Комплексные числа: их прошлое и настоящее

Комплексные числа, их прошлое и настоящее.

Содержание.

I. Введение.

II. Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики.

III. Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл.

1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами.

2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.

3. Операция сопряжения и ее свойства.

4. Извлечение корней.

5. Геометрический смысл алгебраических операций.

IV. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.

1. Формула Кердано.

2. Метод Феррари для уравнения 4-ой степени.

V. Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел.

VI. Заключение.

VII. Литература.

I. Введение.

Алгебраические уравнения с одним неизвестным и связанные с ними вопросы в нахождении решений относятся к числу наиболее важных в школьной программе. В общем виде в средней школе изучаются лишь уравнения 1-ой степени (линейные) и уравнения 2-ой степени (квадратные), поскольку для таких уравнений существуют простые формулы, выражающие корни уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней.

Именно, если дано:

(α) Линейное уравнение ax+b=0, где а≠0, то x=-b /a – единственный корень;

(β) Квадратное уравнение ax+bx+c=0, где a, b, c – действительные числа, a≠0, то x=-b±√b∙b-4ac /2a ; при этом число корней зависит от величины D = b2 – 4ac, называемой дискриминантом квадратного уравнения, а именно:

При D>0 – два действительных корня, D=0 – один двукратный корень (или, что то же, два совпадающих корня), D<0 – нет действительных корней.

Из уравнений более высоких степеней в школьном курсе алгебры рассматриваются лишь некоторые частные их типы – трехчленные (например, биквадратные), симметрические, … Однако никаких методов для решения произвольных уравнений 3-ей и 4-ой степени (хотя соответствующие формулы известны), в школьной алгебре не дается, т. к. эти методы существенно опираются на теорию комплексных чисел.

Цель данного реферата состоит в том, чтобы ознакомить учащихся средних школ с важнейшим и новым для них математическим понятием – понятием комплексного числа, а также показать, насколько эффективно его применение при решении некоторых задач, в том числе и в первую очередь, при решении кубичных уравнений.

II. Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики.

Комплексные числа возникли в математике в начале XVI века в связи с решением алгебраических уравнений 3-ей степени, а позднее, и уравнений 2-ой степени. Некоторые итальянские математики того времени (- Сципион дель Ферро, Николо Тарталья, Джироломо Кардано, Рафаэль Бомбелли) ввели в рассмотрение символ √-1 как формальное решение уравнения х2 +1=0, а также выражение более общего вида (а+b∙√-1) для записи решения уравнения (х-а)2 +b2 =0. Впоследствии выражения вида (а+b∙√-1) стали называть “мнимыми”, а затем “комплексными” числами и записывать их в виде (а+bi) (символ i для обозначения √-1 ввел Леонард Эйлер в XVIII в.). Этих чисел, чисел новой природы оказалось достаточно для решения любого квадратного уравнения (включая случай D < 0), а также уравнения 3-ей и 4-ой степени.

МатематикиXVI в. и следующих поколений вплоть до начала XIXвека относились к комплексным числам с явным недоверием и предубеждением. Они считали эти числа “мнимыми” (Декарт), “несуществующими”, “вымышленными”, “возникшими от избыточного мудрствования” (Кардано)… Лейбниц называл эти числа “изящным и чудесным убежищем божественного духа”, а √-1 считал символом потустороннего мира (и даже завещал начертать его на своей могиле).

Однако использование аппарата комплексных чисел (несмотря на подозрительное к ним отношение), позволило решить многие трудные задачи. Поэтому со временем комплексные числа занимали все более важное положение в математике и ее приложениях. В первую очередь они глубоко проникали в теорию алгебраических уравнений, существенно упростив их изучение. Например, один из трудных вопросов для математиков XVII-XVIII веков состоял в определении числа корней алгебраического уравнения n-ой степени, т. е. уравнения вида a0 ∙xn +a1 ∙xn-1 +…+an-1 ∙x+an =0. Ответ на этот вопрос, как оказалось, зависит от того, среди каких чисел – действительных или комплексных – следует искать корни этого уравнения. Если ограничиться действительными корнями, то можно лишь утверждать, что их не больше, чем n. А если считать допустимым наличие и комплексных решений, то ответ на поставленный вопрос получается исчерпывающий: любое алгебраическое уравнение степени n ( n ≥1) имеет ровно n корней (действительных или комплексных), если каждый корень считать столько раз, какова его кратность (а это – число совпадающих с ним корней). При n ≥5 общее алгебраическое уравнение степени n неразрешимо в радикалах, т. е. не существует формулы, выражающей его корни через коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней натуральной степени.

После того как в XIX в появилось наглядное геометрическое изображение комплексных чисел с помощью точек плоскости и векторов на плоскости (Гаусс в 1831 г, Вессель в 1799 г, Арган в 1806 г), стало возможным сводить к комплексным числам и уравнениям для них многие задачи естествознания, особенно гидро – и аэродинамики, электротехники, теории упругости и прочности, а также геодезии и картографии. С этого времени существование “мнимых”, или комплексных чисел стало общепризнанным фактом и они получили такое же реальное содержание, как и числа действительные. К настоящему времени изучение комплексных чисел развилось в важнейший раздел современной математики – теорию функций комплексного переменного (ТФКП).

III / Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл.

1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами.

Логически строгую теорию комплексных чисел построил в XIX в (1835 г) ирландский математик Вильям Роумен Гамильтон. По Гамильтону комплексные числа – это упорядоченные пары z=(x, y) действительных чисел, для которых следующим образом определены операции сложения и умножения:

(x1 ,y1 )+(x2 ,y2 )=(x1 +x2 , y1 +y2 ); (1)

(x1 ,y1 )∙(x2 ,y2 )=(x1 ∙x2 – yi y2 , xi y2 + x2 y1 ). (2)

Действительные числа x и y называются при этом действительной и мнимой частями комплексного числа z=(x, y) и обозначаются символами Rez и Imz соответственно (real – действительный, imanginerum – мнимый).

Два комплексных числа z1 =(x1 ,y1 ) и z2 =(x2 ,y2 ) называются равными только в том случае, когда x1 =x2 и y1 =y2 . Из определения следует, что всякое комплексное число (x, y) может быть представлено в следующем виде: (x, y)=(x,0)+(0,1)(y,0). (3)

Числа вида (х,0) отождествляются с действительными числами х, т. е. (х,0)=х, число (0,1), называемое мнимой единицей, обозначается символом i, т. е. (0,1)=i, причем i2 =-1, равенство (3) принимает вид z=x+iy и называется алгебраической формой записи комплексного числа z=(x, y).

Операции сложения и умножения комплексных чисел имеют следующие свойства:

А) z1 +z2 =z2 +z1 (переместительный закон или коммутативность сложения и умножения)

Б) z1 z2 =z2 z1

В) z1 +(z2 +z3 )=(z1 +z2 )+z3 (сочетательный закон или ассоциативность)

Г) z1 (z2 z3 )=(z1 z2 )z3

Д) (z1 +z2 )z3 =z1 z3 +z2 z3 (распределительный закон или дистрибутивность)

Вычитание и деление комплексных чисел z1 =x1 +iy1 и z2 =x2 +iy2 определяют, причем однозначно, их разность z1 – z2 и частное z1 /z2 как решения соответствующих уравнений z+z2 =z1 и zz2 =z1 (при z2 ≠0). Отсюда следует, что разность и частное от деления z1 на z2 вычисляются по формулам:

Z1 – z2 =(x1 – x2 )+i(y1 – y2 ), (4)

Z1 /z2 =(x1 x2 +y1 y2 )/(x22 +y22 ) + i((y1 x2 – x1 y2 )/(x22 +y22 )) (5)

Данное определение можно выразить в других терминах, а именно, вычитание – как действие, обратное сложению: z=z1 +(-z2 ), где число (-z2 ) называется противоположным z2 ; деление – как действие, обратное умножению: z=z1 (z2-1 ), где z2-1 – число, обратное для z2 (z2 ≠0). Таким образом, анализ определений и свойств арифметических операций над комплексными числами приводит к следующим выводам:

– множество комплексных чисел (С) является расширением множества R действительных чисел, т. е. действительные числа содержатся как частный случай, среди комплексных (точно так же как, например, целые числа содержатся среди действительных); – комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить по правилам, которым подчиняются действительные числа, заменяя в итоге (или в процессе вычислений) i2 =-1.

2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.

Замечание. Понятия “больше” или “меньше” для комплексных чисел лишено смысла (не принято никакого соглашения).

Если на плоскости введена декартова система координат 0xy, то всякому комплексному числу z=x+iy может быть поставлена в соответствие некоторая точка М(х, у) с абсциссой “х” и ординатой “у”, а также радиус – вектор 0М. При этом говорят, что точка М(х, у) (или радиус – вектор 0М) изображает комплексное число z=x+iy.

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа называется комплексной плоскостью, ось 0у – мнимой осью.

Число r=√x2 +y2 ­, равное длине вектора, изображающего комплексное число, т. е. расстоянию от начала координат до изображающей это число точки, называется модулем комплексного числа z=x+iy и обозначается символом |z|.

Угол φ=(0М,ˆ0х) между положительным направлением оси 0х и вектором 0М, изображающим комплексное число z=x+iy ≠0, называется его аргументом.

Из определения видно, что каждое комплексное число (≠0), имеет бесконечное множество аргументов. Все они отличаются друг от друга на целые кратные 2π и обозначаются единым символом Argz (для числа z=0 аргумент не определяется, не имеет смысла).

Каждое значение аргумента совпадает с величиной φ некоторого угла, на который следует повернуть действительную ось (ось 0ч) до совпадения ее направления с направлением радиус-вектора точки М, изображающей число z (при этом φ > 0, если поворот совершается против часовой стрелки и φ <0 в противном случае). Таким образом, аргумент комплексного числа z=x+iy ≠0 есть всякое решение φ системы уравнений cosφ=x/√x2 +y2 ; sinφ=y/√x2 +y2 .

Значение Argz при условии 0≤Argz<2π называется главным значением аргумента и обозначается символом argz. В некоторых случаях главным значением аргумента считают наименьшее по абсолютной величине его значения, т. е. значение, выделяемое неравенством -π<φ≤π.

Между алгебраическими х, у и геометрическими r, φ характеристиками комплексного числа существует связь, выражаемая формулами x=rcosφ, y=rsinφ, следовательно, z=x+iy=r(cosφ+isinφ). Последнее выражение, т. е. z= r(cosφ+isinφ) (6) называется тригонометрической формой комплексного числа. Любое число z≠0 может быть представлено в тригонометрической форме.

Для практики число вида (cosφ+isinφ) удобнее записывать короче, с помощью символа eiφ =cosφ+isinφ (7). Доказанное для любых чисел φ (действительных или комплексных) это равенство называется формулой Эйлера. С ее помощью всякое комплексное число может быть записано в показательной форме z=reiφ (8)

3. Операция сопряжения и ее свойства.

Для данного комплексного числа z=x+iy число x-iy (отличающееся от z лишь знаком при мнимой части) называется сопряженным и обозначается символом z. Переход от числа z к числу z называется сопряжением, а сами эти числа сопряженными (друг к другу), т. к. (z)=z. Из определения следует, что только действительное число сопряжено самому себе. Геометрически сопряженные числа изображаются точками, симметричными относительно действительной оси (рис.2).

Отсюда следует, что |z|=|z|, argz=-argz. Кроме того,

Z+z=2x=2Rez;

Z-z=2iy=2iImz;

Zz=x2 +y2 =|z|2 ,

А также: z1 +z2 =z1 +z2 ; z1 z2 =z1 z2 ; (z1 /z2 )=z1 /z2 ; P(z)=P(z), где Р (z) – любой многочлен с действительными коэффициентами; (P(z)/Q(z))=(P(z)/Q(z)), где P и Q – многочлены с действительными коэффициентами.

4. Извлечение корней.

Извлечение корня из комплексного числа есть действие, обратное возведению в степень. С его помощью по данной степени (подкоренное число) и данному показателю степени (показатель корня) находят основание (корень). Иначе говоря, это действие равносильно решению уравнения zn =a для нахождения z. В множестве комплексных чисел действие извлечения корня всегда выполнимо, хотя причем и неоднозначно: в результате получается столько значений, каков показатель корня. В частности, квадратный корень имеет ровно два значения, которые можно найти по формуле:

√a=√α+iβ=±((√|a|+α)/2 ± i(√|a|-α)/2)), где знак “+” в скобках берется при β>0, “-” – при β<0.

5. Геометрический смысл алгебраических операций.

Пусть даны два комплексных числа z1 и z2 . В результате сложения этих чисел получается число z3 , изображаемое вектором 0С диагонали параллелограмма 0АСВ (по правилу параллелограмма сложения векторов): z1 +z2 =0A+0B=0C=z3 .

Рис.3

Разность (z1 – z2 ) данных чисел, соответствующая их вычитанию, можно рассматривать как сумму вектора 0А, изображающего число z1 и вектора 0D=–0В, противоположного вектору 0В (симметричного ему относительно начала координат): z1 – z2 =z1 +(-z2 )=0A+0D=0E=BA. Таким образом, разности (z1 – z2 ) данных чисел соответствует вектор ВА другой диагонали параллелограмма 0АСВ.

Для иллюстрации остальных алгебраических действий над комплексными числами более удобна тригонометрическая форма.

Умножение. Пусть даны два комплексных числа z1 =r1 (cosφ1 +isinφ1 ) и z2 =r2 (cosφ2 +isinφ2 ). Перемножая их получим z1 z2 =r1 r2 (cos(φ1 +φ2 )+isin(φ1 +φ2 )). Следовательно, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило верно и для любого числа сомножителей.

Деление. Если требуется разделить z1 на z2 , то выполняем следующие преобразования: z1 /z2 =(z1 z2 )/(z2 z2 )=(r1 (cosφ1 +isinφ1 )r2 (cosφ2 – isinφ2 ))/ (r2 (cosφ2 +isinφ2 )r2 (cosφ2 – isinφ2 ))=(r1 /r2 )(cos(φ1 -φ2 )+isin(φ1 -φ2 )), т. е. при делении двух комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Возведение в степень. Умножая число z=r(cosφ+isinφ) само на себя “n” раз, получаем согласно правилу умножения zn =rn (cosφ+isinφ)n =rn (cosnφ+isinnφ). Таким образом, при возведении комплексного числа в степень “n” в ту же степень возводимся его модуль, а аргумент умножается на “n” (на показатель степени). В частном случае, если r=1, то предыдущее равенство принимаем вид (cosφ+isinφ)n = cosnφ+isinnφ (9). Полученная формула называется формулой Муавра (1667-1754).

Извлечение корня. Пусть а=reiφ , z=ρeiσ . Решаем уравнение zn =a для вычисления n √a: ρn einσ =reiφ . Отсюда с учетом того, что аргументы чисел отличаются на целое кратное числу 2π, получаем: ρn =r, nσ-φ=2πK, или ρ=n √r; σK+1 =(φ+2πK)/n (причем К=0,1,2…n-1). Таким образом, zk =n √r(cosφ+isinφ)=n √r((cosφ+2Kπ)/n+isin(φ+2Kπ)/n)) (10), где n √r, – арифметический корень, а К=0,1,2,…,n-1; т. е. корень степени n в множестве комплексных чисел имеет “n” различных значений zk (исключение представляет z=0. В этом случае все значения корня равны между собой и равны нулю).

Заметим также, что разность между аргументами соседних чисел zk+1 и zk постоянна и равна 2π/n: σk+1 -σk =(φ+2π(K+1))/n-(φ+2πK)/n=2π/n. Отсюда следует, что все значения n √a располагаются на комплексной плоскости в вершинах некоторого правильного n-угольника с центром в начале координат.

IV. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.

1. Формула Кардано.

Рассмотрим приведенное алгебраическое уравнение 3-ей степени: x3 +ax2 +bx+c=0 (11).

(общее уравнение 3-ей степени сводится к приведенному делением на коэффициент при старшей степени). С помощью замены x=y-a/3 это уравнение примет вид y3 +py+q=0 (11′), где p и q – новые коэффициенты, зависящие от a, b, c. Пусть у0 – какой либо корень уравнения (11′). Представим его в виде у0 =α+β, где α и β – неизвестные пока числа, и подставим в уравнение. Получим α3 +β3 +( α+β)(3αβ+p)+q=0 (12). Выберем теперь α и β так, чтобы 3αβ+р=0. Такой выбор чисел α и β возможен, т. к. они (вообще говоря комплексные) удовлетворяют системе уравнений

α+β=у0 ;

αβ=-р/3, а значит, существуют.

При этих условиях уравнение (12) примет вид α3 +β3 +q=0, а т. к. еще α3 β3 =-р3 /27, то получаем систему

α3 +β3 =-q;

α3 β3 =-р3 /27,

Из которой по теореме Виета следует, что α3 и β3 являются корнями уравнения t2 +qt-p3 /27=0. Отсюда находим: α3 =-q/2+√q2 /4+p3 /27; β3 =-q/2-√q2 /4+p3 /27, где √q2 /4+p3 /27 означает одно из возможных значений квадратного корня. Отсюда следует, что корни уравнения (11′) выражаются формулой D=(q/2)2 +(p/3)3 .

Y1.2.3 =n √-q/2+√q2 /4+p3 /27+3 √-q/2-√q2 /4+p3 /27, причем для каждого из трех значение первого корня 3 √α соответствующие значения второго корня 3 √β нужно брать так, чтобы было выполнено условие αβ=-р/3. Полученная формула называется формулой Кардано (ее можно записать в более компактном виде у=3 √α+3 √β, где α=-q/2+√q2 /4+p3 /27; β=-q/2-√q2 /4+p3 /27. Подставив в нее вместо р и q их выражения через a, b, c и вычитая а/3, получим формулу для уравнения (11).

2. Метод Феррари для уравнения 4-ой степени.

Рассмотрим приведенное уравнение 4-ой степени x4 +ax3 +bx2 +cx+d=0 (13). Сделав замену переменной х=у-а/4, получим уравнение у4 +ру2 +qy+r=0 (14) c коэффициентами p, q, r, зависящими от a, b, c, d. Преобразуем это уравнение к виду (y2 +p/2)2 +qy+(r-p2 /4)=0, а затем, введя произвольное пока число α, представим его левую часть в равносильной форме (y2 +p/2+α)2 -[2α(y2 +p/2)+α2 – qy+p2 /4-r]=0 (15)

Выберем теперь число α так, чтобы выражение в квадратных скобках 2αy2 – qy+(αp+α2 +p2 /4-r) стало полным (точным) квадратом относительно у. Для этого нужно, чтобы его дискриминант был равен нулю, т. е. чтобы q2 -8α(αp+α2 +p2 /4-r)=0, или 8α3 +8pα2 +8α(p2 /4-r)-q2 =0. Таким образом, для нахождения α получается уравнение 3-ей степени, и задача сводится к предыдущей. Если в качестве “α” взять один из корней этого уравнения, то левая часть уравнения (15) будет разностью квадратов и поэтому может быть разложена в произведение двух многочленов 2-ой степени относительно “у”.

V. Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел.

1. Вычислить: ii2 i3 …i10 =?

Решение: ii2 i3 …i10 =i1+2+…+10 =i11∙10/2 =i55 =ii54 =i(i2 )27 =i(-1)27 =-i.

2. Каков геометрический смысл выражений: а) |z|, б)Argz; в) |z1 – z2 |, г) Arg(z1 /z2 )?

Ответ: а) расстояние от начала координат до точки, изображающей комплексное число z;

Б) угол, на который нужно повернуть действительную ось до совпадения с направлением вектора 0М, изображающего комплексное число z;

В) |z1 – z2 |- расстояние между точками z1 и z2 , изображающими комплексные числа z1 и z2 ;

Г) Arg(z1 /z2 ) – угол между изображающими векторами 0z1 и 0z2 .

3. Доказать, что cos3φ=cos3 φ-3sin2 φcosφ; sin3φ=3cos2 φsinφ-sin3 φ.

Доказательство: по формуле Муавра имеем: cos3φ+isin3φ=(cosφ+isinφ)3 =(cos3 φ-3cosφsin2 φ)+(3cos2 φsinφ-sin3 φ) , приравнивая действительные и мнимые части комплексных чисел, что cos3φ=cos3 φ-3sin2 φcosφ, sin3φ=3cos2 φsinφ- sin3 φ.

4. Найти действительные решения уравнения (3+i)x+(-5+2i)y=4+16i.

Решение: (3x-5y)+i(x+2y)=4+16i

3x-5y=4

X+2y=16 x=8; y=4.

Ответ: z=8+4i.

5. Доказать тождество |z1 +z2 |2 +|z1 – z2 |2 =2(|z1 |2 +|z2 |2 ) и вычислить его геометрический смысл.

Доказательство: |z1 +z2 |2 +|z1 – z2 |2 = (z1 +z2 )( z1 +z2 )+( z1 – z2 )( z1 – z2 )= (z1 +z2 )( z1 +z2 )+ +( z1 – z2 )( z1 – z2 )=2 z1 z1 +2 z2 z2 =2(|z1 |2 +|z2 |2 ).

Геометрический смысл: сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов всех сторон параллелограмма.

6. Найти геометрическое место точек:

А) |z-z0 |=R; б) z=z0 +Reit (0≤t<2π)

Ответ: Окружность радиуса R с центром в z0 .

В) |z-3i|=|z+2|;

Г) |z+i|=|z-3|=|z-1-i|;

Д) |z|≤R

π/4≤argz≤5π/4

Решение:

В) точка z должна быть удалена на такое же расстояние от точки z1 =-2, как и от точки z2 =3i, т. е. должна находиться на серединном перпендикуляре, проведенном к отрезку АВ. Следовательно, искомое геометрическое место точек – это прямая, проходящая через точку С (хс ;ус ), где хс =(-2+0)/2=-1; ус =(3+0)/2=3/2, перпендикулярная отрезку АВ.

Г) Рассматривая попарно направленные равенства |z+i|=|z-3| и |z-3|=|z-1-i|, приходим к заключению, что искомое множество точек – это множество точек пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к отрезкам АВ и ВС (а также и к АС).

Д) Верхний полукруг, ограниченный лучами argz=π/4 и argz=5π/4 и окружностью |z|=R, не содержащий (∙) z=0.

7. Доказать тождество:

(2x-z)2 +(2x-z)2 =2Re(z2 ).

Доказательство:

1) (2x-z)2 +(2x-z)2 = 4×2 -4xz+z2 +4×2 -4xz+z2 =8×2 -4x(z+z)+z2 +z2 =8×2 -4x2x+(z+z)2 –

-2zz=(2x)2 -2|z|2 =4×2 -2(x2 +y2 )=2(x2 +y2 )=2Re(z2 ).

2) 2Re(z2 )=2Re(x+iy)2 =2Re(x2 – y2 +2ixy)=2(x2 – y2 ).

8. Решить систему уравнений

(3-i)z1 -(4+2i)z2 =1+3i;

(4+2i)z1 +(2+3i)z2 =7.

Решение: Применим правило Крамера:

∆= (3-i)-(4+2i) =(2+3i)(3-i)+(4+2i)2 =21+23i

(4+2i)+(2+3i)

∆z1 = (1+3i)-(4+2i) =(2+6i+3i-9)+28+14i =21+23i

7 (2+3i)

∆z2 = (3-i) (1+3i) =21-7i-4-2i-12i+6 =23-21i

(4+2i) 7

Z1 = 21+23i =1; z2 = 23-21i =-i(21+23i) =-i

21+23i 21+23i 21+23i

Ответ: z1 =1; z2 =-i.

9. Доказать, что (а2 +1)(b2 +1)(c2 +1) можно представить в виде суммы квадратов целых чисел (a, b, c – целые числа).

Доказательство: заметим, чтоа2 +1=|a+i|2 , тогдаимеем: (а2 +1)(b2 +1)(c2 +1)=(a+i)(a-i)(b+i)(b-i)(c+i)(c-i)=(a+i)(b+i)(c+i)(a+i)(b+i)(c+i)= =((ab-1)+i(a+b))(c+i)((ab-1)+i(a+b))(c+i)=(((ab-1)c-a-b)+i((a+b)c+ab-1))((ab-1)c-a-b+i((a+b)c+ab-1)=(abc-(a+b+c))2 +(ab+bc+ca-1)2 .

10. Найтисуммы:

С=cosφ+cos2φ+…+cosnφ; S=sinφ+sin2φ+…+sinnφ.

Решение: найдем сумму σ=с+iS=(eiφ +e2iφ +…+einφ ) и выделим действительную и мнимую ее части, т. е. С=Reσ; S=Imσ. Последовательно имеем: eiφ +e2iφ +…+einφ = eiφ ((1- einφ )/(1- eiφ ))= (eiφ (1- einφ ) (1- e-iφ ))/( (1- eiφ ) (1- e-iφ ))= =(eiφ -1- eiφ(n+1) + einφ )/|1- eiφ |2 .

Поскольку |1- eiφ |2 =|(1-cosφ)-isinφ|2 =(1-cosφ)2 +sin2 φ=4sin2 (φ/2);

Re(eiφ -1- eiφ(n+1) + einφ )= cosφ-1-cos(n+1)φ+cosnφ= =- 2sin2 (φ/2)+2sin(φ/2)sin(nφ+φ/2)= 2sin(φ/2)2sin(nφ/2)cos((n+1)φ)/2 и Im(eiφ -1- eiφ(n+1) + einφ )=sinφ-sin(n+1)φ+sinnφ=2sin(φ/2)(cos(φ/2)-cos(nφ+φ/2))= =2sin(φ/2)2sin(nφ/2)sin(((n+1)φ)/2), тоС=(4sin(φ/2)sin(nφ/2)cos(((n+1)φ)/2))/(4sin2 (φ/2)) = =[sin(nφ/2) cos(((n+1)φ)/2))]/ sin(φ/2);

S=(4sin(φ/2)sin(nφ/2)cos(((n+1)φ)/2))/(4sin2 (φ/2)) = =[sin(nφ/2) cos(((n+1)φ)/2))]/ sin(φ/2)

11. Найтисумму 1+eπ cosπ+e2π cos2π+…+enπ cosnπ.

Решение: Рассмотрим функцию

S(x)=1+ex cosx+e2x cos2x+…+enx cosnx и найдем ее значение при х=π.

В свою очередь, при нахождении суммы S(x) перейдем к комплексным числам:

σ(z)=1+ex+ix +e2x+i2x +…+enx+inx = 1+ex(1+i) +e2x(1+i) +…+enx(1+i) =(1-( ex(1+i) )n+1 )/(1- ex(1+i) )= =1-ex(n+1)(1+i) /(1-ex(1+i) )=((1-ex(n+1)(1+i) )(1-ex(1-i) )/((1-ex(1+i) )(1-ex(1-i) )) =(1- ex(n+1)(1+i) – ex(1-i) +ex(n+2+ni) )/|1- ex(1+i) |2 =

=(1-e(n+1)x ei(n+1)x – ex e-ix +e(n+2)x exni )/(1-2ex cosx+e2x )

Т. к. S(x)=Reσ(z), то получаем формулу:

S(x)=1+ex cosx+e2x cos2x+…+enx cosnx=(1-e(n+1)x cos(n+1)x+e(n+2)x cosnx-ex cosx)/(1-2ex cosx+e2x )

Отсюда следует, что искомая сумма равна:

S(π)=1+eπ cosπ+e2π cos2π+…+enπ cosnπ= (1+eπ +eπ(n+2) (-1)n – e(n+1) (-1)n+1 )/(1+2eπ +e2π )= =((1+eπ )+(-1)n eπ(n+1) (eπ +1))/(eπ +1)2 =(1+(-1)n eπ(n+1) )/(1+eπ )

12. Доказать, что Re(z-1)/(z+1)=0 |z|=1.

Доказательство:

Т. к. (z-1)/(z+1)=((z-1)(z+1))/((z+1)(z+1))=(zz+z-z-1)/|z+1|2 =((|z|2 -1)+2iy)/|z+1|2 ; то Re(z-1)(z+1)=0, если только |z|2 -1=0 |z|=1.

13. Найти все значения корня 4 √1+i√3. Дать геометрическую иллюстрацию.

Решение:

Z=4 √1+i√3=4 √a, где a=1+i√3.

Т. к. а=r(cosφ+isinφ)=2(cosπ/3+isinπ/3), то zk =4 √2(cos(π/3+2Kπ)/4+isin(π/3+2Kπ), где К=0,1,2,3.

Получаем:

Z0 = 4 √2(cosπ/12+isinπ/12); z1 =4 √2(cos7π/12+isin7π/12);

Z2 =4 √2(cos13π/12+isin13π/12); z4 =4 √2(cos19π/12+isin19π/12).

14. Представить в алгебраической форме комплексное число 1/(1+i√3)6 -1/(√3-i)6 =z

Решение: преобразуем данное число:

Z=((1-i√3)/((1+i√3)(1-i√3)))6 -((√3+i)/((√3-i)(√3+i)))6 = =(1-i√3)6 /|1+i√3|12 -(√3+i)6 /|√3+i|12 =z1 – z2 =(т. к. |z1 |=|z2 |=2; φ1 =-π/3; φ2 =π/6, то)=1/26 ∙26 (cos(-π/3)+isin(-π/3))6 -1/26 ∙26 (cosπ/6+isinπ/6))6 = =cos(-2π)+isin(-2π)-cosπ-isinπ=1-(-1)=2.

VII. Литература.

VIII.

1. Кураш А. Г. “Алгебраические уравнения произвольных степеней”. М., “Наука”, 1983.

2. Маркушевич А. И. “Комплексные числа и конформные отображения”. М., “Физматгиз”, 1960.

3. Стройк Д. Я. “Краткий очерк истории математики”. М., “Наука”, 1969.

4. Яглом И. И. ” Комплексные числа и их применение в геометрии”. М., Физматгиз, 1963.

5. Справочник по элементарной математике (для поступающих в ВУЗы) под редакцией Фильчакова П. Ф. “Наукова Думка”, Киев – 1972.


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (No Ratings Yet)
Loading...
Комплексные числа: их прошлое и настоящее