формулы возможно.

7. А < В, Х > УХ – четное число, У – нечетное число.

Противоречий для существования данной формулы нет.

8. А < В, Х > УХ – нечетное число, У – четное число.

И окончательно.

Запрета на существование такого уравнения не вижу, но дальнейший анализ не в этой статье.

Вариант II.

9. А > В, Х < УХ – четное число, У – четное число.

Уравнение разности квадратов – тогда решений не существует.

10. А > В, Х < УХ – нечетное число, У – нечетное число.

Уравнение реальное – тогда решение есть.

11. А > В, Х < УХ – четное число, У – нечетное число.

Уравнение реальное.

Пример: 32 -23 =1

12. А > В, Х < УХ – нечетное число, У – четное число.

Решение существует.

13. А < В, Х > УХ – четное число, У – четное число.

14. А < В, Х > УХ – нечетное число, У – нечетное число.

15. А < В, Х > УХ – четное число, У – нечетное число.

16. А < В, Х > УХ – нечетное число, У – четное число.

(а)

Для случаев 13, 14, 15, 16 итоговое уравнение одинаковое.

Рассмотрим эти четыре случая чуть подробнее.

, тогда

После подставим в уравнение (а) получим

, при начальном условии .

Тогда варианты 13, 14, 15, 16 – не верны.

Из рассмотренных выше задач, при всех вариантах начальных условий, – 8 задач решений в целых числах не имеют.

Для закрепления материала предлагаю рассмотреть два заведомо не имеющих решения уравнения.

Первый пример.

Пусть: А – четное число.

В – нечетное число.

А > В, Х > У, Х – четное число, У – нечетное число.

Основное противоречие состоит в условии А > В, Х > У.

,

Что, конечно же, не возможно, т. к. левая часть всегда больше правой.

Второй пример.

Пусть: А – нечетное число.

В – четное число.

А > В, Х > У, Х – четное число, У – нечетное число.

После соответствующих преобразований

,

Что, конечно же, не возможно.

Гипотеза Биля (ГБ).

, где А, В, С – взаимно простые числа и Х, У, Z > 2.

Рассмотрим 2 варианта:

– I А – четное число, В – нечетное число, С – нечетное число;

– II А – нечетное число, В – четное число, С – нечетное число.

Строго говоря, чтобы полностью разобрать ГБ, надо рассмотреть все варианты решения уравнений.

Но дело в том, что новый метод исследования диофантовых уравнений говорит о том, что ГБ не верна, т. е. уравнение при некоторых сочетаниях А, В, С, Х, У, Zможет иметь место. По этому будет рассмотрено лишь два примера, которые указывают на возможность решения уравнения.

Вариант I.

А) Пусть А > В > С, и Х < У < Z, и А – четное число, В – нечетное число, С – нечетное число.

Составим функциональное уравнение.

Подразумевая систему функциональных уравнений, возьмем к = – 3

(1)

Возьмем обозначение

Уравнение (1) примет вид уравнения Каталана

И именно из этого и следует наличие решений у уравнения ГБ.

Вариант II.

А) Пусть А > В > С, и Х < У < Z, гдеХ, У – нечетные числа, А – нечетное число, В – четное число, С – нечетное число.

Составим функциональное уравнение.

Решая относительно основания, получим

Проведу преобразование в показателях

После упрощения.

Вполне реальное уравнение, которое должно иметь место.

В настоящей работе представлен сравнительно небольшой анализ. Более серьезным анализом займусь в зиму 2009-2010 годов.

И приведу один контр пример.

Заведомо противоречивое начальное условие – в примере (а) пусть

Х > У > Z.

Тогда в уравнении Каталана

,

И тогда не может иметь место знак равенства.

Т. е. задача с заведомо неверными начальными условиями исключается сразу.

Вот почему и есть основание верить в решения в целых числах у уравнения ГБ.

Заключение

Данному алгоритму на момент появления в интернете всего два месяца. Дите.

Что можно нарешать за два месяца? А больше я себе не могу позволить заниматься не профилирующим предметом в моей трудовой деятельности.

Напоследок хочу коснуться одной практической проблемы при решении Диофантовых уравнений данным методом.

Сколько раз можно “бить” по уравнению, представленным алгоритмом?

Можно по отношению к конкретному уравнению теоретически на единицу меньше, чем число неизвестных в данном уравнении.

Первая стадия – убираем самое меньшее неизвестное. А на второй стадии уже надо знать разницу между оставшимся самым маленьким числом, и предстоящим. Или же не зная этой разницы, вводить параметр.

Почему это происходит?

На первой стадии мы наши неизвестные приблизим к началу числовой оси. Если самое наименьшее число четное, то оно будет находиться на позиции “два”, а если не четное – то на позиции “один”.

И чтобы еще по уравнению пройтись представленным алгоритмом, надо все неизвестные “откатить” от начала числовой оси на несколько шагов. Приведу простейший пример.

Пусть есть уравнение Х3 +У3 +Z3 =6903

И пусть каким – то одним нам известным способом мы узнаем, что Х, У, Z – нечетные и следуют подряд.

Сдвигаю неизвестные на “шаг” от начала оси.

У=2m+1, при m=6 У=13

Z=2m-1, при m=6 Z=11

При m=6 Х=15

Данный метод позволяет данные вычисления.

Часть 2

Подход к решению уравнений

(1)

(2)

Сейчас данные уравнения, насколько мне известно, решены для n=4.

Т. е. доказано наличие для каждого из уравнений бесконечного количества сочетаний натуральных чисел a, b, c, d удовлетворяющим условиям равенств уравнений (1), (2).

Причем доказательства основаны на компьютерном поиске данных чисел. Нашли компьютерным расчетом для n=4, отлично – теперь сделайте тоже самое для n=5 и т. д., т. к. даже для n=1000 в целом проблема не будет закрыта.

Мне кажется, что есть общий подход к доказательству утверждения о существовании равенств в уравнениях (1), (2) при любых n®¥.

Я сомневаюсь, что мои рассуждения сойдут за доказательства, но направление, может быть, окажется верным.

I.

Существует наличие сочетаний a, b, c, dна четность и нечетность.

Разберу одну возможность, – пусть все числа a, b, c, d будут четными.

А далее буду использовать алгоритм решения Диофантовых уравнений.

Составлю систему уравнений. Бумагу экономить не буду, – распишу подробно.

В этих уравнениях пусть 1 > 3 > 4 > 2 – очевидное предположение.

Произведу в уравнениях системы сокращения на 2n и члены с 2 перенесу в правую часть уравнений, а члены с 3 – в левую.

Сокращением же на 2n от четных значений a, b, c, d уравнения системы переведены в значения всего натурального ряда.

Далее используются формулы разности степеней.

+…..+=+…..+

+…..+=+…..+

+…..+=+…..+

+…..+=+…..+

+…..+=+…..+

Т. к. ,, система (4) примет вид:

P+…..+=f+…..+

P+…..+= f+…..+

P+…..+= f +…..+

P+…..+= f+…..+

P+…..+= f+…..+

Т. е. у каждого уравнения начальной системы уравнений (3) произведено понижение формы.

Ну и конечно же доказательство надо вести не от nк n-1, а наоборот, – от n=2 поэтапно к n®¥.

Уравнение (2) доказывается аналогичным образом.

и т. д.

Мне в вышеизложенное и самому не на все 100% верится.

Поэтому я взываю к коллективному разуму.

Главное сомнение же вот в чем:

В таком разе все уравнения с нечетным числом членов решений в натуральных числах не будут иметь, ну или не так строго, могут не иметь.

Т. к. нет понижения формы у одного из членов уравнения.

Как, например, у уравнения (2) бесконечное число сочетаний натуральных чисел a, b, c, dсуществует, тогда, как у уравнения

Таких сочетаний может и не быть.

И без компьютерного расчета, хотя бы для n=3, не обойтись, и если взять мои утверждения, и очень убедительные контрдоводы кого-либо другого.


Зараз ви читаєте: Алгоритм решения Диофантовых уравнений