Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

“Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины”

Математический факультет

Кафедра ТВ и матстатистики

Курсовая работа

КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ СЛАБО НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП

Исполнитель:

Студент группы М-32 Макарченко А. Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Малинковский М. Т.

Гомель 2007

Содержание

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп

2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Перечень условных обозначений

В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными.

Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;

и – соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

– пустое множество;

– множество всех для которых выполняется условие ;

– множество всех натуральных чисел;

– множество всех простых чисел;

– некоторое множество простых чисел, т. е. ;

– дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;

Примарное число – любое число вида ;

Пусть – группа. Тогда:

– порядок группы ;

– порядок элемента группы ;

– единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

– множество всех простых делителей порядка группы ;

– множество всех различных простых делителей натурального числа ;

-группа – группа , для которой ;

-группа – группа , для которой ;

– подгруппа Фраттини группы , т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

– подгруппа Фиттинга группы , т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

– наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;

– коммутант группы , т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

-ый коммутант группы ;

– наибольшая нормальная -подгруппа группы ;

-холловская подгруппа группы ;

– силовская -подгруппа группы ;

– дополнение к силовской -подгруппе в группе , т. е. -холловская подгруппа группы ;

– группа всех автоморфизмов группы ;

является подгруппой группы ;

является собственной подгруппой группы ;

является максимальной подгруппой группы ;

Нетривиальная подгруппа – неединичная собственная подгруппа;

является нормальной подгруппой группы ;

– подгруппа характеристична в группе , т. е. для любого автоморфизма ;

– индекс подгруппы в группе ;

;

– централизатор подгруппы в группе ;

– нормализатор подгруппы в группе ;

– центр группы ;

– циклическая группа порядка ;

– ядро подгруппы в группе , т. е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с в .

Если и – подгруппы группы , то:

– прямое произведение подгрупп и ;

– полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;

и изоморфны.

Группа называется:

Примарной, если ;

Бипримарной, если .

Скобки применяются для обозначения подгрупп, порожденных некоторым множеством элементов или подгрупп.

– подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .

, где .

Группу называют:

-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ;

-нильпотентной, если -холловская подгруппа группы нормальна в ;

-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;

-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;

Нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

Метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа группы такая, что нильпотентна.

Разрешимой, если существует номер такой, что ;

Сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Группа Шмидта – это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из , что .

Минимальная нормальная подгруппа группы – неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .

Цоколь группы – произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .

– цоколь группы .

Классы групп, т. е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т. е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

– класс всех групп;

– класс всех абелевых групп;

– класс всех нильпотентных групп;

– класс всех разрешимых групп;

– класс всех -групп;

– класс всех сверхразрешимых групп;

Формации – это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.

Пусть – некоторый класс групп и – группа, тогда:

-корадикал группы , т. е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых . Если – формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если – формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .

Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и .

Класс групп называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .

Произведение формаций и состоит из всех групп , для которых , т. е. .

Пусть – некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называется -абнормальной, если .

Подгруппы и группы называются перестановочными, если .

Пусть – максимальная подгруппа группы . Нормальным индексом подгруппы называют порядок главного фактора , где и , и обозначают символом .

Пусть – группа и – различные простые делители порядка группы . Тогда группа называется дисперсивной по Оре, если существуют подгруппы , такие что – силовская -подгруппа группы и подгруппа нормальна в для всех .

Введение

В своей работе Оре рассмотрел два обобщения нормальности, оба из которых вызывают неослабевающий интерес у исследователей и в наши дни. Во-первых, в работе были впервые введены в математическую практику квазинормальные подгруппы: следуя, мы говорим, что подгруппа группы квазинормальна в , если перестановочна с любой подгруппой из (т. е. для всех подгрупп из ). Оказалось, что квазинормальные подгруппы обладают рядом интересных свойств и что фактически они мало отличаются от нормальных подгрупп. Отметим, в частности, что согласно, для любой квазинормальной подгруппы имеет место , а согласно, квазинормальные подгруппы – это в точности те субнормальные подгруппы группы , которые являются модулярными элементами в решетке всех подгрупп группы .

Понятно, что если подгруппа группы нормальна в , то в всегда найдется такая подгруппа , что выполнено следующее условие:

Таким образом, условие является еще одним обобщением нормальности. Такая идея также была впервые рассмотрена в работе, где в частности, было доказано, что: Группа является разрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы удовлетворяют условию . В дальнейшем, в работе подгруппы, удовлетворяющие условию были названы -нормальными. В этой же работе была построена красивая теория -нормальных подгрупп и даны некоторые ее приложения в вопросах классификации групп с заданными системами подгрупп.

В данной диссертационной работе мы анализируем следующее понятие, которое одновременно обобщает как условие квазинормальности, так и условие -нормальности для подгрупп.

Определение. Подгруппа группы называется слабо квазинормальной в подгруппой, если существует такая подгруппа группы , что и , – квазинормальные в подгруппы.

Следующий простой пример показывает, что в общем случае слабо квазинормальная подгруппа не является ни квазинормальной, ни -нормальной.

Пример. Пусть

,

Где . И пусть , . Тогда и . Пусть – группа простого порядка 3 и , где – база регулярного сплетения . Поскольку , и – модулярная группа, то квазинормальна в и поэтому подгруппа слабо квазинормальна в . Значит, подгруппа является слабо квазинормальной в , но не квазинормальной и не -нормальной в .

В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и -нормальным подгруппам, что говорит о несомненной актуальности данного направления. Следует отметить, что многими авторами (Асаад, Бакли, Баллестер-Болинше, Ванг, Вей, Ли, Педра-Агуэла, Рамадан, А. Н. Скиба, Сринивазан и др.) получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых -нормальны или квазинормальны. Не смотря на тот факт, что квазинормальность и -нормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов независимо для квазинормальных и -нормальных подгрупп. В данной работе такой параллелизм устраняется на основе введенного выше понятия слабой квазинормальности.

Таким образом, задача изучения групп с заданной системой слабо квазинормальных подгрупп вполне актуальна, ее реализации посвящена данная работа.

1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп

Определение. Подгруппа группы называется слабо нормальной в подгруппой, если существует такая квазинормальная подгруппа группы , что и .

Докажем ряд общих свойств слабо нормальных подгрупп.

Пусть – группа и . Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) Пусть – нормальная в подгруппа. Тогда слабо нормальная подгруппа в группе тогда и только тогда, когда – слабо нормальная подгруппа в группе .

(2) Если – слабо нормальная в подгруппа, то – слабо нормальная в подгруппа.

(3) Пусть – нормальная в подгруппа. Тогда для всех слабо нормальных в подгрупп таких, что , – слабо нормальная подгруппа в группе .

Доказательство. (1) Пусть – слабо нормальная в подгруппа и – такая квазинормальная в подгруппа, что

Тогда , – квазинормальная в подгруппа и . Значит, – слабо нормальная в подгруппа.

Пусть теперь, для некоторой квазинормальной в подгруппы мы имеем и

Ясно, что

Поскольку

То

И – квазинормальные в подгруппы. Следовательно, – слабо нормальная в подгруппа.

Утверждение (2) очевидно.

(3) Пусть – слабо нормальная подгруппа в группе и – квазинормальная в подгруппа такая, что и . Ясно, что и

Значит, слабо нормальна в и ввиду (1), – слабо нормальная в подгруппа.

2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами

В данном разделе мы докажем некоторые критерии разрешимых, метанильпотентных, дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп в терминах слабо нормальных подгрупп.

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 3.5.1.

Группа разрешима тогда и только тогда, когда , где , – подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо нормальны в .

Пусть – группа тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1) – разрешима;

(2) , где , – подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо квазинормальны в ;

(3) , где , – подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо нормальны в .

Группа метанильпотентна тогда и только тогда, когда , где подгруппа -квазинормальна в , – нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в .

Доказательство. Допустим, что , где -квазинормальна в , – нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Покажем, что группа метанильпотентна. Предположим, что это не верно и пусть – контрпример минимального порядка. Тогда справедливы следующие утверждения.

(1) не является нильпотентной группой.

Предположим, что нильпотентна. Так как ввиду леммы (3), субнормальна, то содержится в некоторой нильпотентной нормальной подгруппе из по лемме (2). Тогда

Нильпотентна и поэтому метанильпотентна. Полученное противоречие с выбором группы доказывает (1).

(2) .

Допустим, что . Тогда ввиду леммы, нильпотентна, что противоречит (1). Значит, мы имеем (2).

(3) Если – абелева минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в , то метанильпотентна.

Пусть -группа и – силовская -подгруппа в . Тогда и поэтому по лемме каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Поскольку по лемме, -квазинормальна в ,

То условия теоремы справедливы для . Так как , то ввиду выбора группы , метанильпотентна.

(4) Условия теоремы справедливы для (это проямо следует из леммы ).

(5) разрешима.

Если , то метанильпотентна по (4)и выбору группы . Пусть теперь . Предположим, что для некоторой силовской подгруппы из мы имеем . Тогда ввиду (3), разрешима. Пусть теперь для каждой силовской подгруппы группы . Тогда по условию каждая силовская подгруппа из имеет квазинормальной дополнение в и поэтому нильпотентна. Полученное противоречие в выбором группы доказывает (5).

(6) В группе имеется в точности одна минимальная нормальная подгруппа , содержащаяся в .

Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Тогда абелева согласно (5), и поэтому ввиду (3), метанильпотентна. Так как класс всех метанильпотентных групп. Кроме того, так как класс всех метанильпотентных групп является насыщенной формацией (см. ), то – единственная минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в .

(7) Если -группа, то каждая силовская -подгруппа из , где , имеет квазинормальное дополнение в .

Пусть – силовская -подгруппа в , где . Тогда ввиду (6), . По условию, слабо нормальна в и поэтому имеет квазинормальную подгруппу , такую что и

Заключительное противоречие.

Пусть – силовская -подгруппа в и . Тогда

По условию имеет квазинормальную подгруппу , такую что и

Тогда

И поэтому – дополнение для в , которое является квазинормальной в подгруппой. Если -подгруппа из , где , то ввиду (7), имеет дополнение в , которое является квазинормальной подгруппой (см. доказательство утверждения (3) леммы ). Тогда по лемме, нильпотентна и поэтому метанильпотентна. Полученное противоречие доказывает метанильпотентность группы .

Обратно, предположим, что метанильпотентна. Покажем, что каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Предположим, что это не верно и пусть – контрпример минимального порядка. Тогда имеет силовскую подгруппу , которая не является слабо нормальной в . Пусть – произвольная минимальная нормальная подгруппа в и – подгруппа Фиттинга группы . Предположим, что . Тогда слабо нормальна в и поэтому по лемме (1), слабо нормальна в , противоречие. Значит, и поэтому

Так как по условию метанильпотентна и – силовская подгруппа в , то имеет нормальное дополнение в . Но поскольку и -группы, то – нормальное дополнение для в . Следовательно, слабо нормальна в . Полученное противоречие показывает, что каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в .

Пусть – группа тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1) – метанильпотентна;

(2) , где подгруппа субнормальна в , – абелева холлова подгруппа в и каждая силовская подгруппа из слабо квазинормальна в ;

(3) , где подгруппа -квазинормальна в , – нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в .

Пусть , где подгруппа -квазинормальна в , нильпотентна. Предположим, что любая максимальная подгруппа каждой нециклической подгруппы из слабо нормальна в . Тогда сверхразрешима.

Доказательство. Предположим, что эта теорема не верна и пусть – контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Каждая собственная подгруппа группы , содержащая , сверхразрешима.

Пусть , где . Тогда

Где нильпотентна и -квазинормальна в . Так как по лемме (2), любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из слабо нормальна в и , то по выбору группы мы имеем (1).

(2) Пусть – неединичная нормальная подгруппа в . Предположим, что -группа. Допустим, что содержит силовскую -подгруппу из , или циклична, или . Тогда сверхразрешима.

Если , то

Нильпотентна. Пусть теперь . Так как , то нам только нужно показать, что условия теоремы справедливы для . Ясно, что

Где -квазинормальна в и нильпотентна. Пусть силовская -подгруппа из и – произвольная максимальная подгруппа в . Пусть – силовская -подгруппа из , такая что . Ясно, что – силовская -подгруппа группы . Значит, для некоторой силовской -подгруппы из . Предположим, что не является циклической подгруппой. Тогда не циклична. Покажем, что слабо нормальна в . Если , то это прямо следует из леммы. Допустим, что либо силовская -подгруппа из циклическая, либо . Тогда . Покажем, что – максимальная в подгруппа. Так как и , то

Предположим, что для некоторой подгруппы из мы имеем

Где

Тогда

Так как – максимальная в подгруппа, то либо , либо . Если , то

Что противоречит выбору подгруппы . Значит, и поэтому мы имеем

Противоречие. Следовательно, – максимальная в подгруппа и по условию слабо нормальна в . Значит,

Слабо нормальна в . Следовательно, условия теоремы справедливы для .

(3) и сверхразрешима.

По выбору группы , и поэтому сверхразрешима согласно (1).

(4) – разрешимая группа.

По условию -квазинормальна в и поэтому по лемме (3), содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе группы . Так как группа нильпотентна, то разрешима.

(5) Если – простое число и , то .

Пусть . Тогда ввиду (2), сверхразрешима. Если – множество всех простых делителей порядка группы , то по лемме (1), , где – нормальная -подгруппа группы и поэтому

Сверхразрешима. Но тогда

Сверхразрешима. Полученное противоречие с выбором группы доказывает (5).

(6) .

Допустим, что . Тогда по лемме, нильпотентна. Пусть – силовская -подгруппа из . Так как ввиду леммы (3) субнормальна в , то субнормальна в . Тогда , согласно лемме (1). Но тогда ввиду (2), сверхразершима и поэтому , по выбору группы . Так как и

Нильпотентно, то – силовская -подгруппа из . Пусть – холлова -подгруппа из и . По лемме, нормальна в и поэтому . Допустим, что для некоторого простого делителя порядка , отличного от , мы имеем . Тогда нормальна в и поэтому – нормальная подгруппа в , поскольку . Но тогда , что противоречит (5). Следовательно, и поэтому . Согласно теореме, сверхразрешима и поэтому – абелева группа, экспонента которой делит , согласно леммы. Но тогда – абелева группа экспоненты, делящей и поэтому сверхразрешима, согласно леммы. Полученное противоречие с выбором группы доказывает (6).

Заключительное противоречие.

Пусть – минимальная нормальная подгруппа в , содержащаяся в . Пусть -группа и – силовская -подгруппа группы . В силу (2), сверхразрешима и поэтому – единственная минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Ясно, что и . Значит, по лемме для некоторой максимальной подгруппы из мы имеем . Ясно, что и поэтому по условию имеет дополнение в , которое является квазинормальной в подгруппой. Тогда

И поэтому . Но тогда

И поэтому, ввиду минимальности , . Ввиду (5), имеет холлову -подгруппу. Так как в силу леммы (3), субнормальна в , то каждая холлова -подгруппа группы содержится в . Следовательно, -группа. Отсюда следует, что

Сверхразрешима. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Группа дисперсивна по Оре тогда и только тогда, когда , где подгруппа квазинормальна в , дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы слабо нормальна в .

Доказательство. Пусть , где подгруппа квазинормальна в , дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы слабо нормальна в . Покажем, что группа дисперсивна по Оре. Предположим, что это не верно и пусть – контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Каждая собственная подгруппа группы , содержащая , дисперсивна по Оре.

Пусть , где . Тогда

Где дисперсивна по Оре и квазинормальна в . Так как по лемме (2) любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из слабо нормальна в и , то по выбору группы мы имеем (1).

(2) Пусть – неединичная нормальная подгруппа в , являющаяся -группа для некоторого простого числа . Допустим, что либо содержит силовскую -подгруппу из , либо циклична, либо . Тогда дисперсивна по Оре.

Если , то

Дисперсивна по Оре. Пусть теперь . Так как , то нам лишь нужно показать, что условия теоремы справедливы для . Ясно, что

Где квазинормальна в и дисперсивна по Оре. Пусть силовская -подгруппа из и – произвольная максимальная подгруппа в . Пусть – силовская -подгруппа из , такая что . Ясно, что – силовская -подгруппа группы . Значит, для некоторой силовской -подгруппы из . Предположим, что не является циклической подгруппой. Тогда не циклична. Покажем, что слабо нормальна в . Если , то это прямо следует из леммы. Допустим, что либо силовская -подгруппа из циклическая, либо . Тогда . Покажем, что – максимальная в подгруппа. Так как и , то

Предположим, что для некоторой подгруппы из мы имеем

Где

Тогда

Так как – максимальная в подгруппа, то либо , либо . Если , то , что противоречит выбору подгруппы . Значит, и поэтому мы имеем

Противоречие. Следовательно, – максимальная в подгруппа и по условию слабо нормальна в . Значит,

Слабо нормальна в . Следовательно, условия теоремы справедливы для .

(3) Если – простое число и , то .

Пусть

Тогда ввиду (2), дисперсивна по Оре. С другой стороны, если – множество всех простых делителей , то ввиду леммы (3) и леммы, , где – нормальная -подгруппа в и поэтому

Дисперсивна по Оре. Но тогда

Дисперсивна по Оре, противоречие. Значит, справедливо (3).

(4) разрешима.

По условию квазинормальна в и поэтому ввиду леммы (3) и леммы, содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе группы . Так как

Дисперсивна по Оре, то разрешима.

(5) .

Предположим, что . Тогда согласно лемме, нильпотентна. Пусть – силовская -подгруппа группы . Поскольку субнормальна в , то субнормальна в . Значит, по лемме, . Но ввиду (2), дисперсивна по Оре и поэтому по выбору группы , . Пусть – наименьший простой делитель . Тогда имеет нормальную максимальную подгруппу , такую что и . Пусть – наибольший простой делитель , – силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду (1), нормальна в и поэтому . Если , то – силовская -подгруппа группы и поэтому дисперсивна по Оре. Отсюда следует, что дисперсивна по Оре, противоречие. Следовательно, . Но тогда -группа. Пусть – силовская -подгруппа в . Тогда – силовская -подгруппа в . Поскольку – подгруппа группы и ввиду (1), дисперсивна по Оре, то . Так как дисперсивна по Оре, то и поэтому . Следовательно, группа дисперсивна по Оре. Полученное противоречие доказывает (5).

Заключительное противоречие.

Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Пусть -группа и – силовская -подгруппа группы . Ввиду (2), дисперсивна по Оре. Пусть – наименьший простой делитель . Тогда имеет нормальную максимальную подгруппу , такую что и . Пусть – наибольший простой делитель , – силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду (1), нормальна в и поэтому . Рассуждая как выше видим, что . Но тогда -группа. Значит, и поэтому дисперсивна по Оре. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Заключение

В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и -нормальным подгруппам. Следует отметить, что получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых -нормальны или квазинормальны в группе . Не смотря на тот факт, что квазинормальность и -нормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов не зависимо для квазинормальных и -нормальных подгрупп. В данной работе мы устраняем такой параллелизм на основе введенного понятия слабой квазинормальности.

Основные результаты данной работы:

– доказаны новые критерии принадлежности группы насыщенной формации;

– найдены описания разрешимых и метанильпотентных групп по свойствам их максимальных и силовских подгрупп;

– получены описания дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп по свойствам максимальных подгрупп силовских подгрупп;

– найдены критерии разрешимости и метанильпотентности групп в терминах слабо нормальных подгрупп.

Работа имеет теоретический характер. Результаты курсовой работы могут быть использованы при изучении слабо нормальных, квазинормальных и слабо квазинормальных подгрупп.

Литература

1.Боровиков, М. Т. Группы с перестановочными подгруппами взаимно простых порядков / М. Т. Боровиков // Вопросы алгебры. Выпуск 5. – Минск: Университетское, 1990. – С. 80-82.

2.Боровиков, М. Т. О -разрешимости конечной группы / М. Т. Боровиков // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп / Под редакцией М. И. Салука. – Минск: Наука и техника, 1986. – С. 3-7.

3.Го Веньбинь. -накрывающие системы подгрупп для классов -сверхразрешимых и -нильпотентных конечных групп / Го Веньбинь, К. П. Шам, А. Н. Скиба // Сиб. мат. журнал. – 2004. – Т. 45, № 3. – С. 75-92.

4.Пальчик, Э. М. О группах, все -максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой / Э. М. Пальчик // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. – 1968. – № 1. – С. 45-48.

5.Пальчик, Э. М. О конечных группах с перестановочными подгруппами / Э. М. Пальчик // Докл. АН БССР. – 1967. – Т. 11, № 5. – С. 391-392.

6.Пальчик, Э. М. О группах, все -максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой. II / Э. М. Пальчик, Н. П. Конторович // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. – 1969. – № 3. – С. 51-57.

7.Подгорная, В. В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп / В. В. Подгорная // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. – 2000. – № 4. – С. 22-25.

8.Подгорная, В. В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами / В. В. Подгорная // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. – 1999. – № 4(14). – С. 80-82.

9.Поляков, Л. Я. Конечные группы с перестановочными подгруппами / Л. Я. Поляков // Конечные группы. – Минск: Наука и техника, 1966. – С.75-88.

10.Самусенко (Подгорная), В. В. О конечных группах с заданными минимальными добавлениями к подгруппам / В. В. Самусенко // Вопросы алгебры. Выпуск 13. – 1998. – С. 177-182.


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (No Ratings Yet)
Loading...
Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп