Экономико-математическое моделиpование

ЗАДАЧА №2

Построить сетевую модель ремонта Вашей квартиры

А) определить критический путь

Б) рассчитать поздние сроки окончания и начала событий

В) рассчитать ранние сроки окончания и начала событий

Г) рассчитать резервы событий

Решение:

Делаем ремонт двухкомнатной квартиры улучшенной планировки: жилая комната, детская, кухня, ванна, туалет и коридор.

2. Необходимо сделать:

– сменить обои во всех помещениях;

– покрасить окна;

– в зале и коридоре сделать подвесные потолки с рассеяным светом

– в оттальных помещениях потолок покрывается краской КЧ

– покрасить входную дверь;

– постелить по всей квартире линолиум

3. Строим таблицу ремонта и сетевой график

4.”Четырехсекторным” методом рассчитываем параметры сетевого графика и определяем “критический путь”.

5. Расчитываем параметры сетевого графика и резервы времени

ЗА ДАЧА 1
Условие задачи:
В табице приведены показатели коэффициентов прямых затрат и
Объемы конечных продуктов трех взаимосвязанных отраслей
Рассчитать:
1) Валовые выпуски отраслей
2) объемы межотраслевых поставок
3) матрицу полных затрат итерационным методом, ограничившись
Уровнем косвенных затрат третьего порядка
Произво-дящие отраслиКоэффициенты прямых затрат Потребляющие отраслиКонечный продукт Yi
123
10,20,10,005100
20,150,10,25100
30,30,050,1200
Р е ш е н и е
1. Валовый выпуск отраслей находим по формуле:
X = ( E – A )-1 * Y ( 1 )
1.1 Найдем матрицу ( E – A )
(E-А)0,8-0,1-0,005
-0,150,9-0,25
-0,3-0,050,9
1.2 Найдем элементы обратной матрицы ( E – A )-1
D=0,615613Детерминант матрицы (Е-А)
Алгебраические дополнения каждого элемента матрицы (Е-А):
A11=0,80
A12=0,21
A13=0,28
A21=0,09
A22=0,72
A23=0,07
A31=0,03
A32=0,20
A33=0,71

1.3 Искомая матрица :
Y
(E-A)-1 =1,2995190,14620,04792

100
0,3411241,16710,3261100
0,4548320,11371,1452200
1.4 определим валовый выпуск продукции в каждой отрасли
По формуле X=(E-А)-1*Y
Х1=154,16
Х2=216,04
Х3=285,89
2. Найдем объемы межотраслевых поставок
Xij =aij *Xj, где Xj – валовый продукт j отрасли, а aij – прямые затраты
Матрица межотраслевых поставок:

30,8315,42

0,77
Мij=32,4121,6054,01
85,7714,2928,59
3) Найдем полные затраты итерационным методом
Как известно, чтобы получить матрицу косвенных затрат первого
Порядка надо матрицу прямых затрат Аij умножить саму на себя
Каждый элемент матрицы косвенных затрат первого порядка можно
Найти по формуле:Aij(1) = aAik*akj

0,0565
0,03030,0265
Аij(1) =0,120,03750,05075
0,09750,040,024
Чтобы получить матрицу косвенных затрат второго порядка, нужно
Матрицу прямых затрат умножить справа на матрицу косвенных затрат
Первого порядка
Аij(2) =Аij *Аij(1)
Каждый элемент матрицы косвенных затрат второго порядка можно
Найти по формуле:Aij(2) = aAik*akj(1)
Итак матрица косвенных затрат второго порядка:

0,0237880,010,0105
Аij(2) =0,044850,01830,01505
0,03270,0150,01289
Матрица косвенных затрат третьего порядка:

0,0094060,00390,00367

Аij(3) =0,0162280,00710,0063
0,0126490,00540,01289
Матрица полных затрат :

Sij=
0,2896940,14420,04566
0,3310780,16290,3221
0,4428490,11040,14978

Ремонт. Задача 2

РаботаСодержание работыДлитель-ность, часы
Кухня
0-1Удаление старых обоев4
1-2Оклейка кафельной плиткой40
0-2Окраска оконных рам4
2-3Потолок покрывается краской КЧ2
3-4Оклейка обоями10
Зал
0-5Удаление старых обоев в жилой комнате, подготовка стен(затираем неровности, покрываем клеем)8
5-6Работа с электропроводкой10
0-7Подготовка (удаление старой краски, шлифовка) и окраска оконных рам20
6-7Изготовление подвесного потолка40
7-12Оклейка обоями15
Детская комната
0-8Удаление старых обоев в детской5
8-9Потолок покрывается краской КЧ2
0-9Окраска оконных рам4
9-10Оклейка обоями12
Ванная и туалет
0-11Красим ванную10
11-12Красим туалет8
Коридор
12-13Удаление старых обоев4
6-13Работа с электропроводкой5
13-14Изготовление подвесного потолка30
14-15Оклейка обоями15
15-16Покраска входной двери
Линолиум по всей квартире
7-16Линолиум в зале16
10-16Линолиум в детской12
4-16Линолиум в кухне12
16-17Линолиум в коридоре16

Таблица ко 2 задаче

Параметры сетевого графика и резерв
IJTijTjранTiранTjпоздTiпоздTijTijTijTijRij
Раннее началоРаннее окончаниеПозднее окончаниеПозднее началоРезерв
123456789101112
0144062004625858
1240444102624441026258
0244401020041029858
2324644104102444610410258
34105646114104465611410458
416121265612611456681261140
058808008800
56101881888181880
072058058002058380
674058185818185858180
613577187718182377720
7121573587358587373580
71616126581265858741261100
085501000051009595
094701020041029895
892751021005710210095
9101219711410271911410295
1016121261141261141141261261140
01110100650010655555
1112873107365101873650
1213477737773737777730
131430107771077777107107770
1415151221071221071071221221070
151641261221261221221261261220
1617161421261421261261421421260

Задача 3

Х1Х2
050
0,126,11
0,218,48
0,312,93
0,48,411
0,54,529
0,61,088
0,7-2,02

График №3

З А Д АЧА 4
Условие задачи.
Задана следующая экономическая ситуация. Завод выпускает изделия двух
Типов А и В. При этом используется сырье четырех видов. Расход
Сырья каждого вида на изготовление еденицы продукции и запасы сырья
Заданы в таблице
ИзделияСырье
1234
А2102
В3011
Запасы сырья214610
Выпуск изделия А приносит 3 денежные еденицы, В – 2 денежные единицы.
Составить план производства, обеспечивающий максимальную
Прибыль
А) составьте матиматическую модель задачи;
Б) поясните смысл целевой функции и ограничении
Решение:
А) Математическая модель
2×1+3×2 <=21
X1 <=4
X2+ <=6
2×1+ x2 <=10
X1 >=0
X2 >=0
Б) Суммарный расход каждого вида сырья на весь выпуск не должен
Превышать заданного ограничения.
Валовая реализация (сумма объемов реализации по каждому виду
Продукции в денежном выражении) должна стремиться при заданных
Условиях к максиму
В) Решать будем симплекс методом
Преобразуем неравенства в равенства, для этого введем четыре
Дополнительные переменные
2×1+3×2+ x3 =21
X1 + x4 =4
X2 +x5 =6
2×1+x2+ x6 =10
F=3×1+2×2+0*x3+0*x4+0*x5+0*x6 -> max
Перепишем в виде систем 0 уравнений
0= 21-(2×1+3×2+x3)
0= 4-( x1 + x4)
0= 6-( x2+ х5)
0=10-(2х1+х2+ х6)
F=0-(-3×1-2×2-0*x3-0*x4-0*x5-0*x6)
Система уравнений может быть записана в виде векторного равенства
0=В – (А1х1+А2х2+А3х3+А4х4+А5х5+А6х6)
В – свободные члены
А1…А6 коэффициенты при переменных х1…х6
Линейная форма имеет вид : f=c1x1+c2x2+c3x3+c4x4+c5x5+c6x6
Векторы А3,А4, А5,А6 составляют базис
Составляем первую симплекс таблицу
Базисный векторКоэф. лин. формы сВектор св. член bB/a3 A12 A20 A30 A40 A50 A6
А302110,5231000

A4
044100100
A5060010010
A60105210001
Индексная строка fj-сj0-3-2
Решение:Х1=0,х2=0,х3=21,х4=4,х5=6,х6=10
F=0
Так как в индексной строке есть отрицательные элементы – решение не
Является оптимальным.
A1 вводим в базис вместо вектора А4
Базисный векторКоэф. лин. формы сВектор св. член bB/a3 A12 A20 A30 A40 A50 A6
A30134 1/3031-200
A1340100100
А5066010010

A6
022010-201
Индексная строка fj-сj0-20300
Решение:Х1=4,х2=0,х3=13,х4=0,х5=6,х6=2
F=12
Так как в индексной строке есть отрицательные элементы – решение не
Является оптимальным.
A2 вводим в базис вместо вектора А6
Базисный векторКоэф. лин. формы сВектор св. член bB/a8 A17 A26 A30 A40 A50 A6

A3
071 3/400140-3
A1344100100
А504200021-1
A222-1010-201
Индексная строка fj-сj000-102
Решение:X1=4, x2=2; x3=7; x4=0;x5=4;x6=0
F=12
Так как в индексной строке есть отрицательные элементы – решение не
Является оптимальным.
A4 вводим в базис вместо вектора А3
Базисный векторКоэф. лин. формы сВектор св. член bB/a8 A17 A26 A30 A40 A50 A6
A401 3/4001/410– 3/4
A132 1/410– 1/4003/4
А501/200– 1/2011/4
A225 1/2011/200-1 1/2
Индексная строка fj-сj001/4001 1/4
Решение:X1=2,25, x2=5,5; x3=0; x4=1 3/4;x5=1/2;x6=0
F=17,75
В индексной строке нет отрицательных элементов, следовательно
Дальнейшее увеличение значения линейной формы невозможно мы получили
Оптимальную программу
Максимальная прибыль достигается при изготовлении первого вида
Продукции 2,25 у. е., а второго 5,5 у. е.
Так как нам не было задано условие целочисленности, такие значения
Допустимы, например в качестве условных едениц – тысячи тонн.
ЗАДАЧА 5
Наити максимум функции F при заданных ограничениях
F = x1+2×2 ->max
3×1+x2 >=3(1)
3×1-x2 <=0(2)
X1-x2 >=3(3)
X1>=0(4)
X2>=0(5)
Решить графическим методом
Решение
1.Из условия знакоположительности – первой допустимой областью
Решения является первая четверть декартовой системы координат
2. Построим области допустимых значений, для этого построим линии
Для каждого из уравнений
3×1+x2 =3
3×1-x2 =0
X1-x2 =3
И линию для функции f
X1+2×2 =0
3. Наидем область допустимых значений
4. Как видно на графике области допустимых значений для
Ограничении (1),(2) и (3) не пересекаются, значит система не имеет
Допустимых решений. Ограничения противоречивы.
5.Для того чтобы система была решаема, она должна быть например
ТакойF = x1+2×2 ->max
3×1+x2 <=3
3×1-x2 <=0
X1-x2 <=3
X1>=0
X2>=0
Тогда область допустимых решений – треугольник АВС
И функция F достигает максимума в точке С (0;3) и F=6
УравненияЗначения
X1X2
Для уравнения 3×1+x2=303
2-3
Для уравнения 3×1-x2=000
26
Для уравнения x1-x2=30-3
52
Для уравнения x1+2×2=000
(линия функции)5-2,5

Диаграмма к 5

ЗАДАЧА 6
Имеются следующие данные об урожайности зерновых культур Y (в ц/га)
Количестве осадков Х1 (в см) выпавших в вегетационный период
I12345678910
Yi23242727323133353432
Xi25273035363839414245
Требуется :
А)Определить параметры уравнения регрессии;
Б) определить коэффициент парной корреляции и проверить его
Статическую надежность
1. Количественные оценки связи между величинами случайного процесса
Устанавливает регрессионный анализ. Связи между переменными могут
Линейные и нелинейные. В простейшем случае значения Y выражаются в
Виде линейной зависимости :
Y =a + bX,
Где a и b – коэффициенты регрессии.
Наиболее часто для расчетов коэффициентов применяют метод
Наименьших квадратов.
2. По методу наименьших квадратов произведем расчет коэффициентов
Уравнения регрессии
Из системы уравнении
Sum(Yi)= n*A + B sum(Xi)
Sum(XiYi) = A* sum(Xi) + B*sum(Xi2))
Имеем
А = sum(Yi) * sum(Xi2 ) – sum(XiYi) * sum(Xi)
N* sum(Xi2)- (sum(Xi) 2)
B = n*sum(XiYi) – sum(Xi)* sum(Yi)
N*sum(Xi2)- (sum(Xi))2
A=S2*S3-S4*S1 B=n*S4-S1*S2,
N*S3-S1*S1N*S3-S1*S1
Где S1=SUM(Xi) S2=SUM(Yi) S3=SUM(Xi2 )
S4=SUM(XiYi)
N – общее число замеров, в нашем случае это 10
2.В результате расчета получено уравнение регрессии:
Y=8,917+0,583*Х
3.Подставив значения X в уравнение найдем Y расчетное.
4.По значениям экспериментальным и теоретическим строим графики.
5. Связь между двумя случайными величинами, которая определяется с
Некоторой вероятностью, называется корреляционной. Для
Количественной оценки линейной корреляции используется коэффициент
Парной корреляции
R = 10*S4-S1*S2
(10*S3-S12 )*(10*S5-S22 )
S5=SUM(Yi2)
R=0,9104
По таблице Чеддока найдем тесноту связи между двумя явлениями, связь
“очень тесная”
6.Качество уравнений регрессии оценивают по его прогнозирующей
Способности. Уравнения хорошо прогнозируют(т. е. адекватно описывают)
Экспериментальные данные, если расхождения между экспериментальными
И расчетными данными находятся в допустимых пределах.
Для проверки адекватности уравнения найдем среднюю относительную
Ошибку прогнозирования E:
E=100 *SUM |Yэi – Ypi|
10 Yэi
Где Yэi – экспериментальное, Ypi – расчетное значение
Е=4,434%
Это сравнительно большое значение ошибки прогнозирования при
Полученном выше значении r.
Внимательно посмотрим на значения отклонений между фактическими и
Расчетными значениями Y. Почти непрерывный рост уражайности
После 8 года сменяется спадом. 10 год дает самый большой прирост
Ошибки прогнозирования.
По всей видимости, для описания зависимости, лучше подошло бы
Не уравнение прямой, а уравнение параболлы, так как после достижения
Определенного уровня осадков урожайность начинает падать (много воды –
Это тоже плохо для урожая) см. последние значения Х и Y
В 4 год также сравнительно большое расхождение, это может быть
Вызванно тем, что урожайность зерновых зависит не только от
Количества осадков, но и от многих других факторов, например от
Количества теплых дней. Просто было холодно.
IXYX2XYYрасчY2(Y-Yрасч) Y
1252362557523,55290,0217
2272472964824,675760,0279
3302790081026,427290,0215
43527122594529,337290,0863
536321296115229,9210240,0650
638311444117831,089610,0026
739331521128731,6710890,0403
841351681143532,8312250,0620
942341764142833,4211560,0171
1045322025144035,1710240,0991
A358298132101089829890420,4434
Среднее 35,829,8
Коэффициенты регрессии:
B0,583
A8,917
Уравнение регрессии: Y=8,917+0,583*Х
Коэффициент парной корреляции:
ЧИСЛИТ2296
ЗНАМЕН2522
R0,91
Средняя относительная ошибка прогнозирования:
E=4,43439

Диаграмма6

252323,5
272424,67
302726,42
352729,33
363229,92
383131,08
393331,67
413532,83
423433,42
453235,17


Экономико-математическое моделиpование