Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

“Гомельский государственный университет

Имени Франциска Скорины”

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Допущена к защите

Зав. кафедрой____________Мироненко В. И.

“____”_________________ 2003 г.

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ В ЦЕЛОМ ДВУМЕРНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ВИДЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ

Дипломная работа

Исполнитель: студентка группы М-51

_____________________ ПЛИКУС Т. Е.

Научный руководитель: доцент, к. ф-м. н.

_____________________ ФИЛИПЦОВ В. Ф.

Рецензент:доцент, к. ф-м. н.

_____________________ РУЖИЦКАЯ Е. А.

Гомель 2003

Реферат

Дипломная работа состоит из 25 страниц, 11 источников.

Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, кривые третьего и первого порядков, точка, характеристическое уравнение, характеристическое число, узел, седло.

Объект исследования: квадратичная двумерная стационарная система с заданными интегральными кривыми третьего и первого порядков.

Предмет исследования: построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков, нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости.

Цель дипломной работы: качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы.

Основным инструментом исследований является понятие частного интеграла.

Содержание

Введение

1 Построение квадратичных двумерных стационарных систем

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)

2 Исследование поведения траекторий системы на плоскости

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре

Заключение

Список использованных источников

Приложение. Поведение траекторий системы (2.1)

Введение

Известно, что аналитический вид решения очень хорош в случае линейных систем. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, что непосредственный их анализ практически невозможен. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.

Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений

(0.1)

С полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3,с.191-211] и уточнены Дж. Д. Биркгофом [4,с. 175-179].

Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P(x, y) и Q(x, y) – аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.

(0.2)

Н. Н. Баутиным [1, с. 181- 196] и Н. Н. Серебряковой [8, с. 160- 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с. 732- 735] Л. А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А. И. [11, с. 1752- 1760] и Филипцов В. Ф. [9, с. 469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(0.3)

В настоящей работе проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что она имеет два частных интеграла вида:

X3 +a1 x2 y+b1 xy2 +g1 y3 +a2 x2 +b2 xy+g2 y2 +b3 x+g3 y+d=0, (0.4)

Mx+ny+p=0 (0.5)

В предположении, что коэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные.

Работа состоит из двух глав.

В первой главе проводится построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.

Во второй главе проводится качественное исследование системы, включающее в себя нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости при фиксированных значениях коэффициентов системы.

1 ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ДВУМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(1.1)

Согласно [10, с. 1752-1760], если система, правые части которой есть полиномы n-ой степени, имеет частный интеграл вида:

, (1.2)

Где Fk (x, y) – однородные полиномы от x и y степени k, то выполняется равенство:

. (1.3)

Пусть частный интеграл (1.2) имеет вид:

F(x, y)ºx3 +a1 x2 y+b1 xy2 +g1 y3 +a2 x2 +b2 xy+g2 y2 +b3 x+g3 y+d=0 (1.4)

Для интеграла (1.4) системы (1.1) имеет место соотношение (1.3),где L(x, y) = fx+gy+k, f, g, k – постоянные:

(3×2+2a1 xy+b1 y2 +2a2 x+b2 y+b3 )(ax+by+a1 x2 +2b1 xy+c1 y2 )+(a1 x2 +

2b1 xy+3g1 y2 +b2 x+2g2 y+g3 )(cx+dy+a2 x2 +2b2 xy+c2 y2 )=(x3+a1 x2 y+b1 xy2 + (1.5)

G1 y3 +a2 x2 +b2 xy+g2 y2 +b3 x+g3 y+d)(fx+gy+k).

Приравнивая в (1.5) коэффициенты при одинаковых степенях выражений

Xm yn слева и справа, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.4) и системы (1.1):

3a1+ a1 a2 – f=0, (1.61 )

(2a1 +2b2 – f)a1 +2a2 b1 – g+6b1 =0, (1.62 )

2a1 c1 +(2b1 +2c2 – g)b1 +(6b2 – f)g1 =0, (1.63 )

(4b1 +c2 – g)a1 +(a1 +4b2 – f)b1 +3a2 g1 +3c1 =0, (1.64 )

C1 b1 +(3c2 – g)g1 =0; (1.65 )

Ca1 +(2a1 – f)a2 +a2 b2 – k+3a=0, (1.71 )

(2a+d-k)a1 +2cb1+(4b1 – g)a2+(a1 +2b2 – f)b2+2a2 g2 +3b=0, (1.72 )

2ba1 +(a+2d-k)b1 +3cg1 +2c1 a2 +(2b1 +c2 – g)b2 +(4b2 – f)g2 =0, (1.73 )

Bb1 +(3d-k)g1 +c1 b2 +(2c2 – g)g2 =0; (1.74 )

(2a-k)a2 +cb2 +(a1 – f)b3 +a2 g3 =0, (1.81 )

2ba2 +(a+d-k)b2 +2cg2 +(2b1 – g)b3 +(2b2 – f)g3 =0, (1.82 )

Bb2 +(2d-k)g2 +c1 b3 +(c2 – g)g3 =0; (1.83 )

(a-k)b3 +cg3 – df=0, (1.91 )

Bb3 +(d-k)g3 – dg=0, (1.92 )

Dk=0. (1.93 )

Будем предполагать, что коэффициенты кривой (1.4) и системы (1.1) вещественные и кривая не проходит через начало координат, тогда d=0. Согласно (1.93 ) в этом случае k=0.

Будем рассматривать частный случай системы (1.1), т. е. будем предполагать, что a2 =c1 =0, а коэффициенты a1 , b1 , g1 интегральной кривой (1.4) обращаются в нуль.

Уравнения (1.61 ) – (1.93 ) при этих предположениях будут иметь вид:

3a1 – f=0, (1.101 )

G+6b1 =0; (1.102 )

(2a1 – f)a2 +3a=0, (1.111 )

(4b1 – g)a2+(a1 +2b2 – f)b2+3b=0, (1.112 )

(2b1 +c2 – g)b2 +(4b2 – f)g2 =0, (1.113 )

(2c2 – g)g2 =0; (1.114 )

2aa2 +cb2 +(a1 – f)b3 =0, (1.121 )

2ba2 +(a+d)b2 +2cg2 +(2b1 – g)b3 +(2b2 – f)g3 =0, (1.122 )

Bb2 +2dg2 +(c2 – g)g3 =0; (1.123 )

Ab3 +cg3 – df=0, (1.131 )

Bb3 +dg3 – dg=0. (1.132 )

Из условий (1.101 ) и (1.102 ) получаем, что

F = 2a1, g = 6b1 .

Из условия (1.114 ) имеем

(2c2 – g)g2 =0.

Пусть g2, тогда

2c2 – g=0 и g=2c2 ,

С другой стороны g = 6b1 , значит

C2 =3b1 .

Имея условия f = 2a1, g = 6b1, c2 =3b1 , из соотношений (1.111 ) – (1.113 ), (1.121 ), (1.123 ) и (1.131 ) найдем выражения коэффициентов кривой (1.4) через коэффициенты системы(1.1) в следующем виде:

A2 = , b2 = ,

G2 = , b3 = ,

G3 = ,(1.15)

D = .

Равенства (1.122 ) и (1.132 ) с учетом полученных выражений (1.15), дадут два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a1 , b1 , b2 :

(2ab1 – ba1 )[3(32a1 b1 b2 -15a12 b1 -16b1 b22 ) a+(8a1 b22 -18a12 b2 +9a13 ) b+

24(a1 b12 – b12 b2 ) c+(16a1 b1 b2 -15a12 b1 ) d]=0, (1.16)

(2ab1 – ba1 )[12(7a1 b1 b2 -3a12 b1 -4b1 b22 ) a2 +6(3a1 b12 -4b12 b2 ) ac+(3a12 b1 –

-4a1 b1 b2 ) bc+2(4a12 b2 -3a13 )bd -8a1 b12 cd+4a12 b1 d2 ]=0. (1.17)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.1 Система (1.1) имеет частный интеграл вида (1.4), коэффициенты которого выражаются формулами (1.15), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.16), (1.17) и c 1 = a 2 = 0, c 2 = 3 b 1 .

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

Рассмотрим система (1.1), которая в качестве частного интеграла (1.2) имеет кривую первого порядка:

Mx+ny+p=0. (1.18)

В системе (1.1), согласно предыдущего параграфа

A2 =c1 =0, c2 =3b1 . (1.19)

Для интеграла (1.18) системы (1.1), с учетом (1.19), имеет место соотношение (1.3), где L(x, y)= ax+by+g, a, b, g – постоянные:

M(ax+by+a1 x2 +2b1 xy)+n(cx+dy+2b2 xy+3b1 y2 )=

=(mx+ny+p)( ax+by+g). (1.20)

Приравнивая в (1.20) коэффициенты при одинаковых степенях xm yn, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.18) и системы (1.1):

(a1 – a)m= 0, (1.211 )

(2b1 – b)m+(2b2 – a)n=0, (1.212 )

(3b1 – b)n=0; (1.213 )

(a-g)m+cn-pa=0, (1.221 )

Bm+(d-g)n-bp= 0, (1.222 )

Pg= 0. (1.223 )

Предположим, что кривая не проходит через начало координат, то есть p¹0. Тогда из условия (1.223 ) получаем, что g=0.

Условия (1.221 ), (1.222 ) запишутся в виде:

Am+cn-pa=0, (1.231 )

Bm+dn-bp= 0. (1.232 )

Из условий (1.211 ) и (1.213 ) имеем:

(a1 – a)m= 0,

(3b1 – b)n=0.

Пусть m¹0, тогда a1 – a=0 и

A=a1 , (1.24)

А при n¹0, получаем, что 3b1 – b=0 и

B=3b1. (1.25)

Учитывая (1.24) и (1.25) из условия (1.212 ) находим выражение коэффициента m:

M=, (1.26)

А соотношение (1.231 ) даст значение коэффициента p:

P=. (1.27)

Из равенства (1.232 ), с учетом полученных выражений (1.26) и (1.27), находим условие на коэффициенты системы (1.1):

[3(a1 b1 -2b1 b2 ) a+(2a1 b2 – a12 ) b-3b12 c+a1 b1 d] n=0. (1.28)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.2 Система (1.1) имеет частный интеграл (1.18), коэффициенты которого выражаются формулами (1.26),(1.27), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.28) и c1 =a2 = 0, c2 = 3b1 .

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)

В разделах 1, 2 мы получили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

(2ab1 – ba1 )[3(32a1 b1 b2 -15a12 b1 -16b1 b22 ) a+(8a1 b22 -18a12 b2 +9a13 ) b+

24(a1 b12 – b12 b2 ) c+(16a1 b1 b2 -15a12 b1 ) d]=0,

(2ab1 – ba1 )[12(7a1 b1 b2 -3a12 b1 -4b1 b22 ) a2 +6(3a1 b12 -4b12 b2 ) ac+(3a12... b1 –

-4a1 b1 b2 ) bc+2(4a12 b2 -3a13 )bd -8a1 b12 cd+4a12 b1 d2 ]=0,

[3(a1 b1 -2b1 b2 ) a+(2a1 b2 – a12 ) b-3b12 c+a1 b1 d] n=0.

Причем b1 ¹0, a1 ¹0, 2b1 a-ba1 ¹0.

Рассмотрим частный случай, т. е. будем предполагать, что коэффициенты

A1 =, b1 =1, b2 =0.

Следовательно, наши соотношения запишутся в виде:

A-B-3c+D=0, (1.30)

A+B+6c-D=0, (1.31)

A2 +D2 +Ac+Bc-Bd-2cd=0. (1.32)

Выразим из условия (1.30) коэффициент c

C=A-B+D, (1.33)

Подставим (1.33) в равенство (1.31), найдем коэффициент d

D=(-21a+B). (1.34)

Из условия (1.32), учитывая (1.33) и (1.34) находим

B=A.

Получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются по следующим формулам:

B=A,

C=-A, (1.35)

D=- a,

A1 =, b1 =1, a2 =0, c1 =0, b2 =0, c2 =3b1 =3.

Равенства (1.15), (1.26) и (1.27), при условии, что имеют место формулы (1.35), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.4) и (1.18):

A2 =12a, b2 = –A,

G2 =a, b3 =A2 ,

G3 = –A2 ,d=A3 , (1.36)

M= –N, p= –An.

Теорема 1.3 Система (1.1) имеет два частных интеграла вида (1.4) и (1.18) с коэффициентами, определенными формулами (1.36), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.35).

2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.35),т. е. систему:

(2.1)

Интегральные кривые (1.4),(1.18), согласно формулам (1.36), имеют вид:

X3 +12ax2 –Axy+ay2 +A2 x-A2 y+A3 =0, (2.2)

Nx+ny-An=0. (2.3)

Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и исключив переменную x, получим следующее уравнение для определения ординат состояний равновесия:

8192y4 -11776ay3 +5480a2 y2 -825a3 y=0. (2.4)

Из (2.4) получаем, что

Y0 =0, y1 =A, y2 =A, y3 =A. (2.5)

Абсциссы точек покоя имеют вид:

X0 =0, x1 = –A, x2 = –A, x3 = –A. (2.6)

Согласно (2.5) и (2.6) заключаем, что система (2.1) имеет четыре состояния равновесия – , , , .

Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия , , , .

1. Исследуем точку .

Составим характеристическое уравнение в точке [10, с. 1760-1765]

Отсюда

(2.7)

Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:

==0.

,

Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут

.

Корни – действительные, различных знаков не зависимо от параметра a. Следовательно, точка – седло.

2. Исследуем точку .

Составим характеристическое уравнение в точке A. Согласно

Равенствам (2.7) характеристическое уравнение примет вид:

,

,

То есть

, .

Корни – действительные и одного знака, зависящие от параметра a. Если a<0, то точка – устойчивый узел, если a>0, то точка -неустойчивый узел.

3. Исследуем точку .

Применяя равенства (2.7), составим характеристическое уравнение в точке B:

, .

Корни – действительные и одного знака. Следовательно, точка – седло при любом параметре a.

4. Исследуем точку .

Учитывая выражения (2.7), составим характеристическое уравнение в точке:

,

Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут

,

Корни – действительные и одного знака. Следовательно точка – устойчивый узел, если a>0 и неустойчивый узел, если a<0 .

2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

Очень важным для исследования вопроса о наличии замкнутых траекторий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, то есть исследование бесконечно-удаленных частей плоскости.

Для этого воспользуемся преобразованием Пуанкаре [7]:

, (2.8)

Которое позволяет изучить особые точки лежащие на экваторе сферы Пуанкаре вне концов оси OY.

Имеем

Значит преобразование (2.8) переводит систему (1.1) в систему:

(2.9)

Введем новое время . Система (2.9) примет вид:

(2.10)

Изучим бесконечно-удаленные точки на оси u, т. е. при z=0.

Получаем

(2.11)

Приравнивая второе уравнение системы (2.11) к нулю, получаем

Таким образом, состоянием равновесия являются две точки N1 (0,0) N2 (0,).

Исследуем характер точек N1 , N2 .

1. Исследуем точку N1 (0,0).

Составим характеристическое уравнение системы (2.10) в точке N1 :

(2.12)

Согласно выражениям (2.12), получаем характеристическое уравнение:

Получим, что

Корни – действительные и одного знака. Следовательно, точка N1 (0,0) – устойчивый узел.

2. Исследуем точку N2 (0,).

Учитывая выражение (2.12), составим характеристическое уравнение в точке N2 :

Соответственно характеристическими числами будут являться

Корни – действительные и различных знаков. Следовательно, точка N2 (0,)-седло.

Исследуем бесконечно-удаленную часть плоскости в конце оси OY с помощью преобразования [7]

Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:

(2.14)

Введем новое время , тогда система (2.14) примет следующий вид:

(2.15)

При z=0, получаем:

(2.16)

Приравнивая второе уравнение системы (2.16) к нулю, получаем

Для исследования состояний равновесий на концах оси OY, необходимо исследовать только точку N3 (0,0).

Составим характеристическое уравнение системы (2.16) в точке N3 :

Соответственно характеристическими числами будут являться

Корни – действительные и одного знака. Следовательно, точка N3 (0,0) – устойчивый узел.

Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.

Таблица 1.

A О А В С
N1 N2 N3
(-∞;0) С У+ С У- У+ С У+
(0;+∞) С У- С У+ У+ С У+

Примечание: через с, у+ , у – обозначены соответственно седло, устойчивый узел, неустойчивый узел.

Положение кривых (1.4), (1.18) и расположение относительно их состояний равновесия при a>0 и a<0 дается соответственно рис. 1(а, б).

А ) (a>0)

Б) (a<0)

Рис.1

2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре

Поскольку три состояния равновесия A, B, C расположены на интегральных кривых, то вопроса существования предельных циклов вокруг этих точек не возникает.

Начало координат расположено вне интегральных кривых и является седлом с индексом (-1). Предельные циклы могут окружать состояния равновесия с индексом (+1). Отсюда заключаем, что изучаемая система предельных циклов не имеет.

Поведение сепаратрис седла O, B легко выяснить.

Сепаратрисы седла В полностью определяются интегральными кривыми. Сепаратрисы седла О(0,0) однозначно выясняются с помощью изучения поля направления системы на осях координат. Так для а>0 α – сепаратрисы седла О примыкают к точке С и N3 , а ω – сепаратрисы примыкают к точке А и N1 , а при а<0 a-сепаратрисы примыкают к точке А и N1 , w – сепаратрисы – к точке С и N3 .

В результате получаем, что качественная картина исследования траекторий в целом при а>0 определяется рисунком 2а приложения, а при а<0 – рисунком 2б приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной дипломной работе построена квадратичная двумерная стационарная система, имеющая два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольный параметр системы.

Проведено качественное исследование полученной системы, найдены четыре состояния равновесия, три из которых А, В, С принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удаленная часть плоскости, доказано отсутствия предельных циклов, выяснено поведение сепаратрис седел и построена качественная картина поведения траекторий системы в целом.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Баутин Н. Н. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра // Матем. сб.- 1952.- Т.30,№1.- 458 с.

2 Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.-М.: Наука, 1976.- 274 с.

3 Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- УМН, 1941.- Вып. 9.- 643 с.

4 Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.- 340 с.

5 Воробьев А. П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа “узел” // ДАН БССР.- 1960.- Т.4,№9.- 720 с.

6 Еругин Н. П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую.- ПММ.- 1952.- Т.16, Вып. 6.- с.659-670.

7 Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.- 839 с.

8 Серебрякова Н. Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний.- ПММ.- 1963 Т.27, Вып.1.- 230 с.

9 Филипцов В. Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1973.- Т.9,№3.- 256

10 Черкас Л. А. Об алгебраических решениях уравнения , где P и Q – многочлены второй степени // ДАН БССР.- 1963.- Т.7,№11.- 950 с.

11 Яблонский А. И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1970.- Т.6,№10.- с. 1752-1760.

ПРИЛОЖЕНИЕ Поведение траекторий системы (2.1)

А) (а>0)

б) (а<0)

Рис. 2


Зараз ви читаєте: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков