Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

С. В. Никитин, Омский государственный университет, кафедра математического анализа

1. Введение

В 1973 г. Костант в своей работе [1] показал, что если G компактная группа и Ее алгебра Ли, то для элемента X из подалгебры Картана Алгебры Выполнено равенство

Где – ортогональная проекция (относительно формы Киллинга); – группа Вейля алгебры , Означает выпуклую оболочку множества A.

Теорема Костанта о выпуклости является обобщением более ранних результатов Шура и Хорна. В 1923 г. Шур доказал, что диагональ Эрмитовой матрицы A=(aij) порядка n с собственными числами Содержится в выпуклой оболочке множества , где Sn – симметрическая группа, действующая на Перестановками координат. Затем Хорн показал, что каждая точка этой выпуклой оболочки может быть получена таким способом.

Таким образом, проекция орбиты – это выпуклый многогранник с вершинами в точках . В 1982 г. Guillemin и Stenberg [2], а также Atiyah [3] дали интерпретацию теоремы Костанта как теоремы о выпуклости отображения моментов. Следующий естественный шаг – нахождение проекции инвариантной меры с орбиты на подалгебру Картана. Существует формула Duistermaat-Heckman’а [4, 5] для преобразования Лапласа проекции инвариантной меры, по которой она может быть восстановлена, но представляет интерес и прямая геометрическая конструкция для нахождения проекции инвариантной меры, которая предложена в этой статье.

2. Предварительные сведения

Пусть – конечномерная вещественная простая компактная алгебра Ли, – ее подалгебра Картана. Группа Ли G алгебры Действует на С помощью коприсоединенного представления : , где , . Определим орбиту элемента :

На каждой орбите Существует единственная с точностью до пропорциональности инвариантная мера , т. е. такая, что для любой непрерывной функции И для любого

Пусть Ортогональная проекция. Определим проекцию меры На – это мера , задаваемая соотношением:

Где – финитная непрерывная функция на . Мера Абсолютно непрерывна и , где – плотность проекции меры . Нахождению плотности И посвящена эта статья.

Введем некоторые обозначения: – система корней алгебры , – множество положительных корней, – их полусумма. Пусть – решетка весов алгебры , кроме того, пусть Обозначает множество , где – камера Вейля. Представляет собой множество всех старших весов . Каждому неприводимому представлению группы G соответствует единственный старший вес . Если – характер этого представления, то формула Кириллова утверждает, что

Где

Интеграл в правой части формулы Кириллова можно понимать как обратное преобразование Фурье от функции :

Таким образом, формулу Кириллова можно переписать в следующем виде:

Или

Пусть Неприводимое представление . Обозначим множество весов Как . Если , то Обозначает кратность веса В представлении . Известно, что

Поэтому, применяя преобразование Фурье к обеим частям равенства, получаем:

Где – дельта-функция в точке . Найдя функцию , мы получим выражение для функции :

Или

Точное выражение для функции В дальнейшем не требуется, нам достаточно знать, что это положительная, финитная, кусочно-непрерывная функция.

3. Функция

В этом разделе мы определим функцию , через которую выражается функция , а также укажем некоторые ее свойства.

В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения: d – ранг алгебры, т. е. размерность подалгебры Картана , s – число положительных корней, r – разность s-d, которая строго больше нуля для всех алгебр Ли (кроме алгебры A1). Для того чтобы определить , мы рассмотрим систему положительных корней Как проекцию набора из s попарно ортогональных векторов. Остановимся на этом более подробно.

Пусть , где – векторное пространство, порожденное , т. е. линейная оболочка множества , . Рассмотрим некоторое векторное пространство L, в которое Вложено как подпространство векторов, имеющих ненулевыми первые d координат. Имеется естественная ортогональная проекция . Нетрудно проверить, что если выбрать подходящую (достаточно большую) размерность пространства L, то в L можно найти набор из s векторов Таких, что (ei, ej)=0, если И, кроме того, . Пространство V – линейная оболочка векторов , которые образуют в нем ортогональный базис. Введем следующее обозначение:

V+ – это конус в пространстве V, порожденный векторами . Определим на Функцию Следующим образом:

Где mes – мера Лебега на .

Замечание. В случае алгебры Ли A1 множество 0-мерно. В этом случае можно считать, что функция Имеет следующий вид:

Функция Определена всюду в , непрерывна, кусочно-полиномиальна и определяется алгеброй С точностью до пропорциональности, т. е. при выборе другого базиса Функция Лишь умножается на константу.

Можно рассматривать функцию Как непрерывное продолжение дискретной функции Костанта. Функция Костанта , где – решетка корней алгебры; – это число способов представить В виде суммы положительных корней, Q(0)=1. Пусть – решетка в V. Тогда Равно числу элементов в множестве , а – это мера или объем . Для примера функция Костанта И функция Для алгебры Ли A2 связаны следующим образом: , . Формула Костанта для кратностей весов в неприводимом представлении со старшим весом Такова:

4. Основной результат

Теорема. Пусть . Тогда проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления, проходящей через точку , имеет плотность :

Кроме того, функция Является непрерывной, кусочно-полиномиальной, инвариантной относительно действия группы Вейля Функцией, носитель которой содержится в множестве .

НАБРОСОК ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. Докажем равенство (*) для . Сечение Орбиты , проходящее через точку , имеет размерность r, поэтому . Таким образом, мы получаем:

Для вычисления Используется формула Костанта для кратностей весов. Если , то

Затем обе части равенства умножаются на непрерывную финитную функцию , интегрируются по И, наконец, n устремляется к бесконечности (при этом сумма в правой части рассматривается как интегральная сумма). После некоторых преобразований получается следующее равенство:

Так как это верно для любой непрерывной функции , то получаем (*) для всех После этого, используя однородность функции , (*), доказывается для всех , , где , , а затем, используя предельный переход, и для всех . Непрерывность и кусочно-полиномиальность следуют из соответствующих свойств функции .

Докажем инвариантность относительно действия группы Вейля, т. е. равенство . Так как для функции j(X) выполнено равенство j(wX)=j(X), то верно и . Далее, если , то

Затем равенство Доказывается для всех . Из равенства (*) легко получить, что . Так как функция -инвариантна, то .

Список литературы

Kostant B. On convexity, the Weyl group and the Iwasawa decomposition // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1973. N.6. С.413-455.

Guillemin V., Stenberg S. Convexity properties of the moment mapping // Invent. Math. 1982. N.67. С.491-513.

Atiyah M. Convexity and commuting hamiltonians // Bull. London Math. Soc. 1982. N.14. С.1-15.

Duistermaat J. J., and Heckman G. J. On the variation in the cohomology in the symplectic form of the reduced phase space // Invent. Math. 1982. N.69. С.259-268.

Neeb K.-H. A Duistermaat-Heckman formula for admissible coadjoint orbits, preprint.


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (No Ratings Yet)
Loading...
Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана