Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел

Содержание

Введение 3

Основные понятия и определения 4

Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах_ 7

§1. Свойства НОД и НОК_ 7

§ 2. Строение числовых НОД и НОК полугрупп_ 11

Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных чисел со свойствами (*) и (**) 15

Библиографический список 19

Введение

В математических исследованиях множество действительных чисел R очень популярно как бескрайний источник простых примеров и как множество, использующееся во многих структурах.

Рассматриваемое в данной работе множество неотрицательных действительных чисел – это интересное легко интерпретируемое подмножество R.

Как известно, различные подалгебры множества R + (например, полугруппа N ) исследовались ранее. В этой работе мы продолжим изучение мультипликативных полугрупп неотрицательных действительных чисел с 0 и 1.

Работа состоит из двух глав. Первая глава содержит некоторые свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного элементов целой полугруппы (§1). В этой же главе говорится о строении НОД и НОК полугрупп. Во второй главе получена топологическая классификация мультипликативных полугрупп S R + , обладающих одним из введенных специфических свойств:

(*) (a < b );

(**) (0<a < b ).

Основные понятия и определения

Определение 1. Пусть Х – множество произвольной природы и t – семейство подмножеств Х, называемых открытыми, удовлетворяющее условиям:

1) пересечение конечного числа множеств из t принадлежит t,

2) объединение любого множества множеств из t принадлежит t,

3) и ÆÎt.

Тогда называется топологическим пространством, t – топологией на Х.

Определение 2. Дополнения открытых множеств в Х называются замкнутыми множествами.

Определение 3. Пусть – топологическое пространство и . Введем на множестве Х 1 топологию t1 . Открытыми в пространстве назовем все множества вида , где U – произвольное открытое множество в Х. Тогда пространство называется подпространством топологического пространства , а топология t1 – топологией, индуцированной топологией t на множество Х 1 .

Определение 4. Семейство открытых множеств в топологическом пространстве называется базой топологии t, если любое открытое множество в Х является объединением множеств из этого семейства.

Пример. На числовой прямой R с естественной (евклидовой) топологией открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов, они и образуют базу этой топологии. На множестве неотрицательных чисел R + эта топология индуцирует топологию, в которой открытым множеством будет, например, R + Ç (-1, 1).

Определение 5. Пространство Х 1 называется плотным подпространством пространства Х, если любое непустое открытое множество в Х содержит точки множества Х 1 .

Очевидно, Х 1 плотно в Х, если каждая точка подпространства Х 1 является предельной точкой множества Х.

Определение 6. Множества в топологическом пространстве, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, называются открыто-замкнутыми.

Определение 7. Топологическое пространство Х называется связным если открыто-замкнутыми множествами в нем являются лишь Х и Æ.

Определение 8. Множество Х 1 в топологическом пространстве Х называется связным, если оно связно как топологическое подпространство пространства Х.

Примеры:

1. Множество точек плоскости является связным, если в нем любую пару точек можно соединить кривой.

2. На числовой прямой связными множествами являются лишь промежутки.

Определение 9 . Топологическое пространство называется нульмерным, если оно обладает базой из открыто-замкнутых множеств.

Пример. Дискретное топологическое пространство, в котором все его подмножества являются открытыми, – нульмерно.

Далее везде будем обозначать символом S мультипликативную полугруппу.

Определение 10 . Множество S с бинарной операцией умножения × называется мультипликативной полугруппой, если эта операция обладает свойством ассоциативности, т. е. .

Определение 11 . Элемент bS называется делителем элемента а S, если для некоторого . При этом говорят, что Делится на , или Делит (|).

Определение 12 . Общий делитель элементов и , делящийся на любой их общий делитель, называется наибольшим общим делителем элементов и и обозначается НОД .

Определение 13 . Элемент S называется кратным элементу S, если a делится на b.

Определение 14 . Общее кратное элементов и , на которое делится любое их общее кратное, называется наименьшим общим кратным элементов и и обозначается НОК .

Определение 15 . Полугруппа S называется НОД – полугруппой (НОК – полугруппой ), если любые два элемента из S имеют наибольший общий делитель (наименьшие общее кратное).

Определение 16 . Элемент из S называется неприводимым, если он имеет ровно два делителя 1 и а. Неприводимые элементы не представимы в виде произведения неединичных элементов, т. е. если .

Определение 17 . Элемент из S называется простым, если . Очевидно, простые элементы неприводимы.

Определение 18 . Полугруппа S называется топологической полугруппой, если на множестве S введена топология, и топологическая и алгебраическая структуры в S согласованы, т. е.

1) aS, ×ñ- полугруппа;

2) S – топологическое пространство;

3) полугрупповая операция × непрерывна в S :

.

Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах §1. Свойства НОД и НОК

Пусть S – коммутативная мультипликативная несократимая полугруппа с 1 и без делителей единицы. Такие полугруппы называются целыми, или коническими.

Элементы и из S называются взаимно простыми, если НОД (,)=1.

Предварительно рассмотрим простейшие свойства отношения делимости в целых полугруппах.

Свойства делимости в целых полугруппах

(1) ;

(2) – рефлексивность ;

(3) – антисимметричность ;

(4) – транзитивность ;

(5) ;

(6) ;

(7) Любой простой элемент неприводим ;

(8) р неприводим Û;

Свойство 1. НОД и НОК нескольких элементов определены однозначно, если существуют.

Доказательство. Проведем доказательство для НОД двух элементов а и b из S. Пусть (a, b ) и (a, b ). Тогда из определения НОД следует и . По свойству антисимметричности имеем .

Свойство 2. .

Доказательство. Импликации и очевидны. Пусть , т. е. для некоторого . Очевидно, b – общий делитель а и b. Возьмем произвольный общий делитель с элементов а и b. Для него существуют такой элемент , что и . Таким образом, с делит b. Это и означает, что . Аналогично доказывается .

Следствие 1. .

Следствие 2. и .

Свойство 3. и .

Доказательство следует из коммутативности операции умножения и свойств делимости.

Свойство 4. .

Доказательство. Обозначим d 1=НОД (НОД (a, b ), c ). Так как d 1 является общим делителем НОД (a, b )иc, то d 1 – общий делитель и для элементов a, b и c. Верно и обратно: любой общий делитель этих трех элементов является общим делителем для НОД (a, b )иc. Аналогичным свойством обладает и элемент d 2=НОД (a, (НОД (b, c )). Тогда элементы d 1 и d 2 делят друг друга. По свойству антисимметричности делимости получаем d 1 =d 2 .

Свойство 5. .

Доказательство. Обозначим k 1=НОК (НОК (a, b ), c ). Так как k 1 является общим кратным элементов НОК (a, b )иc, то k 1 – общее кратное и для элементов a, b и c. Верно и обратно: любое общее кратное этих трех элементов является общим кратным для НОК (a, b )иc. Аналогичным свойством обладает и элемент k 2=НОК (НОК (a, b ), c ). Тогда элементы k 1 и k 2 делят друг друга. По свойству антисимметричности делимости получаем k 1 =k 2 .

Свойство 6. Если элементы а и b не взаимно просты, то а и b имеют общий делитель, не равный 1.

Доказательство. По условию НОД (a, b )= d ¹1. Тогда по определению d и есть не равный единице общий делитель а и b.

Свойство 7. = .

Доказательство. Обозначим d =НОД (a, b ). По свойству (6) делимости элемент с d делит любой общий делитель элементов ас и b с, следовательно, является их НОД. Свойство доказано.

Свойство 8. Если , то .

Доказательство. Из условия следует, что d делит любой общий делитель элементов а и b и . Тогда по свойству (6) делимости элемент Делит любой общий делитель элементов , следовательно, является их НОД. Свойство доказано.

Свойство 9. Если и , то .

Доказательство. Пусть НОД и НОД (а, b) = 1, тогда среди делителей элементов b и с нет делителей элемента а. Следовательно, и среди делителей элемента bc нет делителей элемента а, что и означает, что .

Свойство 10. Если , то для любых N.

Доказательство. Докажем, что методом математической индукции. Пусть m = 1, тогда по условию, т. е. база индукции верна. Предположим, что для всех k < m. Покажем, что при k = m. по свойству (10) для с = b. Отсюда, для всех N. по свойству 3 делимости. Аналогичными рассуждениями получаем для любого N. Следовательно, .

Свойство 11. Если , то для любого .

Доказательство. Пусть , тогда а = sd и c = td для некоторых s, tS таких, что НОД(s, t) = 1. Поскольку , то НОД(s, b) = 1 и по свойству 9 НОД(s, tb) = 1. Следовательно, . Свойство доказано.

Свойство 12. Существование НОК (a, b ) влечет существование НОД (a, b ) и равенство НОД (a, b ) НОК (a, b ) = ab.

Доказательство. Если хотя бы одно из чисел или равно 0, то и равенство справедливо. Пусть элементы и ненулевые и . Поскольку – общее кратное чисел и , то для некоторого . Так как и , то – общий делитель и . Докажем, что делится на любой общий делитель элементов и . Пусть – произвольный общий делитель чисел и , т. е. и для некоторых . Поскольку – общее кратное элементов и , то . Так как , то для некоторого . Отсюда . Следовательно, , и, значит, НОД ().

Предложение 1 . Полугруппа является НОК-полугруппой тогда и только тогда, когда есть НОД-полугруппа.

Доказательство. По свойству 12 достаточно доказать, что любая НОД-полугруппа является НОК-полугруппой. Пусть есть НОД-полугруппа. Возьмем произвольные . Если хотя бы одно из чисел равно 0, то . Рассмотрим случай и . Обозначим . Тогда и для некоторых . Поскольку по свойству 7, то . Положим . Число является общим кратным элементов и . Осталось показать, что на делится любое общее кратное и . Возьмем произвольное общее кратное элементов и , т. е. для некоторых . Тогда , т. е. (поскольку ). По свойству 11 имеем , значит, для некоторого . Поэтому , т. е. .

§ 2. Строение числовых НОД и НОК полугрупп

Далее будем рассматривать множество всех неотрицательных действительных чисел R + и мультипликативную полугруппуS R + , содержащую 0 и 1, с топологией, индуцированной топологией числовой прямой.

Лемма 1 . Если S связно, то S = или S = R + .

Доказательство. Пусть S связное множество в R + . Тогда S является промежутком. Поскольку и , то . Если в S нет элемента c > 1, то . В противном случае числа (N ) принимают сколь угодно большие значения. Поскольку S – промежуток, то для всех N. Отсюда R + .

Лемма 2. Если несвязно, то .

Доказательство. Предположим, что .Тогда в силу несвязности существуют такие числа , что и . Так как , то . Тогда . Полученное противоречие завершает доказательство.

Лемма 3. Если , то Или =R + .

Доказательство. Очевидно, – полугруппа. Пусть и . Тогда существует элемент . Докажем, что . Возьмем произвольное . Пусть натуральное N таково, что . Тогда из следует . Отсюда . Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть S – НОД-полугруппа и пространство S несвязно. Тогда:

1) (0,с )S для любого ,

2) если , то и для любого .

Доказательство. 1) Если в интервале (0,1) нет элементов из S, то заключение очевидно. Пусть (0,1)ÇS ¹Æ.Предположим, что (0,c )S для некоторого . Не теряя общности, будем считать, что . Так как S несвязно, то по лемме 2 существует s [0, 1]\S. Возьмем в S ненулевой элемент и положим b =asS. Пусть d =НОД (a, b ). Поскольку 0<s <1, то sn 0 при n . Тогда sN < c для некоторого натурального N, и, значит, sN S. По свойству 8, пункт (3), НОД (a / d, b / d )=1. Поскольку b / d :a / d =s S, то элемент a / d необратим в S. Очевидно, необратимым является и (a / d )N. По свойству 11, пункт (5), имеем НОД ((a / d )N, (b / d )N )=1. Из (b / d )N :((a / d )N =sN S следует, что НОД ((a / d )N, (b / d )N )=(a / d )N. Значит, элемент (a / d )N ассоциирован с 1, т. е. обратим. Получили противоречие. Следовательно, (0, с )S для любого .

2) Если , то заключение справедливо. Пусть и . Тогда по лемме 3 существует s . Предположим, что для некоторого с >1. Возьмем в S элемент и положим b =asS. Поскольку s > 1, то sn +¥ при n . Следовательно, sN >c для некоторого натурального N, и, значит, sN S. Повторяя рассуждения, проведенные выше, заключаем: Для любого.

Предложение 2. Пусть S – НОД-полугруппа. Если пространство S несвязно и , то S нульмерно.

Доказательство. Докажем, что при выполненных условиях в любом интервале , где , есть точки, не принадлежащие S. Доказывая от противного, предположим, что [a, b ]S для некоторых . Возможны два случая.

Случай 1. Пусть 0<a <. Докажем, что найдется n 0N, для которого aB . В самом деле, допуская, что b < a для всех n N и, переходя в неравенстве b < a к пределу при n , получили бы b a < b. Откуда b > a для всех натуральных n > n 0 . Тогда что невозможно по лемме 4.

Случай 2. Пусть . Возьмем такое число с > a, чтобы 1<c <b. Рассуждая, как и в случае 1, получаем cB для некоторого n 0N. Тогда что также невозможно по лемме 4.

Докажем, что S нульмерно. Пусть V – произвольное открытое множество в S и . Требуется показать, что существует такое открыто-замкнутое в S множество U, что . Поскольку топология в S индуцируется топологией числовой прямой, то существуют такие числа a иb , что . Если , то это и есть открыто-замкнутое множество U. Пусть левее s в интервале нет точек множества S, а правее – есть, и точка с – одна из них. По доказанному выше существует точка , такая, что . В этом случае – искомое открыто-замкнутое множество U. Аналогично рассматривается случай, когда левее точки s в интервале есть точки множества S, а правее нет, и случай, когда интервал содержит точки из S и справа и слева от s. Предложение доказано.

С помощью предложения 2 можно получить следующую топологическую классификацию числовых НОД-полугрупп.

Предложение 3. Любая НОД-полугруппа S относится к одному из следующих классов:

1. S связно.

2. S нульмерно, замкнуто в R + и 0 – предельная точка для S.

3. S нульмерно, не замкнуто в R + и 0 – предельная точка для S.

4. Точка 0 изолирована в S.

Доказательство. По лемме 1 существуют полугруппы , которые являются связными множествами. Пусть несвязно. Если =Æ, то 0 – изолированная точка. Если существует элемент , то для любого N и последовательность сходится к 0. Следовательно, 0 – предельная точка дляS, множество при этом может быть как замкнутым в R + , так и не замкнутым. Предложение доказано.

Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных чисел со свойствами (*) и (**)

В этой главе на основе предложения 2 дадим топологическую классификацию полугрупп S, которые обладают одним из следующих свойств:

(*) (a < b );

(**) (0<a < b ).

Лемма 8. Полугруппа S, удовлетворяющая хотя бы одному из свойств (*), (**) является НОД-полугруппой и НОК-полугруппой. При этом, в первом случае НОД (a, b )= max {a, b }, НОК (a, b )= min {a, b } для любых a, bS, а во втором случае – НОД (a, b )= min {a, b }, НОК (a, b )= max {a, b }, если числа и не равны нулю.

Доказательство. Пусть полугруппа S обладает свойством (*). Покажем, что любые два элемента имеют НОД и НОК. По свойству (*) a = и S. Получили, что элемент b является делителем a. Следовательно, по свойству 2 делимости НОД(a, b ) = b = max{a, b } и НОК(a, b ) = а = min{a, b }. Аналогичными рассуждениями можно показать, что если полугруппа S обладает свойством (**), то для любых ненулевых элементов и НОД(a, b )= min{a, b }, НОК(a, b )= max{a, b }. Пусть хотя бы одно из чисел а или b равно 0, например, b. Тогда НОД(a, b ) = НОД(а,0) = а и НОК(a, b ) = НОК(а,0) = а.

Лемма 9. Если в полугруппе S со свойством (* ) существует элемент c > 1, то S \ {0 } – группа.

Доказательство. Докажем, что в S произвольный ненулевой элемент a < 1 обратим. Элемент acn > 1 для некоторого n N. Тогда 1 / acn S в силу свойства (*). Откуда 1 / a = (1 / acn ) cn S.

Предложение 4. Любая полугруппа S со свойством (* ) относится к одному из следующих классов:

1. S = [0,1].

2. S = R + .

3. S = {rn | n = 0,1,2,…}, где 0 < .

4. S = {rn | n Z }, где 0 < .

5. S – нульмерное плотное подпространство в [0,1].

6. S – нульмерное плотное подпространство в R + .

7. S = {0,1}.

Доказательство. Если связно, S = или S = R + по лемме 1.

Пусть S несвязно. Поскольку полугруппа {0}È[1,+) не обладает свойством (*), то S нульмерно. Предположим сначала, что S замкнуто (в R + ). Если в S ровно два элемента, то S = {0,1}. Пусть поэтому . Покажем, что точка 1 изолирована в S. Предположим, что это не так. Тогда в S существует строго возрастающая последовательность (е n ), сходящаяся к 1. Так как S замкнуто и несвязно, то в (0,1) найдутся такие элементы c < d, что (c, d ) = по лемме 4. В то же время строго возрастающая последовательность (en, d ) элементов из S сходится к числу d. Противоречие. Следовательно, 1 является изолированной точкой в S. Обозначим . Тогда . Возьмем произвольный ненулевой элемент из . Для него при некотором N. По свойству (*) получаем и . Поскольку , то . Тогда в случае S имеем 0,1,2,… , а в противном случае Z по лемме 9.

Пусть S нульмерно и не замкнуто. Существует монотонная последовательность чисел 0А n S, сходящаяся к некоторому а S. Пусть bn = an / an +1 , если (an ) возрастает, и bn = an +1 / an, если она убывает. Тогда bn S (N ) и bn 1 при . Возьмем произвольное число с (0,1). Для каждого N найдется такое k (n )N, что . Тогда имеем и .

Следовательно, числа N из образуют плотное подмножество в [0,1]. Если S , то получаем случай 5. Если же S , то по лемме 9 получаем случай 6. Предложение доказано.

Предложение 5. Любая полугруппа S со свойством (**) относится к одному из следующих классов:

1. S = R + .

2. S = {rn | n ÎN }, где .

3. S = {rn | n Z }, где .

4. S \{0} – нульмерное плотное подпространство в [1,).

5. S – нульмерное плотное подпространство в R + .

6. S = {0,1}.

7. È[1,+¥).

Доказательство. Пусть связно. Поскольку полугруппа [0,1] не обладает свойством (**), то по лемме 1 получаем S = R + .

Очевидно, является полугруппой со свойством (**).

Пусть далее несвязно и . Тогда нульмерно по предложению 2.

Пусть замкнуто и Æ. Если в нет элемента, большего 1, то . Пусть (1,+¥)¹Æ. Докажем, что точка 1 изолирована в . Допустим, что это не так. Тогда в существует строго убывающая последовательность, сходящаяся к 1. Так как замкнуто и несвязно, то в [1,+¥) есть такие элементы , что . В то же время строго убывающая последовательность элементов из сходится к числу , следовательно, ее члены, начиная с некоторого номера, попадают в интервал . Получили противоречие. Следовательно, 1 является изолированной точкой в . Обозначим . Тогда и поскольку замкнуто, то . Возьмем произвольный элемент из . Для него при некотором N. По свойству (**) получаем и . Поскольку , то . В этом случае N .

Пусть замкнуто и Æ. Как и выше, доказывается, что 1 – изолированная точка. Обозначим и . Тогда , . Так как замкнуто, то . Из свойства (**) следует, что . Из неравенства по доказанному выше получаем: для некоторого натурального N. Поскольку , то . В этом случае Z .

Пусть не замкнуто и Æ. Тогда существует монотонная последовательность чисел , сходящаяся к некоторому . Пусть , если последовательность элементов убывает, и , если она возрастает. Тогда для всех N и при . Возьмем произвольное число . Для каждого N найдется такое N, что . Тогда имеем и .

Следовательно, числа N из образуют плотное подмножество в [1,+ ¥) (случай 4).

Если не замкнуто и Æ, то аналогичные рассуждения показывают, что S – плотное подпространство в R + .

Следствие 1. Любая полугруппа S, обладающая свойствами (*) и (**) относится к одному из следующих классов:

1. S = R + .

2. S – нульмерное плотное подпространство в R + .

3. S = {0,1}.

Библиографический список

1. Варанкина, В. И., Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы и конгруэнции [Текст] // В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов, И. А. Семенова / Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. № 2. С 493-510.

2. Курош, А. Г. Лекции по общей алгебре [Текст] / А. Г. Курош. – М.: Наука, 1973.


Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел