Эконометрика 6

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Филиал в г. Брянске

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине

ЭКОНОМЕТРИКА

ВЫПОЛНИЛ(А)Симонова Н. С.
СТУДЕНТ(КА)3 курса (“вечер”, поток 1)
СПЕЦИАЛЬНОСТЬФинансы и кредит
№ ЗАЧ. КНИЖКИ06ффд15027
ПРЕПОДАВАТЕЛЬМалашенко В. М.

Брянск – 2009

ЗАДАЧА 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпускаемой продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.):

№ предприятияXY
12226
24852
33143
43638
54354
65253
72835
82637
94247
105958

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию углового коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; определить стандартную ошибку регрессии; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок метода наименьших квадратов.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t – критерия Стьюдента (уровень значимости a=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации R 2 ; проверить значимость уравнения регрессии с помощью F – критерия Фишера (уровень значимости a=0,05); найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование значения показателя Y при уровне значимости a=0,1, если прогнозное значения фактора Х составит 80 % от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

-логарифмической;

-степенной;

-показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

РЕШЕНИЕ

Для решения задачи используется табличный процессор EXCEL.

1. С помощью надстройки “Анализ данных ” EXCELпроводим регрессионный анализ и определяем параметры уравнения линейной регрессии (меню “Сервис” ® “Анализ данных… ” ® “Регрессия “):

(Для копирования снимка окна в буфер обмена данных WINDOWS используется комбинация клавиш Alt+PrintScreen.)

В результате этого уравнение регрессии будет иметь вид:

(прил. 1 ).

Угловой коэффициент b 1 =0,785 является по своей сути средним абсолютным приростом. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на 0,785 млн. руб.

2. При проведении регрессионного анализа в EXCEL одновременно были определены остатки регрессии (i =1, 2, …, n, где n =10 – число наблюдений значений переменных X и Y ) (см. “Вывод остатка ” в прил. 1 ) и рассчитана остаточная сумма квадратов

(см. “Дисперсионный анализ ” в прил. 1 ).

Стандартная ошибка линейной парной регрессии S рег определена там же:

млн. руб.

(см. “Регрессионную статистику ” в прил. 1 ), где p =1 – число факторов в регрессионной модели.

График остатков ei от предсказанных уравнением регрессии значений результата (i =1, 2, …, n ) строим с помощью диаграммы EXCEL. Предварительно в “Выводе остатка ” прил. 1 выделяются блоки ячеек “Предсказанное Y ” и “Остатки ” вместе с заголовками, а затем выбирается пункт меню “Вставка” ® “Диаграмма… ” ® “Точечная “:

График остатков приведен в прил. 2 .

3. Проверим выполнение предпосылок обычного метода наименьших квадратов.

1) Случайный характер остатков. Визуальный анализ графика остатков не выявляет в них какой-либо явной закономерности.

Проверим исходные данные на наличие аномальных наблюдений объема выпускаемой продукции Y (выбросов ). С этой целю сравним абсолютные величины стандартизированных остатков (см. “Вывод остатка ” в прил. 1 ) с табличным значением t – критерия Стьюдента для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы остатка регрессии , которое составляет t таб =2,306.

Видно, что ни один из стандартизированных остатков не превышает по абсолютной величине табличное значение t – критерия Стьюдента. Это свидетельствует об отсутствии выбросов.

2) Нулевая средняя величина остатков. Данная предпосылка всегда выполняется для линейных моделей со свободным коэффициентом b 0 , параметры которых оцениваются обычным методом наименьших квадратов. В нашей модели алгебраическая сумма остатков и, следовательно, их среднее, равны нулю: (см. прил. 1 ).

Для вычисления суммы и среднего значений остатков использовались встроенные функции EXCEL “СУММ ” и “СРЗНАЧ “.

3) Одинаковая дисперсия (гомоскедастичность) остатков. Выполнение данной предпосылки проверим методом Глейзера в предположении линейной зависимости среднего квадратического отклонения возмущений от предсказанных уравнением регрессии значений результата (i =1, 2, …, n ). Для этого рассчитывается коэффициент корреляции между абсолютными величинами остатков и (i =1, 2, …, n ) с помощью выражения, составленного из встроенных функций:

=КОРРЕЛ(ABS(“Остатки “);”Предсказанное Y “)

Коэффициент корреляции оказался равным (см. прил. 1 ).

Критическое значение коэффициента корреляции для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы Составляетr кр =0,632.

Так как коэффициент корреляции не превышает по абсолютной величине критическое значение, то статистическая гипотеза об одинаковой дисперсии остатков не отклоняется на уровне значимости a=0,05.

4) Отсутствие автокорреляции в остатках. Выполнение данной предпосылки проверяем методом Дарбина-Уотсона. Предварительно ряд остатков упорядочивается в зависимости от последовательно возрастающих значений результата Y, предсказанных уравнением регрессии. Для этой цели в “Выводе остатка ” прил. 1 выделяется любая ячейка в столбце “Предсказанное Y “, и на панели инструментов нажимается кнопка “” (“Сортировка по возрастанию “). По упорядоченному ряду остатков рассчитываем d – статистику Дарбина-Уотсона

(см. прил. 1 ).

Для расчетаd – статистики использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:

=СУММКВРАЗН(“Остатки 2, …, n “;”Остатки 1, …, n -1”)/СУММКВ(“Остатки 1, …,n “)

Критические значения d – статистики для числа наблюдений n =10, числа факторов p =1 и уровня значимости a=0,05 составляют: d 1 =0,88; d 2 =1,32.

Так как выполняется условие

,

Статистическая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках не отклоняется на уровне значимости a=0,05.

Проверим отсутствие автокорреляции в остатках также и по коэффициенту автокорреляции остатков первого порядка

(см. прил. 1 ).

(ряд остатков упорядочен в той же самой последовательности).

Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций:

=СУММПРОИЗВ(“Остатки 2, …, n “;”Остатки 1, …, n -1”)/СУММКВ(“Остатки 1, …,n “)

Критическое значение коэффициента автокорреляции для числа наблюдений n =10 и уровня значимости a=0,05 составляет r (1)кр =0,632. Так как коэффициент автокорреляции остатков первого порядка не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это еще раз указывает на отсутствие автокорреляции в остатках.

5) Нормальный закон распределения остатков. Выполнение этой предпосылки проверяем с помощью R /S – критерия, определяемого по формуле

,

Где e max =6,32; e min =(-5,19) – наибольший и наименьший остатки соответственно (определялись с помощью встроенных функций “МАКС ” и “МИН “); – стандартное отклонение ряда остатков (определено с помощью встроенной функции “СТАНДОТКЛОН “) (см. прил. 1 ).

Критические границы R / S – критерия для числа наблюдений n =10 и уровня значимости a=0,05 имеют значения: (R /S )1 =2,67 и (R /S )2 =3,69.

Так как расчетное значение R /S – критерия попадает в интервал между критическими границами, то статистическая гипотеза о нормальном законе распределения остатков не отклоняется на уровне значимости a=0,05.

Проведенная проверка показала, что выполняются все пять предпосылок обычного метода наименьших квадратов. Это свидетельствует об адекватности регрессионной модели исследуемому экономическому явлению.

4. Проверим статистическую значимость коэффициентовb 0 и b 1 уравнения регрессии. Табличное значение t – критерия Стьюдента для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы остатка линейной парной регрессии составляет t таб =2,306.

T – статистики коэффициентов

,

Были определены при проведении регрессионного анализа в EXCEL и имеют следующие значения: tb 0 “3,202; tb 1 “7,288 (см. прил. 1 ). Анализ этих значений показывает, что по абсолютной величине все они превышают табличное значение t – критерия Стьюдента. Это свидетельствует о статистической значимости обоих коэффициентов. На то же самое обстоятельство указывают и вероятности случайного формирования коэффициентов b 0 и b 1 , которые ниже допустимого уровня значимости a=0,05 (см. “P-Значение” ).

Статистическая значимость углового коэффициента b 1 дает основание говорить о существенном (значимом) влиянии изменения объема капиталовложений X на изменение объема выпускаемой продукции Y.

5. Коэффициент детерминацииR 2 линейной модели также был определен при проведении регрессионного анализа в EXCEL:

(см. “Регрессионную статистику ” в прил. 1 ).

ЗначениеR 2 показывает, что линейная модель объясняет 86,9 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

F – статистика линейной модели имеет значение

(см. “Дисперсионный анализ ” в прил. 1 ).

Табличное значениеF – критерия Фишера для уровня значимости a=0,05 и чисел степеней свободы числителя (регрессии) и знаменателя (остатка) составляетF таб =5,32. Так как F – статистика превышает табличное значениеF – критерия Фишера, то это свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом. На этот же факт указывает и то, что вероятность случайного формирования уравнения регрессии в том виде, в каком оно получено, составляет 8,49×10-5 (см. “Значимость F ” в “Дисперсионном анализе ” прил. 1 ), что ниже допустимого уровня значимости a=0,05.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по приближенной формуле

,

Где млн. руб. – средний объем выпускаемой продукции, определенный с помощью встроенной функции “СРЗНАЧ ” (см. “Исходные данные ” в прил. 1 ).

Значение Е отн показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 7,1 %. Линейная модель имеет хорошую точность.

По результатам проверок, проведенных в пунктах 3 – 5, можно сделать вывод о достаточно хорошем качестве линейной модели и возможности ее использования для целей анализа и прогнозирования объема выпускаемой продукции.

6. Спрогнозируем объем выпускаемой продукции Y, если прогнозное значение объема капиталовложений X составит 80 % от своего максимального значения в исходных данных:

– максимальное значение X – x max =59 млн. руб. (см. “Исходные данные ” в прил. 1 );

– прогнозное значение X – млн. руб.

Среднее прогнозируемое значение объема выпускаемой продукции (точечный прогноз ) равно

млн. руб.

Стандартная ошибка прогноза фактического значенияобъема выпускаемой продукцииy 0 рассчитывается по формуле

млн. руб.,

Где млн. руб. – средний объем капиталовложений; млн. руб. – стандартное отклонение объема капиталовложений (определены с помощью встроенных функций “СРЗНАЧ ” и “СТАНДОТКЛОН “) (см. “Исходные данные ” в прил. 1 ).

Интервальный прогноз фактического значения объема выпускаемой продукцииy 0 с надежностью (доверительной вероятностью) g=0,9 (уровень значимости a=0,1) имеет вид:

млн. руб.,

Гдеt таб =1,860 – табличное значение t – критерия Стьюдента при уровне значимости a=0,1 и числе степеней свободы .

Таким образом, объем выпускаемой продукции Y с вероятностью 90 % будет находиться в интервале от 43,2 до 58,8 млн. руб.

7. График, на котором изображены фактические и предсказанные уравнением регрессии значения Y строим с помощью диаграммы EXCEL (меню “Вставка” ® “Диаграмма… ” ® “Точечная “). Далее строим линию линейного тренда (меню “Диаграмма” ® “Добавить линию тренда… ” ® “Линейная “), и устанавливаем вывод на диаграмме уравнения регрессии и коэффициента детерминации R 2 :

Точки точечного и интервального прогнозов наносим на график вручную (прил. 3 ).

8. Логарифмическую, степенную и показательную модели также строим с помощью диаграммы EXCEL (меню “Вставка” ® “Диаграмма… ” ® “Точечная “). Далее последовательно строим соответствующие линии тренда (меню “Диаграмма” ® “Добавить линию тренда… “), и устанавливаем вывод на диаграмме уравнения регрессии и коэффициента детерминации R 2 :

Графики линий регрессии, уравнения регрессии и значения R 2 приведены в прил. 4 . Рассмотрим последовательно каждую модель.

1) Логарифмическая модель :

.

Значение параметра b 1 =29,9 показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 % объем выпускаемой продукцииY возрастает в среднем на млн. руб.

Коэффициент детерминации R 2 “0,898 показывает, что логарифмическая модель объясняет 89,8 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

F – статистика Фишера логарифмической модели определяется через коэффициент детерминации R 2 по формуле

.

Табличное значениеF – критерия Фишера одинаково как для линейной, так и для всех нелинейных моделей, которые здесь строятся (F таб =5,32). Так как F – статистика превышает табличное значениеF – критерия, то это свидетельствует о статистической значимости уравнения логарифмической регрессии.

Стандартная ошибка логарифмической регрессии также рассчитывается через коэффициент детерминации R 2 по формуле

млн. руб.,

Где млн. руб. – стандартное отклонение объема выпускаемой продукции, определенное с помощью встроенной функции “СТАНДОТКЛОН ” (см. “Исходные данные ” в прил. 1 ).

Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по приближенной формуле

.

Предсказанные уравнением логарифмической регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 6,2 %. Логарифмическая модель имеет хорошую точность.

2) Степенная модель:

.

Показатель степени b 1 =0,721 является средним коэффициентом эластичности. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 % объем выпускаемой продукцииY возрастает в среднем на 0,721 %.

Коэффициент детерминации R 2 “0,873 показывает, что степенная модель объясняет 87,3 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

F – статистика степенной модели

Также превышает табличное значениеF – критерия Фишера (F таб =5,32), что указывает на статистическую значимость уравнения степенной регрессии.

Стандартная ошибка степенной регрессии равна

млн. руб.

Средняя относительная ошибка аппроксимации имеет значение

.

Предсказанные уравнением степенной регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 7,0 %. Степенная модель имеет хорошую точность.

3) Показательная (экспоненциальная) модель:

,

Где е=2,718… – основание натуральных логарифмов; – функция экспоненты (в EXCEL встроенная функция “EXP “).

Параметр b 1 =1,019 является средним коэффициентом роста. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукцииY возрастает в среднем в 1,019 раза, то есть на 1,9 %.

Коэффициент детерминации R 2 “0,821 показывает, что показательная модель объясняет 82,1 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

F – статистика показательной модели

Превышает табличное значениеF – критерия Фишера (F таб =5,32), что свидетельствует о статистической значимости уравнения показательной регрессии.

Стандартная ошибка показательной регрессии:

млн. руб.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

.

Предсказанные уравнением показательной регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 8,3 %. Показательная модель имеет хорошую точность.

Сравнивая между собой коэффициенты детерминации R 2 четырех построенных моделей (линейной, логарифмической, степенной и показательной), можно придти к выводу, что лучшей моделью является логарифмическая модель, так как она имеет самое большое значение R 2 .

ПРИЛОЖЕНИЕ: компьютерные распечатки на 4 листах.

ЗАДАЧА 2

Задача 2а и 2б

Для каждого варианта даны по две структурные формы модели, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

Номер вариантаНомер уравненияЗадача 2аЗадача 2б
ПеременныеПеременные
У 1У 2У 3Х 1Х 2Х 3X 4У 1У 2У 3Х 1Х 2Х 3X 4
111-1B 12B 13A 11A 1200-1B 12B 13A 11A 1200
2B 21-10A 21A 22A 230B 21-100A 22A 230
3B 31B 32-100A 33A 34B 31B 32-1A 31A 320A 34

РЕШЕНИЕ

Задача 2а

Используя матрицу коэффициентов модели в исходных данных, записываем систему одновременных уравнений регрессии в структурной форме:

Проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

В первом уравнении три эндогенные переменные: y 1 ,y 2 иy 3 (H =3). В нем отсутствуют экзогенные переменные x 3 и x 4 (D =2). Необходимое условие идентификации Выполнено. Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x 3 и x 4 , отсутствующих в данном уравнении, но имеющихся в системе:

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменныхПеременные
X 3X 4
2A 230
3A 33A 34

Определитель данной матрицы не равен нулю:

,

А ее ранг равен 2. В заданной системе уравнений три эндогенные переменные – y 1 , y 2 и y 3 . Так как ранг матрицы не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие идентификации для данного уравнения выполнено. Первое уравнение считается идентифицируемым.

Во втором уравнении две эндогенные переменные: y 1 и y 2 (H =2). В нем отсутствует одна экзогенная переменная x 4 (D =1). Необходимое условие идентификации Выполнено. Составим матрицу из коэффициентов при переменных y 3 и x 4 , которые отсутствуют во втором уравнении:

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменныхПеременные
Y 3X 4
1B 130
3-1A 34

Определитель данной матрицы не равен нулю:

,

А ее ранг равен 2. Значит, достаточное условие идентификации выполнено, и второе уравнение считается идентифицируемым.

В третьем уравнении три эндогенные переменные: y 1 , y 2 и y 3 (H =3). В нем отсутствует экзогенные переменные x 1 и x 2 (D =2). Необходимое условие идентификации Выполнено. Составим матрицу из коэффициентов при переменных х 1 и x 2 , которые отсутствуют в третьем уравнении:

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменныхПеременные
X 1X 2
1A 11A 12
2A 21A 22

Определитель данной матрицы равен

,

А ее ранг – 2. Если , то это означает, что достаточное условие идентификации выполнено, и третье уравнение можно считать идентифицируемым.

Таким образом, все три уравнения заданной системы идентифицируемы, а значит, идентифицируема и вся система в целом.

Задача 2б

Используя матрицукоэффициентов модели в исходных данных, записываем систему одновременных уравнений регрессии в структурной форме:

Проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

В первом уравнении три эндогенные переменные: y 1 ,y 2 иy 3 (H =3). В нем отсутствуют экзогенные переменные x 3 и x 4 (D =2). Необходимое условие идентификации Выполнено. Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x 3 и x 4 , отсутствующих в данном уравнении, но имеющихся в системе:

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменныхПеременные
X 3X 4
2A 230
30A 34

Определитель матрицы не равен нулю:

,

А ее ранг матрицы равен 2. В заданной системе уравнений три эндогенные переменные – y 1 , y 2 и y 3 . Так как ранг матрицы не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие идентификации для данного уравнения выполнено. Первое уравнение считается идентифицируемым.

Во втором уравнении две эндогенные переменные: y 1 и y 2 (H =2). В нем отсутствует экзогенные переменные x 1 и x 4 (D =2). Так как , то это означает, что данное уравнение сверхидентифицируемо.

В третьем уравнении три эндогенные переменные: y 1 , y 2 и y 3 (H =3). В нем отсутствует одна экзогенная переменная x 3 (D =1). Так как , то это означает, что данное уравнение неидентифицируемо.

Таким образом, первое уравнение заданной системы идентифицируемо, второе – сверхидентифицируемо, а третье – неидентифицируемо. Если хотя бы одно уравнение системы неидентифицируемо, то вся система считается неидентифицируемой. Данная система является неидентифицируемой и не имеет статистического решения.

Задача 2в

По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида:

ВариантNУ 1У 2Х 1Х 2
11133,037,1311
245,949,3716
342,241,679
451,445,9109
549,037,4101
649,352,3816

РЕШЕНИЕ

С помощью табличного процессора EXCELстроим два приведенных уравнения системы одновременных уравнений регрессии (меню “Сервис” ® “Анализ данных… ” ® “Регрессия “):

Данные уравнения образуют приведенную форму системы одновременных уравнений регрессии:

Коэффициенты приведенной формы имеют следующие значения:d 10 “19,90; d 11 “2,821; d 12 “0,394; d 20 “19,14; d 21 “1,679 и d 22 “1,181 (см. прил. ).

Таким образом, приведенная форма системы уравнений имеет вид:

Определим коэффициенты структурной формы системы уравнений

Структурные коэффициенты определяются по формулам:

;

;

;

;

;

.

Окончательно структурная форма системы одновременных уравнений регрессии примет вид:

ПРИЛОЖЕНИЕ: компьютерная распечатка на 1 листе.


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (No Ratings Yet)
Loading...
Эконометрика 6