Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат

.

М. И. Векслер, Г. Г. Зегря

Уравнения Максвелла для электростатики имеют вид:

=ρ
=

При этом

(4)

В вакууме ε = 1, так что

(5)

Потенциал φ считается равным нулю на бесконечности, если не оговорено иное.

Векторные операторы (grad, div, rot), фигурирующие в уравнениях Максвелла, по-разному записываются в различных системах координат:

=(6)
(7)
(8)
=(9)
(10)
(11)
Δ φ=(12)
(13)
(14)

Для цилиндрической и сферической систем выписана лишь радиальная часть соответствующих операторов. Этого достаточно для решения задач, в которых электрические величины зависят только от r.

=(15)

Задача. Электрическое поле зависит только от координаты x согласно формуле . Требуется вычислить распределение заряда ρ(x) и распределение потенциала φ(x). При нахождении φ(x) принять φ|x = 0 = 0.

Решение: Распределение заряда находится непосредственно из уравнения Максвелла:

ρ=
ρ=

Для нахождения потенциала φ(x) необходимо интегрирование уравнения (4), причем с обоснованно взятыми пределами, а именно от точки x = x*, в которой φ(x*) = 0 до точки x, в которой ищется потенциал:

В условии сказано, что φ(0) = 0 – это и диктует выбор нижнего предела:

В качестве переменной интегрирования мы используем , чтобы избежать путаницы с x. Теперь мы проводим вычисление и приходим к окончательному ответу:

φ(x)=
=

Задача. В некоторой области распределение потенциала является цилиндрически-симметричным и подчиняется закону φ = α r5, где r – расстояние от оси. Найти Er(r) и ρ(r) для этой области.

Ответ: Er(r) = -5α r4, ρ(r) = -25ε0α r3

Задача. Потенциал внутри шара зависит от координаты r как φ(r) = ar2+b (a, b – константы). Найти ρ(r).

Решение Мы имеем дело со сферической системой и должны работать в ней. Ввиду симметрии, электрическое поле направлено от центра шара (или, вообще говоря, к нему – это зависит от знака a). Поле находим как градиент потенциала:

После этого сразу записывается (у нас ε = 1):

Далее используем уравнение Максвелла для нахождения заряда:

Задача. В цилиндрической системе имеется электрическое поле , α>0. Выяснить, какому распределению заряда ρ(r) и какому потенциалу φ(r) такое поле соответствует.

Ответ: ρ(r) = Aε0exp(-α r)(2-α r),

Задача. Проверить, выполняется ли критерий потенциальности () для поля И для поля .

Ответ: Для первого поля – да, для второго – нет.

Список литературы

1. И. Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. – 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. – 416 с.

2. В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М. М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. – 503 с.

3. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. – 661 с.


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (No Ratings Yet)
Loading...
Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат