Оптимальная комбинация ресурсов

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

По дисциплине

“Экономико-математические методы и модели”

На тему “Оптимальная комбинация ресурсов”

Выполнила: студентка гр. О-060500-31

Проверил: доцент

Гольман А. Ф.

Ижевск, 2010

Оптимальная комбинация ресурсов

Использование аппарата производственных функций дает возможность решения задачи об оптимальном использовании средств, предназначенных для приобретения производственных факторов.

Предположим, что факторы ( x 1 , …, x N ) могут быть закуплены по ценам ( p 1 , …, p N ), а объем имеющихся средств для приобретения составляет b (руб.). Тогда соотношение, описывающее множество допустимых наборов факторов, имеет вид:

Граничная линия этого множества, соответствующая полному использованию имеющихся средств, т. е.:

Называется изокостой, поскольку ей отвечают наборы, имеющие одинаковую стоимость b. Задача об оптимальном использовании средств формулируется так: требуется найти набор факторов, который дает наибольший выпуск продукции при ограниченных финансовых средствах b. Таким образом, требуется найти решение задачи:

Искомое решение находится из системы уравнений:

Где l множитель Лагранжа.

В частности, если число факторов N = 2, задача допускает наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 1).

Рис. 1. Оптимальная комбинация ресурсов

Здесь отрезок АВ есть изокоста, кривая R изокванта, касающаяся изокосты в точке D, которая и соответствует оптимальному набору факторов ( ).

Полезно привести полное решение поставленной задачи для случая двух факторов, т. е. N = 2.

Пусть x 1 = K капитал (основные фонды),

X 2 = L труд (рабочая сила);

Производственная функция

Условие ограниченности ресурса

Где r цена использования машин и оборудования (т. е. услуг капитала), равная норме банковского процента; w ставка оплаты труда.

Условия оптимальности имеют вид:

А)

Это условие означает, что объем используемого капитала должен быть принят на том уровне, когда маргинальная фондоотдача ( y / K ) равна норме процента; дальнейшее увеличение капитала приведет к снижению его эффективности;

Б)

Это условие требует, чтобы количество занятой рабочей силы было взято на уровне, когда маргинальная производительность труда ( y / L ) равна ставке заработной платы, так как дальнейшее увеличение количества занятых приводит к убыткам (точка На рис. 2).

Рис. 2. Оптимальное количество занятых

Здесь угловой коэффициент касательной в точке А равен w.

Для ПФ типа Кобба – Дугласа задача имеет вид:

Найти

При условии

Получим следующее решение:

Множитель Характеризует здесь предельную продуктивность финансовых средств, т. е. показывает, на какую величину D y изменится максимальный выпуск продукции Если объем средств b увеличится на малую единицу.

Заметим, что сумма эластичностей капитала (b) и труда (a) характеризует так называемый удельный выпуск (отдачу) при изменении масштаба производства, т. е. когда расход ресурсов ( K и L ) увеличивается в одинаковое число раз. Если a + b > 1, то отдача возрастает, если a + b = 1, то отдача постоянная, если a + b < 1, то отдача убывает, а производственная функция является выпуклой вверх.

Литература

1.Замков О. О.,Толстопятенко А. В.,Черемных Ю. Н.,Математические методы в экономике. М.: АО ДИС, 1997.

2. http://www. humanities. edu. ru/


Оптимальная комбинация ресурсов