Аналитическая теория чисел. L-функция Дирихле

Содержание

Введение

§1. Характеры Дирихле и L-функции Дирихле

§2. Функция θ(x,χ), ее функциональное уравнение

§3. Аналитическое продолжение L-функции Дирихле на комплексную плоскость

§4. Функциональное уравнение для L-функции Дирихле. Тривиальные нули L-функции Дирихле

§5. Нетривиальные нули L-функции Дирихле

5.1 Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций

5.2 О бесконечности целых нетривиальных нулей L-функции Дирихле 12

§6. Обобщенная гипотеза Римана

Библиографический список

Введение

Теория L-функций Дирихле развилась в одно из важнейших вспомогательных средств аналитической теории чисел. Большую роль в приложениях играет исследование нулей L-функций Дирихле.

В аналитической теории чисел L-функция Дирихле играет такую же роль, как и ζ-функция при решении задач теории чисел, а именно задач, связанных с распределением простых чисел в арифметических прогрессиях и в задачах, связанных с оценками арифметических сумм.

Предметом исследования данной курсовой работы является распределение значений L-функций Дирихле, результаты Гурвица о выводе функционального уравнения для L-функции Дирихле и как следствие, показать, что L-функции Дирихле в критической полосе имеют бесконечное число нулей. Эти функции ввел в 1837 г. Густав Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Основные результаты были получены в 1922 году А. Гурвицем.

В данной курсовой работе изложение материала отражает основные свойства L-функций Дирихле и соответствует результатам, полеченным Гурвицем касающимся L-функций Дирихле.

В заключении данной работы приводится гипотеза о распределении нулей дзета-функции, сформулированная Бернхардом Риманом в 1859 году. Гипотеза Римана входит в список семи “проблем тысячелетия”.

§1. Характеры Дирихле и L – функции Дирихле

Прежде всего определим характеры по модулю k, равному степени простого числа, и докажем их основные свойства. Характеры по произвольному модулю к определим затем через характеры по модулю, равному степени простого числа; при этом основные свойства последних сохранятся.

Пусть k=ра, где р> 2 – простое число, α≥1. Как известно, по модулю kсуществуют первообразные корни, и пусть g – наименьший из них. Через indnбудем обозначать индекс числа п, (п, к) = 1, по модулю kпри основании g, т. е. число γ = γ(п) = indnтакое, что

(modk).

Определение 1.1. Характером по модулю k= ра, р>2 – простое, α≥ 1, называется конечнозначная мультипликативная периодическая функция χ(n), областью определения которой является множество целых чисел п, и такая, что

Где т – целое число.

Из определения характера видно, что функция Зависит от параметра т, является периодической по т с периодом φ(k), т. е. существует, вообще говоря, φ(k) характеров по модулю k, которые получаются, если брать т равным 0, 1, …, φ(k) – 1.

Пусть теперь k= 2α , α≥ 3. Как известно, для любого нечетного числа п существует система индексов γ0 = γ0 (п) и γ1 = γ1 (n) по модулю k, т. е. такие числа γ0 и γ1 , что

Таким образом, числа γ0 и γ1 определяются с точностью до слагаемых, кратных соответственно 2 и 2α-2 .

Определение 1.2. Характером по модулю к = 2α , α≥1, называется функция областью определения которой является множество целых чисел п, определенная одной из следующих формул:

Где m0 , m1 целые числа.

Из определения 1.2. видно, что функция Зависит от параметров т0 и m1 является периодической по m0 и m1 , с периодами соответственно 2 и 2α-2 т. е. существует, вообще говоря, φ(k), =< φ(kα ) характеров по модулю k= 2α , которые получаются, если брать m0 , равным 0, 1, а m1 равным 0, 1, …, 2α-2 – 1.

Ввиду того, что индекс числа или система индексов числа периодические с периодом, равным модулю функции, аддитивные, т. е. индекс произведения (соответственно система индексов произведения) равняется сумме индексов сомножителей (соответственно сумме систем индексов сомножителей), получаем следующие свойства характера χ (п):

1. по модулю k – периодическая с периодом k функция, т. е.

;

2. -мультипликативная функция, т. е.

Очевидно также, что

χ(1) = 1.

L-ряды Дирихле – функции комплексного переменного, подобные дзета-функции Римана, введены Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Везде ниже под L-рядом будем понимать L-ряд Дирихле.

Пусть k – натуральное число и χ – какой-либо характер по модулю k.

Определение 1.3. L-функцией называется ряд Дирихле вида:

Ввиду того, что|χ(n)|≤1, следует аналитичность L(s, χ) в полуплоскости Res>l. Для L(s, χ) имеет место аналог формулы Эйлера (эйлеровское произведение).

Лемма 1.1. При Res > 1 справедливо равенство

Доказательство. При X > 1 рассмотрим функцию

Так как Res > 1, то

Следовательно,

(воспользовались мультипликативностью χ(n) и однозначностью разложения натуральных чисел на простые сомножители). Далее,

Где σ=Res>l. Переходя в (2) к пределу Х→+∞, получим утверждение леммы.

Из (1) находим

Т. е. L(s, χ)≠0 при Res>l. Если характер χ по модулю kявляется главным, то L(s, χ) лишь простым множителем отличается от дзета-функции ζ(s).

Лемма 1.2. Пусть χ(n) = χ 0 (n) по модулю k. Тогда при Res> 1

Доказательство леммы следует из (6) и определения главного характера χ0 (n).

Следствие. L(s, χ) – аналитическая функция во всей s-плоскости, за исключением точки s = 1, где она имеет простой полюс с вычетом, равным

Если характер χ(n) является производным, aχ1 (n) – примитивный характер по модулю k1 , kt \k, отвечающий χ(n), то L(s, χ)лишь простым множителем отличается от L(s, χ1 ).

Лемма 1.3. Пусть χ1 – примитивный характер по модулю k1 и χ – индуцированный χ1 производный характер по модулю k, kt ≠ k. Тогда при Res> 1

Доказательство леммы следует из (1) и свойств χ1 и χ.

Функцию L(s, χ) можно продолжить в полуплоскость Res> 1

Лемма 1.4. Пусть χ≠χ0 , тогда при Res>0 справедливо равенство

Где

Доказательство. Пусть N ≥1, Res>l. Применяя преобразование Абеля, будем иметь

Где

Переходя к пределу N → +∞, получим (8) при Res>l. Но |S(x)|≤φ(k); поэтому интеграл в (3) сходится в полуплоскости Res> 0 и определяет там аналитическую функцию, что и требовалось доказать.

§2. Функция θ( x,χ), ее функциональное уравнение

Функциональное уравнение будет получено для L(s, χ)с примитивным характером χ; тем самым и в силу леммы 3 L(s, χ) будет продолжена на всю s-плоскость при любом χ. Вид функционального уравнения зависит от того, четным или нечетным является характер χ, т. е. χ(-1)=+1 или χ(-1)=-1

Прежде чем вывести функциональное уравнение для L(s, χ) и продолжить L(s, χ) на всю s-плоскость, докажем вспомогательное утверждение, аналогичное функциональному уравнению для θ(х) (см. лемму 3, IV).

Лемма 2.1. Пусть χ – примитивный характер по модулю k. Для четного характера χ определим функцию θ (x, χ) равенством

А для нечетного характера х определим функцию θ1 (x, χ) равенством

Тогда для введенных функций θ (x, χ) и θ1 (x, χ) справедливы следующие соотношения (функциональные уравнения):

Где τ(χ) – сумма Гаусса.

Доказательство. Воспользуемся доказанным в лемме 3, IV равенством

Где x > 0, α – вещественное.

Имеем

Что доказывает равенство (6).

Чтобы доказать равенство (7), продифференцируем почленно (8) и заменим x на х/к, α на m/k (указанные ряды можно почленно дифференцировать, так как получающиеся после этого ряды равномерно сходятся). Получим

Отсюда, как и выше, выводим

Лемма доказана.

§3. Аналитическое продолжение L – функции Дирихле на комплексную плоскость

Получим аналитическое продолжение функции L(s, χ) в область Res >0.

Лемма 3.1.Пусть χ(n) – неглавный характер по модулю m,

Тогда при Res > 1 справедливо равенство

Доказательство. Пусть N≥1, Res >1 . Применяя частное суммирование, будем иметь

Где c(x)=S(x)-1. Так как |c(x)|≤x, то, переходя к пределу N, получим

Что и требовалось доказать.

§4. Функциональное уравнение для L – функции Дирихле. Тривиальные нули L – функции Дирихле

Теорема 4.1. (функциональное уравнение). Пусть χ- примитивный характер по модулю k,

Тогда справедливо равенство

Доказательство, по-существу, повторяет вывод функционального уравнения для дзета-функции (теорема 1, IV).

Предположим, что χ(-1)=+1. Имеем

Умножая последнее равенство на χ (п) и суммируя по п, при Res > 1 получим

Ввиду того, что χ – четный характер, имеем

Разбивая последний интеграл на два, производя в одном из них замену переменной интегрирования (х → 1/х) и пользуясь (6), найдем

Правая часть этого равенства является аналитической функцией при любом sи, следовательно, дает аналитическое продолжение L(s, χ) на всю s-плоскость. Так как Г(s/2)≠0, то L(s, χ) – регулярная всюду функция. Далее, при замене s на 1 – s и χ на , правая часть (10) умножается на , так как χ(- 1)=1 и, следовательно, τ(χ) τ()= τ(χ) = k. Отсюда получаем утверждение теоремы при δ = 0.

Предположим, что χ(-1) = -1. Имеем

Следовательно, при Res > 1

Последнее равенство дает регулярное продолжение L(s, χ) на всю s-плоскость; правая часть его при замене s на 1 – s и χ на, умножается на iВвиду того, что

τ(χ) τ()= – k.

Отсюда получаем утверждение теоремы при δ = 1. Теорема доказана.

Следствие. L(s, χ) – целая функция; если χ (-1) = +1, то единственными нулями L(s, χ) при Res≤ 0 являются полюсы Г , т. е. точки s = 0, -2, -4, …;

Если χ (-1) = -1, то единственными нулями L(s, χ) приRes≤ 0 являются полюсы Г т. е. точки s = -1, -3, -5, .. .

Дирихле тривиальный вейерштрасс риман

§5. Нетривиальные нули L – функции Дирихле

Тривиальные нули L-функции Дирихле

ξ(s, χ) – целая функция; если χ (-1) = +1, то единственными нулями L(s, χ) при Res≤0 являются полюсы ,т. е. точки s =0, -2. -4, …; если χ (-1) = -1, то единственными нулями L(s, χ) при Res≤0 являются полюсы т. е. точки s = -1,-3, -5, .. .

5.1 Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций

Теорема 5.1 . Пусть a1 , …, ап, … – бесконечная последовательность комплексных чисел, причем

0< |a1 | ≤ |a1 | ≤…≤|аn |<…

И lim= 0.

Тогда существует целая функция G(s), которая имеет своими нулями только числа ап (если среди ап есть равные, то нуль G(s) будет иметь соответствующую кратность).

Следствие 5.1. Пусть последовательность чисел a1 , …, ап, … удовлетворяет условиям теоремы 5.1., и, кроме того, существует целое число р > 0 такое, что сходится ряд

Тогда функция G1 (s),

Удовлетворяет теореме5. 1.

Теорема 5.2. Каждая целая функция G(s) может быть представлена в виде

Где H(s) – целая функция, а числа 0, a1 ,a2 , …, а…,– нули G(s), расположенные в порядке возрастания их модулей. Если, кроме того, последовательность аn, п = 1,2,…, удовлетворяет условиям следствия 5.1., то

Доказательство. Нули G(s) не могут иметь предельной точки, т. е. их можно расположить в порядке возрастания модулей. По теореме 5.1. построим целую функцию G1 (s), имеющую своими нулями нули G(s). Полагая

при s≠an,

Видим, что φ(s) – целая функция, нигде не равная нулю, т. е. и логарифм φ(s) – целая функция. Но тогда φ(s) = eH(s) , где H(s) – целая функция. Так же доказывается второе утверждение теоремы. Теорема доказана.

Теорема 5.3. Пусть G(s)- целая функция конечного порядка α и G(0)≠0, sn – последовательность всех нулей G(s), причем 0 < |s1 | ≤ |s2 | ≤ … ≤|sn |≤ … Тогда последовательность sn имеет конечный показатель сходимости β≤α,

Где p≥0- наименьшее целое число, для которого

G(s)- многочлен степени g ≤α и α = max (g, β) Если, кроме того, для любого с > 0 найдется бесконечная последовательность r1 , r2 , …, rn, …, rn +∞, такая, что

Max |G(s)|>, |s| = rn, n = 1, 2, …,

То α=β и ряд расходится.

5.2 О бесконечности целых нетривиальных нулей L – функции Дирихле

Из следствия к теореме 4.1 видно, что функция L(s, χ), χ- примитивный характер, имеет в полуплоскости Res < 0 лишь действительные нули; эти нули являются полюсами или называются тривиальными; тривиальным также называется нуль s = 0. Кроме тривиальных функция L(s, χ) имеет подобно дзета-функции бесконечно много нетривиальных нулей, лежащих в полосе (критическая полоса) 0 ≤ Res≤ 1.

Теорема 5.1. Пусть χ- примитивный характер. Тогда функция ξ(s, χ) является целой функцией первого порядка, имеющей бесконечно много нулей ρn таких, что 0≤Re ρn ≤ 1, ρn ≠0, причем ряд Расходится, а ряд

Сходится при любом ε > 0. Нули ξ(s, χ) являются нетривиальными нулями L(s, χ).

Доказательство. При Re≥1/2

Последняя оценка |ξ(s, χ)| в силу функционального уравнения (9) из §4 и равенства

Справедлива также при Res<l/2; кроме того ξ(0, χ)≠ 0. Поскольку In Г(s) ~ slnsпри s-> +∞, по теореме 5.3 получаем первое утверждение теоремы. Так как L(s, χ)≠0 при Res>l, то из

Следует, что ξ(s, χ) ≠0 при Res < 0, т. о. нули ξ(s, χ) являются нетривиальными нулями L(s, χ),лежащими в полосе 0≤Res≤l. Теорема доказана.

§6. Обобщенная гипотеза Римана

Функция ζ(s) определена для всех комплексных s≠1 , и имеет нули для отрицательных целых s = -2, -4, -6 …. Из функционального уравнения

,

И явного выражения

При Res >1 следует, что все остальные нули, т. е. нетривиальные, расположены в полосе 0≤Res ≤ 1 симметрично относительно критической линии . Гипотеза Римана утверждает, что:

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную .

Обобщенная гипотеза Римана состоит из того же самого утверждения для обобщений дзета-функций, то есть L-функций Дирихле

Библиографический список

1. А. Л. Карацуба, Основы аналитической теории чисел // 2-е над.- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. -240 с.

2. С. М. Воронин, А. А. Карацуба, Дзета-функция Римана // М.: Физматлит. 1994. -376с.


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (No Ratings Yet)
Loading...
Аналитическая теория чисел. L-функция Дирихле