Теоремы тригонометрии

Содержание:

I Введение………………………………………………………………………………………… 3

Вступление……………………………………………………………………………………. 3

Треугольники………………………………………………………………………………… 4

II Основная часть……………………………………………………………………………… 8

Общие сведения о тригонометрических функциях………………………. 8

Теоремы………………………………………………………………………………………. 13

Теорема о площади треугольника:…………………………………………… 13

Теорема синусов:……………………………………………………………………… 14

Теорема косинусов:………………………………………………………………….. 16

Задачи………………………………………………………………………………………….. 17

III Заключение……………………………………………………………………………….. 20

Список литературы………………………………………………………………………… 21

IВведение Вступление

Геометрия – одна из самых древних и интересных наук, занимающаяся изучением геометрических фигур. Наш мир невозможно представить без их существования. Эта наука имеет огромный запас различных теорем, которые постоянно применяются как при решении математических задач, так и в жизни. Больше всего меня заинтересовали теоремы синусов и косинусов, которые применяются при решении произвольных треугольников. Цель данного реферата – уметь доказывать теоремы косинусов и синусов, применять их в решении задач, выбирать правильный ход решения при их использовании, знать, где данные теоремы применяются в жизни.

Треугольники

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами.

Виды треугольников :

– Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

– Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.

– Треугольник называется остроугольным, если все три его угла – острые, то есть меньше 90°

– Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов – тупой, то есть больше 90°.

Бермудский Треугольник – широко известная аномальная зона. Расположен он в границах между Бермудскими островами, Майями во Флориде и Пуэрто-Рико. Площадь Бермудского треугольника составляет свыше одного миллиона квадратных километров. Рельеф дна в этой акватории хорошо изучен. На шельфе, который составляет значительную часть этого дна, было проведено множество бурений с целью отыскать нефть и другие полезные ископаемые. Течение, температура воды в разное время года, ее соленость и движение воздушных масс над океаном – все эти природные данные занесены во все специальные каталоги. Этот район не особенно сильно отличается от других похожих географических мест. И, тем не менее, именно в районе Бермудского треугольника загадочно исчезали суда, а затем и самолеты.

Выдвигаются различные гипотезы для объяснения этих исчезновений, от необычных погодных явлений до похищений инопланетянами. Скептики утверждают, однако, что исчезновения судов в бермудском треугольнике происходят не чаще, чем в других районах мирового океана и объясняются естественными причинами. Морские и воздушные суда погибают и в других районах земного шара, иногда бесследно. Неисправность радио или внезапность катастрофы может помешать экипажу передать сигнал бедствия. Поиск обломков в море – непростая задача, особенно в шторм или когда место катастрофы точно неизвестно. Если учесть очень оживленное движение в районе бермудского треугольника, частые циклоны и штормы, большое количество отмелей, количество случившихся здесь катастроф, которые так и не получили объяснения, не является необычно большим.

Впервые о “таинственных исчезновениях” в бермудском треугольнике упомянул корреспондент Associated Press Джонс, в 1950 году он назвал этот район “морем дьявола”. Автором словосочетания “бермудский треугольник” обычно считают Винсента Гладдиса, опубликовавшего в 1964 году в одном из журналов, посвященных спиритизму, статью “Смертоносный бермудский треугольник”.

Египетский треугольник – прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.

Особенностью такого треугольника, известной еще со времен античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора дает целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников – треугольников с целочисленными сторонами и площадями.

Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины: в VII – V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет – и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к доказательству знаменитой теоремы.

Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами.

Для построения прямого угла использовался шнур или веревка, разделенная отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.

В архитектуресредних веков египетский треугольник применялся для построения схем пропорциональности.

II Основная часть Общие сведения о тригонометрических функциях

Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников.

В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т. е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.

Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом. Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны еще две тысячи лет назад.

Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н. э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н. э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги. В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского ученого Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).

Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completelysinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin(90° – a)). Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin и cos были впервые введены в 1739 г. швейцарским математиком Иоганном Бернуллив письме к Леонарду Эйлеру, который и стал употреблять их в своих математических работах. Эйлер ввел также обозначения для функций угла х: tg x, ct g x, sec x, cosec x.

Синус, косинус, тангенс, котангенс.

– Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе (AB/OB).

– Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе (ОА/OB).

– Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету (AB/OA).

– Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету (ОА/AB) .

Значения тригонометрических функций.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов.

0°(0 рад) 30° (π/6) 45° (π/4) 60° (π/3) 90° (π/2) 180° (π) 270° (3π/2) 360° (2π)
N/A N/A
N/A N/A N/A

Значения косинуса и синуса на окружности.

Свойства тригонометрических функций

Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или основному тригонометрическому тождеству, имеем:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, имеем далее:

Формулы приведения:

Sin(90° – α) = cosα

Cos(90° – α) = sinα

Sin(180° – α) = sinα

Cos(180° – α) = – cosα

Четность и нечетность функций.

Четная функция – функция y = f ( x ) называется четной, если область ее определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство

F (- x ) = f ( x )

Нечетная функция – функция, область ее определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство

F(- x) = – f( x)

Косинус – единственная четная функция. Остальные три функции – нечетные, то есть:

Теоремы

Теорема о площади треугольника:

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

S = ½ ab sin C

Дано:

∆ АВС, АВ= с, ВС = a, СА = b, h – высота

Доказать:

S = ½ absinC

Доказательство:

Введем систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S = ½ ah, где h – высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т. е. h = b sinC (т. к. sinC = h / b ) => S = ½ absinC

Ч. т. д.

Теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

A/ sinA = b/ sin B = c/ sinC

Дано:

∆АВС АВ= с, ВС= а, СА= b

Доказать :

A/ sinA = b/ sin B = c/ sinC

Доказательство:

По теореме о площади треугольника S= ½ absinC, S = ½ bcsinA, S= ½ acsinB.

Из первых двух равенств получаем ½ absinC = ½ bcsinA,

½ ab sinC = ½ bc sinA │ : ½ b

A sinC = c sinA │: sinA sinC

A/sinA = c/sinC

Точно также из второго и третьего равенства получаем

½ bc sinA = ½ ac sinB │: ½ c

B sinA = a sinB │: sinA sinB

B/sinB = a/sinA

Таккакa/sinA = c/sinC иb/sinB = a/sinA, тоa/sinA= b/sinB= c/sinC.

Ч. т. д.

Замечание:

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего

Угла равно диаметру описанной окружности.

A/sinA= b/sinB= c/sinC= 2R

Дано:

R – радиус описанной окружности, ВС = a, BA1 – диаметр

Доказать:

BC/sinA = 2R (BC=2RsinA)

Доказательство:

Проведем диаметр ВА1. Рассмотрим ∆А1ВС, ∟С – прямоугольный => ВС=ВА1×sinA1. Если т. А1 лежит на дуге ВАС, то ∟А1=∟А, если на дуге BDC, то ∟A1= 180° – ∟A. И в том, и в другом случае sinA1 = sinA => BC= BA1*sinA, BC= 2RsinAили BC/sinA= 2R.

Ч. т. д.

Теорема косинусов:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

A 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα .

Дано: ∆АВС АВ= с, ВС= а, СА= b

Доказать:

A 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα

Доказательство:

Введем систему координат с началом в точке А. Точка В имеет координаты (с; 0), а точка С(bcosA; bsinA). По формуле расстояния между двумя точками d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2получаем:

ВС2 = a 2 = (b cosA – c)2 +(bsinА – 0) 2 ,

A 2 = b2 cos2A – 2bc cosA + c2 + b2 sin2 A,

A 2 = b2 (cos2A + sin2A) + c2 – 2bc cosA,

A 2 = b2 + c2 – 2bc cosA.

Ч. т. д.

Обобщенная теорема Пифагора.

Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в ∆АВС ∟А прямой, то cosA = cos 90° = 0 и по a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα получаем:

A 2 = b 2 + c 2 ,

Т. е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катета.

Задачи

№1

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Дано :

A = 7 см, b = 23cм, ∟ C = 130°

Найти: с, ∟ А, ∟ В

Решение :

C 2 = a 2 + b 2 − 2bc cosC

С = √ 49 + 529 – 2×7×23×(-0,643)” 28

Cos A = b 2 + c 2 − a 2 / 2bc

Cos A = (529 + 784 – 49) / 2 ×23× 28 ” 0,981

∟ А ” 11°

∟ В = 180° – (∟ А + ∟ C) = 180°- (11°+130°) ” 39°

Ответ: c ” 28, ∟ А ” 11°, ∟ B ” 39°.

№2

Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.

Дано:

А= 20 см, ∟ А= 75°, ∟ В= 60°

Найти: ∟ C, b, c

Решение:

∟ C = 180-(60°+75°) = 45°

A /sin A = b /sin B = c /sin C

B = a × (sin B / sin A )

B ” 20×(0,866/ 0,966)”17,9

C = a × (sin C / sin A )

C = 20×(0,7/ 0,966)”14,6

Ответ: ∟ C = 45°, b ” 17,9 см, c “14,6 см.

№3

Решение треугольника по трем сторонам.

Дано:

А= 7 см, b =2 см, с =8 см

Найти: ∟ А, ∟ В, ∟ С.

Решение:

Cos A = (4 + 64 – 49) / 2 × 2 × 8 ” 0,981

∟ А ” 54°

Cos B = (49 + 64 – 4) / 2 × 7 × 8 ” 0,973

∟ В ” 13°

∟ С = 180° – (54° + 13°) = 113°

Ответ: ∟ А ” 54°, ∟ В ” 13°, ∟ С = 113°

№4

Измерение высоты предмета.

Предположим, что требуется определить высоту АН какого – то предмета. Для этого отметим точку В на определенном расстоянии а от основания Н предмета и измерим ∟АВН=a. По этим данным из прямоугольного треугольника АНВ находим высоту предмета: АН = а tg a.

Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки В и С на определенном расстоянии а друг от друга и измерим углы АВН и АСВ: ∟АВН =a, ∟АСВ = b, ∟ВАС = a – b. Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС; по теореме синусов находим АВ: АВ = asinb/ sin (a – b). Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета:

АН = АВ sin a= a sina sinb / sin ( a – b).

№5

Измерение расстояния до недоступной точки (измерение ширины реки).

На местности выберем точку В и измерим длину с отрезка АВ. Затем измерим, например с помощью астролябии, углы А и В: ∟А= a и ∟В = b. Эти данные, т. е. с, a и b, позволяют решить ∆АВС и найти искомое расстояние d=AC.

Находим ∟С и sinC : ∟С= 180°- a – b, sin C= sin(180°- a – b) = sin(a+b).

Так как d/sinb = c/sinC, то d = csinb/ sin(a+b).

III Заключение. В данном реферате были выполнены все поставленные задачи: узнали более подробную информацию о тригонометрических функциях; привели доказательства теорем косинусов и синусов, а также теоремы о площади треугольников, применили их в решении задач на нахождение неизвестных элементов треугольника, узнали, как используются данные теоремы при проведении измерительных работ на местности. Приведенные задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для практических работ. Список литературы.

1. Анатасян Л. С., Бутузов В. Ф. Геометрия 7-9 класс – 12-е изд.-М.: Просвещение, 2002г., стр.157-159, 256-261

2. Балк М. Б., Балк Г. Д. “Математика после уроков”, М., Просвещение, 1971., стр.56-57

3. Берманд А. Ф. Тригонометрия, 1967г., стр.4-6

4. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. Алгебра 9 класс – 13-е изд.-М.: Просвещение, 2006г., стр.112-114

5. Понарин Я. П. Элементарная геометрия. МЦНМО, 2004., стр. 84-85.

МОУ “Средняя общеобразовательная школа №4 г. Балабаново”

Реферат

На тему:

“Решение треугольников”

Выполнила

Ученица 9 б класса

Матвеева Анастасия

Учитель

Заречкова Л. И.

Г. Балабаново 2010


Зараз ви читаєте: Теоремы тригонометрии