Определение рационального варианта размещения производственно-хозяйственных предприятий (на примере АБЗ) и выбор оптимального маршрута поездки коммивояжера

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАДИ (ТУ)

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Выполнил: Белоногов М. В.

Группа 4ВЭДС3

Проверил: Беляков Г. С.

Москва 1999-2000

Раздел 1.

Выбор оптимального маршрута поездки.

Постановка задачи:

Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек (пункты Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее в банк (пункт А). Определено время на проезд по различным улицам с учетом интенсивности движения по ним транспортного потока. Требуется найти маршрут движения инкассаторской машины, который начинался и заканчивался бы в пункте А, позволял посетить каждую торговую точку и проехать по соответствующей улице только один раз и характеризовался минимальными затратами времени на поездку. Маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г.

Порядок решения задачи:

1. Определить кратчайшие расстояния между различными парами пунктов используя алгоритм поиска кратчайших путей на циклической сети.

А 1 Б

4 В 2

Д 3 Г

Найдем кратчайшие расстояния до пункта А.

Пункт i А Б В Д 1 4
Yi 0 ¥ ¥ ¥ ¥ ¥
28 13 17 8,32 9
16,64

Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а расстояние от А до самого себя равным нулю.

Затем пересчитываем величины yi используя правило:

Если yj + lij < yi, то величина yi = yj + lij, в противном случае yi оставляем без изменений. Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в него входят.

YA + l4A =0+9=9 < y4 =¥Þ y4 =9

YA + lBA =0+13=13 < yB =¥Þ yB =13

YA + l1A =0+8,32=8,32 < y1 =¥Þ y1 =8,32

Теперь рассматриваем пункт i для которого yi перестала быть равной бесконечности и дуги, которые в него входят.

Y4 + lB4 =9+7=16 > yB =13

Y4 + lД4 =9+8=17 < уД =¥Þ yД =17

YВ + lДВ =13+12=25 > yД =17

YВ + lБВ =13+15=28 < уБ =¥Þ yБ =28

YВ + l1В =13+9=22 > у1 =8,32

Y1 + lВ1 =8,32+10=18,32 > yВ =13

Y1 + lБ1 =8,32+8,32=16,64 < уБ =28 Þ yБ =16,64

YД + l4Д =8,32+17=25,32 > y4 =9

YД + lВД =17+12,32=29,32 > yВ =13

YБ + lВБ =16,64+15,32=31 > yВ =13

YБ + l1Б =16,64+8=24,64 > y1 =8,32

Теперь проверим условие lij ³ yi – yj для всех дуг сети.

L4A = у4 – уА 9=9-0

L4Д >у4 – уД 8,32>9-17

LД4 = уД – у4 8=17-9

LДВ >уД – уВ 12>17-13

LBA = yB – yA 13=13-0

LBД > yB – yД 12,32>13-17

LBБ > yB – yБ 15,32>13-16,64

LB4 > yB – y4 7>13-9

LB1 > yB – y1 10>13-8,32

LБВ >уБ – уВ 15>16,64-13

LБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32

L1А = у1 – уА 8,32=8,32-0

L1В >у1 – уВ 9>8,32-13

L1Б >у1 – уБ 8>8,32-16,64

Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется условие:

Lij = yi – yj

Таковыми являются:

L4A = у4 – уА 9=9-0

LД4 = уД – у4 8=17-9

LBA = yB – yA 13=13-0

LБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32

L1А = у1 – уА 8,32=8,32-0

Кратчайшие расстояния до пункта А равны:

Пункт 4 Д Б 1 В
Расстояние до А 9 17 16,64 8,32 13

Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов.

2. Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д.

А Б В Г Д
А 16 13,32 17,64
Б 16,64 15 21
В 13 15,32 15 12,32
Г 21,64 15,32 16
Д 17 12 16,32

3. Математическая модель задачи коммивояжера:

Найти минимальное значение целевой функции z

N+1 n+1

Min z = SSlij * xij

I=1 j=1

При следующих ограничениях:

– из каждого города i нужно уехать только один раз

N+1

Sxij = 1 i=1, ……, n+1

J=1

– в каждый город j нужно приехать только один раз:

N+1

Sxij = 1 j=1, ……, n+1

I=1

– переменные xij могуть принимать одно из двух значений: 0 или 1,

1 – если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j

0 – в противном случае

– решение есть простой цикл

4. Решение задачи:

А Б В Г Д
А 16 13,32 17,64
Б 16,64 15 21
В 13 15,32 15 12,32
Г 21,64 15,32 16
Д 17 12 16,32

Б – Г, Д – В, В – А, А – Б, Г – Д

Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок. (2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы в строке и столбце содержащем элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим. Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент.

В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты:

А – Б – Г – Д – В – А

Minz = 16+21+16+12+13 = 78

Раздел 2.

Определение рационального варианта размещения производственных предприятий (на примере АБЗ).

Постановка задачи:

В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. Территория района разбита на 4 части, потребности которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять:

B1 = 50.000 т

B2 = 60.000 т

B3 = 45.000 т

B4 = 70.000 т

Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час.

Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку потребителям были минимальными.

Затраты на приготовление аб, руб

Мощность АБЗ Приведенные затраты на приготов-е 1т аб АБЗ, располож-м в пункте, руб, Cpi + E*Kpi уд
Т/час Тыс. т/год 1 2 3 4
10 18 484 489 495 481
25 45 423 428 435 420
50 90 405 410 416 401

Затраты на транспортировку 1т аб потребителям, Сij, руб

Пункт размещения Зона-потребитель
1 28,3 60,3 45,3 90,3
2 61,3 30,3 93,3 48,3
3 50,3 95,3 33,3 62,3
4 99,3 54,3 65,3 36,3

Математическая модель транспортной задачи:

M n

Min z = SSCij * xij

I=1 j=1

Ограничения:

N

-Sxij = ai i=1, ……, m

J=1

Весь продукт ai имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю.

M

-Sxij = bj j=1, ……, n

I=1

Спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен

– xij ³ 0 i=1, …., m; j=1, …., n

Xij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю

Транспортная таблица:

Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс. т/год
Тыс. т/год B1 =50 B2 =60 B3 =45 B4 =70 Bф =135 Ui Ki
433,3 440,3 < 465,3 449,3 < 450,3 437,3 < 495,3 0
X1 =90 50 40 0 5/9
433,3 < 471,3 440,3 449,3 < 503,3 437,3 < 458,3 0
X2 =90 60 30 0 6/9
433,3 < 466,3 440,3 < 511,3 449,3 437,3 < 478,3 0
X3 =90 45 45 0 ½
433,3 < 500,3 440,3 < 455,3 449,3 < 466,3 437,3 0
X4 =90 70 20 0 7/9
Vj 433,3 440,3 449,3 437,3 0

Так как задача не сбалансирована, то определяем спрос фиктивного потребителя:

Вф =Sаi – S bj = 360 – 225 = 135 тыс. т/год

В верхний правый угол клеток вносится суммарная величина приведенных затрат на приготовление и транспортировку 1т аб, Сpi + E*Kpi + Cij

С помощью правила минимального элемента вносим в таблицу перевозки xij.

Проверяем план на вырожденность:

M + n – 1 = 8 = 8 (занятых клеток), следовательноплан является невырожденным.

Строим систему потенциалов поставщиков и потребителей. Для этого потенциал столбца или строки с наибольшим кол-вом занятых клеток приравниваем нулю, в данном случае это потенциал столбца Bф, остальные потенциалы определяем исходя из условия оптимальности для занятых клеток(Ui + Vj = Сpi + E*Kpi + Cij ).

Проверяем план на оптимальность:

– число занятых клеток не должно превышать величину m + n – 1

– для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна равняться суммарной величине затрат на приготовление и транспортировку 1т аб.

– для каждой свободной клетки должно выполняться неравенство :

Ui + Vj <Сpi + E*Kpi + Cij

Все три условия выполняются, следовательно план является оптимальным с точки зрения транспортной задачи.

Определяем значения коэффициентов интенсивности.

Ki = S xij / xi

S xij – cуммарный объем поставок i-го АБЗ реальным потребителям

Xi – мощность i-го АБЗ

Так как ни один Ki не равен нулю или единице, то рассматриваемый вариант размещения АБЗ соответствующей мощности не есть наилучший, поэтому необходимо его улучшить.

Отыскиваем смешанную строку с минимальной величиной Ki и в этой строке мощность АБЗ уменьшаем до следующей возможной величины, в нашем случае это третья строка.

Строим новую транспортную таблицу не забывая, что суммарная мощность АБЗ должна равняться суммарному спросу потребителей. Также необходимо пересчитать величину Сpi + E*Kpi + Cij для клеток третьей строки.

Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс. т/год
Тыс. т/год B1 =50 B2 =60 B3 =45 B4 =70 Bф =90 Ui Ki
433,3 424,3 < 465,3 450,3 421,3 < 495,3 -16< 0
X1 =90 50 40 -16 1
449,3 < 471,3 440,3 466,3 < 503,3 437,3 < 458,3 0
X2 =90 60 30 0 6/9
449,3 < 485,3 440,3 < 530,3 466,3 < 468,3 437,3 < 497,3 0
X3 =45 45 0 0
449,3 < 500,3 440,3 < 455,3 466,3 437,3 0
X4 =90 5 70 15 0 15/18
Vj 449,3 440,3 466,3 437,3 0

Новый вариант также не является наилучшим, поэтому уменьшаем мощность АБЗ во втором пункте.

Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс. т/год
Тыс. т/год B1 =50 B2 =60 B3 =45 B4 =70 Bф =45 Ui Ki
433,3 439,3 < 465,3 450,3 421,3 < 495,3 -18< 0
X1 =90 50 40 -16
452,3 < 489,3 458,3 469,3< 521,3 440,3 < 476,3 1 > 0
X2 =45 45 _ + 3
451,3 < 485,3 457,3 < 530,3 468,3 439,3 < 497,3 0
X3 =45 0 + _ 45 2
449,3 < 500,3 455,3 466,3 437,3 -2 < 0
X4 =90 15 + 5 _ 70 0
Vj 449,3 455,3 466,3 437,3 -2

Для одной свободной клетки не выполняется условие Ui + Vj <Сpi + E*Kpi + Cij поэтому план необходимо улучшить.

Строим цикл для этой клетки. Вершине свободной клетки присваиваем знак “-“, для остальных вершин этот знак чередуется. Перевозка хп = 5. Перемещаем эту перевозку по циклу, прибавляя ее в клетках со знаком “+” и отнимая в клетках со знаком “-“. После строим новую транспортную таблицу с учетом изменений.

Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс. т/год
Тыс. т/год B1 =50 B2 =60 B3 =45 B4 =70 Bф =45 Ui Ki
433,3 440,3 < 465,3 450,3 422,3 < 495,3 -18 < 0
X1 =90 50 40 -18 1
451,3 < 489,3 458,3 468,3 < 521,3 440,3 < 476,3 0
X2 =45 40 5 0 8/9
451,3 < 485,3 458,3 < 530,3 468,3 440,3 < 497,3 0
X3 =45 5 40 0 1/9
448,3 < 500,3 455,3 465,3 < 466,3 437,3 -3 < 0
X4 =90 20 70 -3 1
Vj 451,3 458,3 468,3 440,3 0

План является оптимальным, теперь подсчитываем коэффициенты интенсивности. Так как не все коэффициенты равны нулю или единице, то уменьшаем мощность завода в 3-м пункте.

Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс. т/год
Тыс. т/год B1 =50 B2 =60 B3 =45 B4 =70 Bф =18 Ui Ki
433,3 439,3 < 465,3 450,3 421,3 < 495,3 -78 < 0
X1 =90 50 40 -16 1
452,3 < 489,3 458,3 469,3 < 521,3 440,3 < 476,3 -59 < 0
X2 =45 45 3 1
511,3 < 545,3 517,3 < 590,3 528,3 499,3 < 557,3 0
X3 =18 0 18 62 0
449,3 < 500,3 455,3 466,3 437,3 -62 < 0
X4 =90 15 5 70 0 1
Vj 449,3 455,3 466,3 437,3 -62

План является оптимальным, подсчитываем значения коэффициентов интенсивности. Так как все коэффициенты равны либо 1, либо 0, то данный план является наилучшим.

Рассчитать значение целевой функции для каждого из промежуточных вариантов и построить таблицу.

Вариант размещения Мощность АБЗ, расположенного в пункте, тыс. т/год Значение целевой функции, zi, тыс. руб.
М1 М2 М3 М4
1 50 60 45 70 98912,5
2 90 60 0 75 99037,5
3 90 40 5 90 100067,5
4 – наилучший 90 45 0 90 100072,5

Определение рационального варианта размещения производственно-хозяйственных предприятий (на примере АБЗ) и выбор оптимального маршрута поездки коммивояжера