Справочник по геометрии (7-9 класс)

Выполнил:

Ученик9А класса

Средней школы № 135

Матвеев Евгений.

Руководитель проекта:

О черетина Т. В.

Казань 2004 г.

7 класс.

Глава I.

Точки, прямые, отрезки.

Через любые две точки Если две прямые имеют общую

Можно провести прямую, точку, то они пересекаются.

И притом только одну.

Прямая а и точки А и В.

Прямая а и b пересекаются в точке О.

Две прямые либо имеют только одну общую точку,

Либо не имеют общих точек.

Угол.

Угол – это геометрическая фигура, Угол называется развернутым, которая состоит из точки и двух лучей, если обе его стороны

Исходящих из этой точки. лежат на одной прямой.

Угол с вершиной О и сторонами h и k. Развернутый угол с вершиной С

И сторонами p и q.

Развернутый угол = 180º; Неразвернутый угол < 180º .

Луч, исходящий из вершины угла и Два угла, у которых одна общая

Делящий его на два равных угла, сторона общая, а две другие

Называется биссектриса угла. являются продолжениями одна

Другой, называются смежными.

Два угла, называются вертикальными,

Если стороны одного угла являются Сумма смежных углов = 180º.

Продолжениями сторон другого.

Две пересекающиеся прямые

Вертикальные углы равны. называются перпендикулярными,

Если они образуют 4 прямых угла.

Глава I I.

Треугольники.

Треугольник – геометрическая фигура, Р АВС = АВ+ВС+СА.

Кот-ая состоит из 3 точек, не лежа –

Щих на 1 прямой, соединенных отрезками.

В равных треугольниках против

Треугольник с вершинами А, В, С и соответственно равных сторон

Сторонами а, b, c. лежат равные углы, также против

Соответственно равных равных

Углов лежат равные стороны.

Теорема: Если 2 стороны и угол Теорема: Из точки, не лежа –

Между ними 1-го треугольника щей на прямой, можно провести

Соответственно равны 2 сторонам перпендикуляр к этой, и притом

И углу между ними другого только один.

Треугольника, то треугольники равны.

Отрезок, соединяющий вершину треуг – Отрезок бисс-сы угла треуг-ка,

Ка с серединой противоположной сто – соединяющий вершину треуг-ка

Роны, называется медианой треуг-ка. с точкой противоположной сторо – ны, называется бисс-сой треуг-ка.

Перпендикуляр, проведенный из верши –

Ны треуг-ка к прямой, содержащей Треуг-к, у кот-го 2 стороны равны,

Противоположную сторону, называ – называется равнобедренным.

Ется высотой треуг-ка.

Теорема: В равнобедренном треуг-ке

ВН – высота треуг-ка АВС. углы при основании равны.

Теорема: В равнобедренном Высота равнобедренного треуг-ка, про –

Треуг-ке бисс-са, проведенная веденная к основанию, является медианой

К основа-нию, является и бисс-сой.

Медианой и высотой.

Медиана, проведенная к основанию, явля –

Ется высотой и бисс-сой.

Теорема: Если сторона и 2 Теорема: Если три стороны 1го

Прилежащих к ней угла 1го треуг-ка соответственно равны 3ем

Треуг-ка соответственно рав – сторонам другого треуг-ка, то такие

Ны стороне и 2 прилежащим к треуг-ки равны.

Ней углам другого треуг-ка, то

Такие треуг-ки равны.

Определение: Окружность называется геометр-ая фигура, состоя-щая из всех точек, располож-ых на заданном расс-нии от данной точки.

Глава I I I.

Параллельные прямые.

Определение: Две прямые Теорема: Если при пересечении 2 пря –

На плоскости параллельны, мых секущей накрест лежащие углы рав –

Если они не пересекаются. ны, то прямые параллельны.

Теорема: Если при пересечении 2 пря –

Накрест лежащие – 3 и 5, 4 и 6. мых секущей соответственные углы рав –

Односторонние – 4 и 5, 3 и 6. ны, то прямые параллельны.

Соответственные – 1 и 5, 4 и 8,2 и 6, 3 и 7.

Теорема: Если при пересече – Теорема: Если две параллельные пря –

Нии 2 прямых секущей сумма мые пересечены секущей, то накрест

Односторонних углов равна лежащие углы равны.

180º, то прямые параллельны.

Теорема: Если две прямые пересечены

Теорема: Если две парал – секущей, то сумма односторонних углов

Лельные прямые пересечены равна 180º.

Секущей, то соответствен –

Ные углы равны.

Глава IV.

Соотношения между сторонами

И углами треугольника.

Теорема: Сумма углов Внешний угол треуг-ка = сумме двух углов тре –

Треуг-ка = 180º. уг-ка, не смежных с ним.

В любом треугольнике либо Теорема: В треуг-ке против большей сто –

Все углы острые, либо два роны лежит больший угол, против большего

Два угла острые, а третий угла лежит большая сторона.

Тупой или прямой.

В прямоугольном треуг – ке гипотенуза Если два угла треуг-ка равны, то больше катета. треуг-к – равнобедренный.

Теорема: Каждая сторона Для любых 3 точек А, В, С, не лежащих на

Треугольника меньше суммы одной прямой, справедливы неравенства:

2 других сторон. АВ< AB + BC, ВС<ВА+АС, АС<АВ+ВС.

Сумма двух острых углов пря – Катет прямоугольного треуг-ка, лежащий

Моугольного треуг-ка = 90º . против угла в 30º , равен ½ гипотенузы.

Если катет прямоугольного треуг – Если катеты 1го прямоугольного треуг –

Ка = ½ гипотенузы, то угол, лежа – ка соответственно = катетам другого

Щий против этого катета, = 30º . , то такие треуг-ки равны.

Если катет и прилежащий к нему Теорема: Если гипотенуза и острый

Острый угол 1го прямоугольного угол 1го прямоугольного треуг-ка соот –

Треуг-ка соответственно равны ветственно равны гипотенузе и остро –

Катету и прилежащему к нему му углу другого, то такие треуг-ки равны. острому углу другого, то такие

Треугольники равны. Теорема: Если гипотенуза и катет 1го

Прямоугольного треуг-ка соответствен –

Теорема: Все точки каж – но равны гипотенузе и катету другого,

Дой из 2 параллельных прямых то такие треугольники равны.

Равноудалены от другой прямой.

Расстояние от произвольной точки 1ой из параллельных прямых до

Другой прямой называется прямой называется расстоянием между

Этими прямыми.

8 класс.

Глава V.

Многоугольники.

Сумма углов выпуклого n – угольника В параллелограмме противоположные

= ( n -2)180º. стороны равны и противоположные

Углы равны.

Диагонали параллелограмма точ –

Кой пересечения делятся пополам. Если в 4-угольнике 2 стороны равны и

Параллельны, то этот 4-угольник – па –

Раллелограм.

Если в 4-угольнике противопо –

Ложные стороны попарно равны, Если в 4-угольнике диагональю пересе –

То этот 4-угольник – параллело – каются и точкой пересечения делятся

Грамм. пополам, то этот 4-угольник – парал –

Лелограмм.

Трапецией называется 4-угольник,

У кот-го 2 стороны параллельны, а Прямоугольником называется парал –

2 другие стороны не параллельны. лелелограмм, у кот-го все углы прямые.

Диагонали прямоугольника равны. Если в параллелограмме дигонали равны,

То этот параллелограмм – прямоуголь –

Ромбом называется параллело – ник.

Грамм, у кот-го все стороны

Равны. Диагонали ромба взаимно перпендикуляр –

Ны и делят его углы пополам.

Квадкатом называется прямо –

Угольник, у кот-го все стороны Все углы квадрата равны.

Равны.

Диагонали квадрата равны, взаимно

Фигура называется симметричной перпендикулярны, точкой пересечения

Относительно прямой а, если для делятся пополам и делят углы

Каждой точки фигуры симметричная квадрата пополам.

Ей точка относительно прямой а

Также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии.

Фигура называется симметричной Точка О называется центром симмет –

Относительно точки О, если для рии фигуры.

Каждой точки фигуры симметрич –

Ная ей точка относительно точки О

Также принадлежит этой фигуре.

Глава VI.

Площадь.

Равные многоугольники имеют S квадрата равна квадрату его стороны.

Равные S.

Если многоугольник составлен из Теорема: S прямоугольника = про –

Нескольких многоугольников, то изведению его смежных сторон.

Его S = сумме площадей этих

Многоугольников. Теорема: S параллелограмма = про –

Изведению его основания на высоту.

Теорема: S треугольника =

= произведению его основания S прямоугольного треугольника = 1/2

На высоту. произведения его катетов.

Если высоты 2ух 3-угольников Теорема: Если угол 1го 3-угольника

Равны, то их S относятся равен углу другого 3-угольника, то S

Как основания. этих 3-угольников относятся как про –

Изведения сторон, заключающих равные

Теорема: S трапеции = про – углы.

Изведению полусуммы ее осно –

Ваний на высоту. Теорема: В прямоугольном 3-угольни –

Ке квадрат гипотенузы = сумме квадра –

Теорема: Если квадрат 1ой тов катетов.

Стороны 3-угольника = сумме

Квадратов 2 других сторон, то

3-угольник прямоугольный.

Глава VII.

Подобные треугольники.

Определение: 2 3-угольника Теорема: Отношение S 2ух подоб –

Называются подобными, если их ных 3-угольников = квадрату коэф –

Углы соответственно равны и фициента подобия.

Стороны 1го 3-угольника про –

Порционально сходственны Теорема: Если 2 угла 1го 3-уголь –

Сторонам другого. ника соответственно = 2ум углам

Другого, то такие 3-угольники по –

Теорема: Если 2 стороны 1го добны.

3-угольника пропорциональны 2ум

Сторонам другого 3-угольника и углы, заключенные между этими сторо –

Нами, равны, то такие 3-угольники подобны.

Теорема: Если 3 стороны 1го Теорема: Средняя линия параллель –

3-угольника пропорциональны на 1ой из его сторон и равна ½ этой

3ем сторонам другого, то такие стороны.

3-угольники подобны.

Sin острого угла прямоугольного cos острого угла прямоугольного 3-уголь –

3-угольника – отношение ника – отношение прилежащего катета

Противолежащего катета к к гипотенузе.

Гипотенузе.

Tg угла = отношению sin к cos

Tg острого угла прямоугольного этого угла: tg = sin / cos.

3-угольника – отношение противо –

Лежащего катета к прилежащему. Основное тригонометрическое

Тождество:

Если острый угол 1го прямоугольного sin 2 α+ cos 2 α=1.

3-угольника = острому углу другого прямо –

Угольного 3-угольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.

X0 °30 °45 °60 °90 °180 °270 °360 °
Sinx01/22/23/210-10
Cosx13/22/21/20-101
Tgx01/ 31300
Ctgx311/ 300
0П /6П/4П/3П/2П3П/2

Глава VIII.

Окружность.

Если расстояние от центра окруж – Если расстояние от центра окруж –

Ности до прямой < радиуса, то пря – ности до прямой = радиуса, то пря –

Мая и окружность имеют 2 общие мая и окружность имеют 2 общие

Точки. Прямая является секущей. точки. Прямая является касательной.

Если расстояние от центра окруж – Теорема: Касательная к окруж –

Ности до прямой > радиуса, то пря – ности перпендикулярна к r, прове –

Мая и окружность не имеют общих денному в точку касания.

Точек.

Теорема: Если прямая проходит

Отрезки касательных к окружнос – через конец r, лежащий на окруж –

Ти, проведенные из 1ой точки, рав – ности, и перпендикулярна к этому

Ны и составляют равные углы с r, то она является касательной.

Прямой, проходящей через эту точ –

Ку и центр окружности. Дуга является полуокружностью.

Угол с вершиной в центре окруж – Если дуга АВ окружности с центром

Ности – ее центральный угол. О < полуокружности или является

Полуокружностью, то ее градусная

Сумма градусных мер 2ух дуг ок – мера считается равной градусной

Ружности с общими концами = мере центрального угла АОВ. Если же

= 360°. дуга АВ > полуокружности, то ее

Градусная мера считается =

Угол, вершина кот-го лежит на = 360°-<АОВ.

Окружности, а стороны пересе –

Кают окружность, называется Теорема: Вписанный угол измеряя –

Вписанным углом. ется ½ дуги, на кот-ую он опирается.

Луч ВО совпадает с 1ой из сто – Луч ВО делит угол АВС на 2 угла, если

Рон угла АВС. луч ВО пересекает дугу АС.

Луч ВО не делит угол АВС на 2 Вписанные углы, опирающиеся на 1 и ту

Угла и не совпадает со сторона – же дугу, равны.

Ми этого угла, если луч ВО не

Пересекает дугу АС. Вписанный угол, опирающийся на полу –

Окружность, — прямой.

Теорема: Если 2 хорды ок – Теорема: Каждая точка бисс-сы

Ружности пересекаются, то неразвернутого угла равноудалена

Произведение отрезков 1ой от его сторон. Каждая точка, ле –

Хорды = произведению отрез – жащая внутри угла и равноудаленная

Ков другой хорды. от сторон угла, лежит на его бисс-се.

Бисс-сы 3-угольника пересека – Серединным перпендикуляром к отрезку

Ются в 1ой точке. называется прямая, проходящая через

Середину отрезка и перпендикулярная

Теорема: Каждая точка се – к нему.

Рединного перпендикуляра к

Отрезку равноудалена от концов Серединные перпендикуляры к сторо –

Этого отрезка. Каждая точка, нам 3-угольника пересекаются в 1ой

Равноудаленная отконцов отрез – точке.

Ка, лежит на серединном перпен –

Дикуляре. Теорема: в любой 3-угольник мож –

Но вписать окружность.

Теорема: Высоты 3-угольника

(или их продолжения) пересека – В 3-угольник можно вписать только 1у

Ются в 1ой точке. окружность.

Теорема: Около любого треу – В любом вписанном 4-угольнике сумма

Гольника можно онисать окруж – противоположных углов = 180°.

Ность.

Если сумма противоположных углов 4-угольника = 180°, то около него можно описать окружность.

Глава IX.

Векторы.

Физические величины, характери – Определение: Отрезок, для кот –

Зуещиеся направлением в прост – го указано, какой из его концов счи –

Ранстве – векторные. тается началом, а какой – концом,

Называется вектором.

Длина (модуль) – длина АВ.

Длина нулевого вектора = 0.

Нулевые векторы называются

Коллинеарными, если они лежат Если 2 вектора направлены одинаково,

Либо на одной прямой, либо на то эти векторы – сонаправлены.

Параллельных прямых; нулевой

Вектор считается коллинеар – Если 2 вектора направлены противопо –

Ным любому вектору. ложно, то они противоположно напра –

Влены.

Определение: Векторы,

Называются равными, если От любой точки М можно отложить

Они сонаправлены и их дли – вектор, равный данному вектору ã, и

Ны равны. притом только один.

Теорема: для любых векторов ă, c и ĕ справедливы равенства:

1. ă + c = c + ă (переместительный закон);

2. ( ă + c )+ ĕ = ă +( c + ĕ ).

Теорема: Для любых векто – Произведение любого вектора на число

Ров ă и c справедливо равенство: 0 есть нулевой вектор.

ă – c = ă + ( – c ).

Для любого числа k и любого векто – ( kl )ă= k ( l ă ) (сочетательный закон);

Ра ă векторы ă и k ă коллинеарны. ( k + l )ă= k ă+ l ă(1ый рспред-ный закон);

K (ă+c )= k ă+ k c.

Теорема: Средняя линия тра –

Пеции параллельна основаниям

И = их полусумме.

9 класс.

Глава X.

Метод координат.

Лемма: Если векторы ă и c Теорема: Любой вектор можно раз –

Коллинеарны и ă=0, то сущес – ложить по 2ум данным неколлинеар –

Твует такое число k, что c= k ă. ным векторам, причем коэффициен –

Ты разложения определяются един –

Каждая координата суммы 2ух ственным образом.

Векторов = сумме соответству –

Ющих координат этих векторов. Каждая координата произведения век –

Тора на число = произведению соот –

Каждая координата разности ветствующей координаты вектора

2ух векторов = разности соот – на это число.

Ветствующих координат век –

Тора на это число. Координаты точки М = соответству –

Ющим координатам ее радиус-вектора.

Каждая координата вектора =

Разности соответствующих ко – Каждая координата середины отрезка

Ординат его конца и начала. равна полусумме соответствующих ко –

Ординат его концов.

Глава XI.

Соотношения между сторонами

И углами 3-угольника.

Скалярное произведение

Векторов.

Для любого угла α из промежут – tg угла α(α=90°) называется отношение

Ка 0° <α<180° sin угла α называ – sin α/ cos α.

Ется ордината у точки М, а cos

Угла α – абсцисса х угла α. sin (90°– α)= cos α

Теорема: S 3-угольника = ½ Теорема: Стороны 3-угольника про –

Произведения 2ух его сторон на порциональны sin противолежащих

Sin угла между ними. углов.

Теорема: Квадрат стороны 3-угольника = сумме квадратов 2ух других сторон – удвоенное произведение этих сторон на cos угла между ними.

А2 = b 2 +с2 -2 b с cos α.

Скалярным произведением 2ух Скалярный квадрат вектора = квадра –

Векторов называется произве – ту его длины.

Дение их длин на cos угла между

Ними.

Теорема: Скалярное произведение векторов а( х1 ; у1 ) и b ( х2 ; у2 ) выражается формулой:

Ab =х1 х2 +у1 у2 .

Нулевые векторы а( х1 ; у1 ) и cos угла а между нулевыми векторами

B ( х2 ; у2 )перпендикулярны а( х1 ; у1 ) и b ( х1 ; у1 ) выражается формулой:

Тогда и только тогда, ког – cos α=х1 х2 +у1 у2 / х1 +у1 х2 + у2 .

Да х1 х2 + у1 у2 = 0.

Для любых векторов а, b, с и любого числа k справедливы соотношения:

А2 >0, причем а2 >0 при а=0.

А b = b а (переместительный закон).

( а+ b )с=ас+ b с (распределительный закон).

( k а ) b = k ( ab ) (сочетательный закон).


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (No Ratings Yet)
Loading...
Справочник по геометрии (7-9 класс)