Контрольная работа по Высшей математике

Федеральное агентство по образованию

Ростовский институт (филиал)

Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования

“российский государственный торгово-экономический университет”

Кафедра высшей и прикладной математики

Контрольная работа № 1

По дисциплине “Высшая математика”

Вариант № 0

Выполнил: Афонин В. П.

Студент 2-го курса, группы УТ,

Заочной формы обучения.

Преподаватель:______________

Ростов-на-Дону

2006 г.

План работы

План работы…. 2

Задача 1. 2

Задача 2. 2

Задача 3. 2

Задача 4. 2

Задача 5. 2

Задача 6. 2

Задача 7. 2

Задача 8. 2

Задача 9. 2

Задача10. 2

Использованная литература.. 2

Задача 1.

Вычислить пределы функций а) – е):

А) ; б) ;

В) ; г) ;

Д) ; е) ;

Решение

А) = Мы имеем дело с неопределенностью вида . Приводим выражение к общему знаменателю:

Тогда вынесем х в старшей степени за скобку в числителе и знаменателе 1-й дроби и знаменателе второй дроби после чего – сократим. Получим:

Устремим х к ∞, получим|

Ответ:

Б) Так как функция непрерывна на (0;∞) , то Мы имеем дело с неопределенностью вида . Тогда вынесем х2 скобку в числителе и знаменателе и сократим. Получим:

Ответ:

В) ; В данном случаем м ы имеем дело с неопределенностью вида . Выражение является сопряженным по отношению к выражению , а к выражению соответственно. Умножая числитель и знаменатель дроби на произведение сопряженных выражений , и используя формулу , получим:

Ответ:

Г)

Подстановка числа 6 вместо х показывает, что пределы числителя и знаменателя равны нулю. Следовательно, нам потребуется раскрыть неопределенность 0/0. Для этого можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

Уравнение тождественно уравнению где x1 и x2 корни квадратного уравнения Исходя из этого получаем: =

,аналогично

Таким образом:

Другое решение задачи. Воспользуемся правилом Лопиталя

Так как функция непрерывна в точке х=6, подставляем х=6

Ответ:

Д)

Подстановка числа 0 вместо х показывает, что предел числителя и предел знаменателя при х→0 равны нулю. Поэтому имеет место неопределенность 0/0. Для того, чтобы раскрыть неопределенность можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

1. Совершим необходимые тождественные, тригонометрические преобразования:

2. Другое решение задачи. Воспользуемся вновь правилом Лопиталя

Снова имеем неопределенность 0/0. Применяем правило Лопиталя:

Ответ:

Е)

Решение.

Замена переменной ; так как =0, то y→0, следовательно:

Используем второй замечательный предел

Ответ:

Задача 2.

Вычислить производные функции а)-г).

А) ; б)

В) у = (sinx) – e2x – ln(sinx); г) у =(sinx)lnx.

Решение

А) ,Используем формулу производной дроби:

И формулу производной степенной функции:

Ответ:

.б),Найдем сначала производную функции , используя формулу производной степенной функции:

Теперь находим в таблице производных сложных функций формулу Подставляя , получаем

Ответ:

В) у = (sinx) – e2x – ln(sinx);

Функция у(х) представляет собой произведение трех функций u(х)= (sinx), v(x)= e2x и w(x)= ln(sinx). Используя правило Лейбница, можно вывести общую формулу:

(u-v-w) ‘=u’-(vw)+u – (vw)’=u’vw+u – (v’-w+v-w’)

Следовательно,

(uvw)’=u’- v-w+u-v’-w+u-v-w’

Далее используя формулу производной сложной функции

Получаем:

Ответ:

Г) у =(sinx)lnx

Пользуясь основным логарифмическим тождеством y=elny, представим y(x) в виде y(x)=(eln(sinx) )lnx. Так как (ab )c =abc, то y(x)= e lnxln(sinx) . и поэтому

В последнем равенстве мы вновь воспользовались формулой у =(sinx)lnx = e lnxln(sinx) .

Ответ:

Задача 3.

А). Исследовать функцию у(х)=2 x 3 – 9 x 2 + 12 x – 5.

Решение

1). Так как 2 x 3 – 9 x 2 + 12 x – 5 – многочлен, то функция у(х) определена и непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, область определения данной функции вся – числовая прямая: D(y)=(-∞;+∞).

2). Функция не является ни четной ни нечетной, поскольку

Y(1)=0; y(-1)=-28; у(-1)≠у(1); y(1)≠y(-1).

3). Заметим, что при х→+∞ и при х→-∞ поведение многочлена у(х) определяется поведением его старшего члена 2х3 , который неограниченно возрастает при х→+∞ и неограниченно убывает при х→-∞. Поэтому

Y(x)= +∞, l y(x)=-∞,

Так как функция у(х) определена на всей числовой оси и , график функции не имеет асимптот.

4). у(0) = -5 → A(0; -5) – точка пересечения графика с осью Оу.

Для определения точек пересечения графика с осью Оx решим уравнение

У(х)=0 ↔ 2×3 – 9×2 + 12x – 5=0 ↔ x-(2х2 + 15x + 24) = 0;

Методом подбора определяем корень уравнения х1 =1.

Разделим многочлен на многочлен x -1

2×3 – 9×2 + 12x – 5 x -1

2×3 – 2×2 2×2 – 7x + 5

– 7×2 +12х

– 7×2 +7х

5x – 5

5x – 5

0

2×2 – 7x + 5= 0,

D=b2 -4ac=-72 -4-2-5=49- 40=9

Точки пересечения с осью Ох: B(1;0), С(5/2;0),

5). Находим локальные экстремумы, а также промежутки возрастания и убывания функции. Для этого вычисляем производную функции у(х):

У'(х)=(2×3 – 9×2 + 12x – 5)’,

У'(х)=6×2 – 18x + 12 ,

У'(х)=x2 – 3x + 2 ,

И решаем уравнение у'(х)=0:

X2 – 3x + 2 = 0, критические точки х1 = 1, x2 = 2.

Так как производная не имеет точек разрыва, других критических точек нет. Определяем знак производной справа и слева от каждой критической точки и составляем таблицу:

X

(-∞;1)

1

(1;2)

2

(2; +∞)

Y’

+

0

0

+

Y

Максимум

Минимум

Итак, функция возрастает при х[-∞; 1] и при х[2; +∞] и убывает при х[1; 2]; локальный минимум – у(2)=-1, локальный максимум – у(1)=0.

6). Используя пункт 3), получаем, что множество значений функции Е(y) – вся числовая прямая, Е(у) = (-∞; +∞).

7). Находим точки перегиба функции и устанавливаем промежутки, на которых график функции обращен выпуклостью вверх и вниз. Для этого, прежде всего, вычисляем производную второго порядка и приравниваем ее к нулю:

У”(х)= (у'(х))’=(x2 – 3x + 2)’=2х-3

У”(х)=0 ↔ 2х – 3= 0 ↔ х=3/2=1,5.

Для определения знаков второй производной подставляем в нее числа из промежутков и : у”(0)=-3; у”(2)=1.

X

(-∞;)

(; +∞;)

Y”

0

Y

Выпуклость вверх

Перегиб

Выпуклость вниз

Теперь необходимо найти значение функции в точке перегиба и определить угол наклона касательной к графику функции в этой точке: у(1,5)=-0,5, тангенс угла наклона равен значению производной в данной точке у'(1,5)=tgα=1,5. Следовательно, касательная к графику проходит через точки D(1,5; -0,5) Е(3,5;-3,5). Проводим через точки D и E прямую (DE). График функции у(х) должен касаться прямой (DE) в точке D.

8). На этом исследование функции закончено и остается лишь вычислить ее значения в некотором числе точек, достаточном для построения графика, и построить график.

Б ). Исследовать функцию .

Решение

1). Так как D 2(х – 6)2 = R и D( )=М, то функция g(х) определена и непрерывна на

Всей числовой прямой.

2). Функция не является ни четной ни нечетной, поскольку

G(1)= ;

G(-1) = и g(-1)≠g(1)

3)

Следовательно, nак как функция g(х) определена на всей числовой оси и функция имеет левую горизонтальную асимптоту y =0.

4). Так как g(0)=2(0-6)2 –=72≈3,58, то А(0;72) – точка пересечения графика с осью Оу.

Для определения точек пересечения графика с осью Ох решим уравнение g(х)=0, т. е. 2-(x-6)2 –=0. Так как любая степень числа е положительна, мы можем разделить на 2 обе части уравнения:

(x-6)2 = 0; D=144-144=0; x=6.

График функции пересекает ось Ох в точке B(6;0) и в силу своей непрерывности, функция g(х) не меняет своего знака на протяжений всей числовой оси т. к. и 2-(x-6)2 >0. Отсюда вытекает, что g(х)>0 для всех действительных чисел x.

5). Экстремумы. Промежутки возрастания и убывания.

Для определения критических точек функции решим уравнение

G(х)=0 ↔ -(х2 + 5х + 4) – е-1/2(x+3) =0 ↔ х2 + 5х + 4 = 0;

Критичαеские точки – х1 = 6, x2 = 2.

X

(-∞;2)

2

(2;6)

6

(6; +∞)

G’

+

0

0

+

G

32/e2

Максимум

0

Минимум

Локальный максимум – g(2)= 2-(2-6)2 –≈32/e2 , локальный минимум – g(6)= 2-(6-6)2 –=0-=0.

6). Используя пункты 3) – 5), получаем, что Е(у)=(0;+∞). ‘ββ

7). Находим точки перегиба и промежутки выпуклости.

X

(-∞;)

()

(;)

(; +∞)

G’

+

0

0

+

G

Выпуклость вниз

Перегиб

Выпуклость вверх

Перегиб

Выпуклость вниз

Теперь необходимо найти значение функции и значение производной (тангенс угла наклона касательной к графику функции) в точках перегиба:

Вычислить значение функции в некотором числе промежуточных точек:

9). Строим график функции.

Задача 4.

Вычислить неопределенные интегралы а) – г):

А) б)

В) г)

Решение

A)

Сделаем подстановку Тогда

, памятуя что Получаем

Ответ:

Б)

Решение данной задачи основано на формуле интегрирования по частям по формуле: (1)

В этой формуле принимаем за u функцию x и du=dx. Тогда И (так как мы находим первообразную, то “+С” не пишем). Подставим найденные u’,v’, u, v’ в формулу интегрирования по частям b используя получаем:

Ответ:

В)

Найдем корни уравнения . Так как корнями уравнения является х1 =-7 и х2 =5, то по формуле ах2 +bх+с=а(х+7)(x-5), знаменатель раскладываются на множители

.

Представим дробь в виде следующей суммы:

И найдем коэффициенты А и В. Приведем дроби в правой равенства части к общему знаменателю:

Приравняв числители, получим

Подставляя в последнее равенство х = 5, находим, что

5 = А(5 – 5) +B(5+7) ↔ 5 = B – (12) ↔ B= 5/12.

Подставляя х=-7 в равенство (2), находим, что

-7 = A(-7-5) +B(-7+7) ↔ -7=A – (-12) ↔ А = 7/12.

Таким образом,

Итак,

Ответ:

Г)

Напомним, что в том случае, когда дискриминант квадратного ах2 + bх + с двучлена отрицателен, D=b2 -4ас<0, справедливо равенство:

Для вычисления интеграла найдем дискриминант знаменателя D=182 -4-9-10=324-360=-36<0 и рассмотрим функцию у=9х2 -18x+10. Для последующей замены переменной вычислим производную знаменателя у’=(9х2 -18x+10)’=18x-18 и заметим, что 18х-3=(18x-18)+15.

Отсюда,

Вычислим получившиеся интегралы по отдельности.

1)

2)

Подставляя полученные выражения, окончательно получаем следующий ответ:

Ответ:

Задача 5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций g (х)=3х+4 и f (х) = -3х2 +21 x -11. Изобразить эту фигуру на координатной плоскости.

Решение

Графиком функции f(х) является парабола, ветви которой направлены вверх. Вычисляем производную функции f'(х)= – 6х+21 и находим координаты вершины параболы С:

Графиком функции g(x)=3x+4 является прямая, проходящая через точки (0;4), (-4/3;0).

Найдем точки пресечения графиков функции: g(х)=f(x)

-3х2 +21x-11= 3x+4 ↔ -3х2 + 18х -15 = 0 ↔ х2 – 6х + 5 = 0

Заметим, что g(1) = f(1) = 7, g(5) = f(5) = 19.

Пусть S – площадь фигуры ABC, ограниченной графиками функций. Так как f(x)≥ g(х) при х [1;5], то

Ответ: 32 кв. ед

Задача 6.

Найти общее решение дифференциального уравнения . Построить графики двух частных решений этого уравнения.

Решение.

1). Преобразуем уравнение к виду .

2) , где – const.

Графиком частных решений данного уравнения является множество парабол с общей вершиной в точке А(-1;0)

Положив С1 =1, и С2 =-1 построим графики двух частных решений

Y1 =(x+1)2 ,

Y2 = -(x+1)2 ,

Ответ:

Задача 7.

Найти частное уч.(х) решение дифференциального уравнения у’ cosx + у sinx =2, удовлетворяющее (начальному) условию: уч ()=2.

Решение.

1). Разделим обе части уравнения на cosx:

Подставляя вместо у произведение двух функций y=uv, y’=u’v+uv’

Получаем уравнение:

(1)

2). Найдем теперь какую-нибудь функцию u для которой выполняется равенство

Для этого найдем частное решение дифференциального уравнения

Если функции равны, то и неопределенные интегралы от них равны:

Так как нам нужно найти частное решение, полагаем С=0, т. е. приравниваем первообразные подынтегральных функций:

Ln u= ln cos x ↔ u= cos x.

3). Подставляя у = cos x в уравнение (1), получим

Так как всякая функция с точностью до константы равна неопределенному интегралу от собственной производной, то

У=u-v =cosx-(2-tgx + C) = cosx-=2-sinx+C-cosx.

Итак, общее решение дифференциального уравнения имеет вид у=2-sinx+C-cosx.

4). Для отыскания частного решения необходимо и достаточно определить значение неопределенной постоянной С по начальному условию, данному в задаче. Используя то условие, что уч =2 при , получаем равенство:

2=2-sinπ+C-cosπ; памятуя, что sinπ=0 и cosπ=-1, получаем:

2=2-0-C;

Отсюда С=-2. Подставляя найденное значение неопределенной постоянной, получаем частное решение уч.=2(sinx-cosx), удовлетворяющее условию, данному в задаче.

Ответ: у=2-sinx+C-cosx – общее решение,

Уч.=2(sinx-cosx) – частное решение

Задача 8.

Найти частное решение дифференциального уравнения y ”- у’-6 y =2 sin 2 x -10 cos 2 x, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=2, у'(0) = 3.

Решение.

1). Уравнение вида у” + bу’ + су =0, где b и с – некоторые числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение уоo.(x) этого уравнения в зависимости от знака дискриминанта D = b2 – 4aс характеристического уравнения k2 + bk + с =0

В нашем случае характеристическое уравнение: k2 – k – 6=0.

D=1+24=25>0

Так как D>0 используем формулу уо. о.=С1 еαх + С2 еβх, , где k=α, k=β – два различных действительных корня (α≠β) характеристического уравнения. В нашем случае: α=3, β=-2. Общее решение однородного уравнения:

Уoo (х)= С1 е3х + С2 е-2х

2). Так как правая часть f(х)= 2sin2x-10cos2x и k2 +22 ≠ k2 – k – 6 частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

Уч (х) = Аcos2x + Вsin2x + С,

У’ч. (x) = -2Аsin2х + 2Вcos2x,

У”ч. (х) =-4Аcos2х -4Вsin2x,.

Подставляя у = уч.(x) в данное в задаче уравнение, получаем:

-4Аcos2х – 4Вsin2x + 2Аsin2х – 2Вcos2x – 6Аcos2x – 6Вsin2x = 2sin2x-10cos2x

Cos2х(-4А – 2В – 6А) +sin2x(- 4В + 2А – 6В) = 2sin2x-10cos2x,

Cos2х(-10А – 2В) +sin2x(2А – 10В) = 2sin2x-10cos2x,

Сравнивая коэффициенты при cos2x и sin2x, находим:

Отсюда уч. (x)=cos2x, поэтому так, как уо. н.(х) = уoo (х) + уч. (x), общее решение неоднородного уравнения имеет вид уо. н.(х) = С1 е3х + С2 е-2х + cos2x.

3). Находим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задаче:

У(0) = 2 → C1 e0 + С2 е0 + cos 0 = 2 => С1 – 1 + С2 – 1 = 1, => С1 + С2 = 1,

У'(x) = 3С1 е3х -2С2 е-2х – 2sin2x.

У'(0) = 3C1 е0 -2C2 е0 -2sin 0= 3 → 3C1 – 2C2 – 0= 3 => 3C1 – 2C2 =3.

Ответ: у (х) = ех cos 2x + ½ еx sin2x + х2 .

Следовательно, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задаче: у(х) = 1 – е3х + 0 – е-2х + cos2x= е3х + cos2x.

Ответ: у(х) = е3х + cos2x.

Задача 9.

Исследовать сходимость ряда

Решение.

Используем признак Даламбера. Если существует предел , то числовой ряд сходится при q < 1 и расходится при q > 1.

В нашем случае И . Вычисляем предел:

Так как q = ∞ > 1, то ряд расходится.

Ответ: Так как q > 1, то ряд расходится.

Задача10.

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение.

Каждый степенной ряд сходится внутри интервала (с – R; с + R), где R≥0 – радиус сходимости, определяемый по формуле .

Определяем радиус сходимости:

Так как с = -2; с-R=-2-1,5=-3,5; с+R==-2+1,5=-0,5, находим интервал сходимости: (-3,5; -0,5).

Исследуем на сходимость в точках x=-3,5 и x=-0,5. При x=-3,5 ряд имеет вид:

При x=-0,5 ряд имеет вид:

.

Поэтому интервал сходится и будет (-3,5;-0,5], R=1,5

Ответ: R = 1,5; (-3,5;-0,5].

Использованная литература

1. Высшая и прикладная математика. Конспект лекций. Часть I. Высшая математика. Выпуск 1. Основы математического анализа. М.: МКУ, 1993.

2. Зайцев М. В., Лавриненко Т. А. Высшая математика. Сборник задач, часть 1. М.: изд. МГУК, 1998.

3. Карасев А. И., Аксютина 3. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. М.: Высшая школа, 1982.

4. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1989.

5. Маркович Э. С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. М.: Высшая школа, 1972.

6. Минорский В. И. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1986.

7. Шипачев B. C. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа, 1998.


Зараз ви читаєте: Контрольная работа по Высшей математике