Высшая математика Матрица

Министерство образования

Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

2003

1(Т85.РП). Найдите матрицу D=(AC-AB), если

А= 1 0 ,C= 3 4 4 , B= -3 1 4 .

2 -2 1 -3 5 2 -3 4

(В ответ ввести вторую строку матрицы D.)

Решение:

Размеры матриц А и С согласованны, т. к. число элементов в строке матрицы А равно числу элементов в столбце матрицы В.

А*с= 1 0 * 3 4 4 = 1*3+0*1 1*4+0*(-3) 1*4+0*5 = 3 4 4

2 -2 1 -3 5 2*3+(-2)*1 2*4-2*(-3) 2*4-2*5 4 14 -2

А*В= 1 0 * -3 1 4 = 1*(-3)+0*2 1*1+0*(-3) 1*4+0*4 = -3 1 4

2 -2 2 -3 4 2*(-3)-2*2 2*1-2*(-3) 2*4-2*4 -10 8 0

D=А*С-А*В= 3 4 4 _ -3 1 4 = 3-(-3) 4-1 4-4 = 6 3 0

4 14 -2 -10 8 0 4-(-10) 14-8 -2-0 14 6 -2

Ответ :14 , 6 , -2.

2(3ТО).Вычислите определитель D= 2 2 1 0

1 1 1 0

1 2 2 1

0 3 2 2

Решение:

2 2 1 0

1 1 1 0

1 2 2 1 =

0 3 2 2

Умножим третью строку на (-2) и сложим с четвертой строкой, результат запишем

В четвертую строку:

2 2 1 0

1 1 1 0

= 1 2 2 1 =

-2 -1 -2 0

Данный определитель разложим по элементам четвертого столбца :

3+4 2 2 1

= 1*(-1) * 1 1 1 =

-2 -1 -2

Умножим вторую строку на (-2) и сложим с первой, результат запишем в первую строку. Умножим вторую строку на 2 и сложим с третьей, результат запишем в третью строку.

0 0 -1

= – 1 1 1 = – (-1) 1+3 * (-1) * 1 1 = 1-0 =1;

0 1 0 0 1

Ответ: D = 1.

3(598.Р7).Решите матричное уравнение

1 2 1 1 1 -1

X* 4 3 -2 = 16* -1 2 3

-5 -4 -1 0 -1 -2 .

Решение:

A*X=B, X=A-1 *B

Найдем det A:

1 2 1

Det A= 4 3 -2 = 1*3*(-1)+1*4*(-4)+2*(-2)*(-5)-1*3*(-5)-2*4*(-1)-1*(-2)*(-4)=

-5 -4 -1

=-19+20+15-8+8=16 ;

Det= 16 ≠ 0;

Составим матрицу А -1 , обратную матрицы А:

А1 1 = 3 -2 = -3 -8 = -11

-4 -1

А12 = – 4 -2 = -(-4-10) = 14

-5 -1

А13 = 4 3 = -16+15 = -1

-5 -4

A21 = – 2 1 = -(-2+4) = -2

-4 -1

A22 = 1 1 = -1+5 = 4

-5 -1

A23 = – 1 2 = – (-4+10) = -6

-5 -4

A31 = 2 1 = – 4-3 = -7

3 -2

A32 = – 1 1 = – (-2-4) = 6

-2

A33 = 1 2 = 3 -8 = -5

4 3

-11/16 -2/16 -7/16

А-1 = 14/16 4/16 6/16

-1/16 -6/16 -5/16

-11/16 -2/16 -7/16 1*16 1*16 -1*16

Х = 14/16 4/16 6/16 * -1*16 2*16 3*16 =

-1/16 -6/16 -5/16 0*16 -1*16 2*16

-11*1+(-2*(-1))+(-7*0) -11*1+(-2*2)+(-7*(-1)) -11*(-1)+(-2*3)+(-7*2)

= 14*1+4*(-1)+6*0 14*1+4*2+6*(-1) 14*(-1)+4*3+6*2 =

-1*1+(-6*(-1))+(-5*0) -1*1+(-6*2)+(-5*(-1)) -1*(-1)+(-6*3)+(-5*2)

-9 -8 -9

= 10 16 10

5 -8 -27

Ответ : Х = : -9 , -8 , -9 : 10 , 16 , 10 : 5 , -8 , -27 .

4(4П5).При каком значении параметра p, если он существует,

1 2 -2 1

Последняя строка матрицы А = 2 -3 3 2 является линейной комбинацией первых

1 -1 1 2

8 -7 p 11

Трех строк?

Решение :

Вычислим detA:

1 2 -2 1 1 2 -2 1 -7 7 0 -7 7 0

Det A = 2 -3 3 2 = 0 -7 7 0 = 3 -3 -1 = 3 -3 -1 =

1 -1 1 2 0 3 -3 -1 23 -16-p -3 14 -7-p 0

8 -7 p 11 0 23 -16-p -3

-1*(-1) 2+3 * -7 7 = 49 + 7p – 98 = 7p – 49

14 -7-p

Если detA=0 , то ранг матрицы А равен двум, т. е. 7p – 49 = 0 , p = 7.

Третья строка по теореме о базисном миноре является комбинацией первых двух.

Обозначим коэффициенты этой комбинации через λ1 и λ2 , λ3 ,тогда (8,-7,7,11) = λ1 (1,2,-2,1)+ + λ2 (2,-3,3,2) + λ3 (1,-1,1,2);

Имеем систему : λ1 + 2λ2 + λ3 = 8 * 2

2λ1 – 3λ2 – λ3 = -7

-2λ1 + 3λ2 + λ3 = 7

λ1 + 2λ2 + 2λ3 = 11

Решим данную систему методом Гаусса :

λ1 + 2λ2 + λ3 = 8 1) λ3 = 3

7λ2 + 3λ3 = 23 2) 7λ2 + 9 = 23

7λ2 + 3λ3 = 23 7λ2 = 14

λ3 = 3 λ2 = 2

3) λ1 + 2*2 + 3 =8

λ1 = 1

Коэффициенты линейных комбинаций λ1 = 1 ; λ2 = 2 ; λ3 = 3 ;

Ответ : (8,-7,7,11) = 1(1,2,-2,1)+ 2(2,-3,3,2) + 3(1,-1,1,2) .

5. Относительно канонического базиса в R3 даны четыре вектора f1 (1,1,1) , f2 (1,2,3) , f3 (1,3,6), x(4,7,10). Докажите, что векторы f1 , f2 , f3 можно принять за новый базис в R3 . (ТР0.РП) . Найдите координаты вектора x в базисе fi.

Составим определитель из компонент векторов и f1 , f2 , f3 вычислим его :

1 1 1 1 1 1

∆ = 1 2 3 = 0 1 2 = 1*(-1)1+1 * 1 2 = 5 – 4 = 1

1 3 6 0 2 5 2 5

Так как ∆ ≠ 0 , то векторы f1 , f2 , f3 образуют базис трехмерного пространства R3

Для вычисления координат вектора x в этом базисе составим систему линейных уравнений :

х1 + х2 + х3 = 4 *(-1)

Х1 + 2х2 + 3х3 = 7

Х1 + 3х2 + 6х3 = 10

х1 + х2 + х3 = 4

х2 + 2х3 = 3 *(-2)

2х2 + 5х3 = 6

х1 + х2 + х3 = 4 1) х3 = 0 3) х1 + 3+ 0= 4

Х2 + 2х3 = 3 2) х2 + 0= 3 х1 = 4 – 3

Х3 = 0 х2 = 0 х1 = 1

Х1 = 1 , х2 = 0 , х3 = 0 .

Решение этой системы образует совокупность координат вектора x в базисе f1 , f2 , f3

X(1;3;0);

X = f1 + 3f2 + 0f3 ;

X = f1 + 3f2 .

Ответ : координаты вектора x (1;3;0).

6. Докажите, что система

2х1 + 2х2 + х3 = 8,

Х1 + х2 + х3 = 3,

Х1 + 2х2 + 2х3 + х4 = 3,

3х2 + 2х3 +2х4 = 3

Имеет единственное решение. (362).Неизвестное х2 найдите по формулам Крамера. (0М1.РЛ) . Решите систему методом Гаусса.

Решение:

Составим матрицу из коэффициентов при переменных

2 2 1 0

А = 1 1 1 0

1 2 2 1

0 3 2 2

Вычислим определитель матрицы А

2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 1 1 1 0

∆ = 1 1 1 0 = 1 1 1 0 = (-1)3+4 * 1 1 1 = – 1 1 1 =

1 2 2 1 1 2 2 1 -2 -1 -2 0 1 0

0 3 2 2 -2 -1 -2 0

= – (-1)2+3 * 1 1 = 1

0 1

∆ ≠ 0, тогда система имеет решение х2 = ∆ х2 /∆

2 8 1 0 2 8 1 0 2 8 1 2 8 1

∆ х2 = 1 3 1 0 = 1 3 1 0 = (-1)3+4 * 1 3 1 = – 1 5 0 =

1 3 2 1 1 3 2 1 -2 -3 -2 0 3 0

0 3 2 2 -2 -3 -2 0

= -(-1)1+3 * 1 5 = ( 3 + 0 ) = 3

0 8

Х2 = 3 /1 = 3.

Решим систему методом Гаусса

2х1 + 2х2 + х3 = 8 *(-2) *(-1)

Х1 + х2 + х3 = 3

Х1 + 2х2 + 2х3 + х4 = 3

3х2 + 2х3 +2х4 = 3

х1 + х2 + х3 = 3

– х3 = 2

х2 + х3 + х4 = 0 *(-3)

3х2 + 2х3 +2х4 = 3

х1 + х2 + х3 = 3

Х2 + х3 + х4 = 0

– х3 – х4 = 3

Х3 = -2

1) х3 = – 2 3) х2 – 2 – 1= 0

2) 2 – х4 = 3 х2 = 3

Х4 = -1 4) х1 + 3 – 2 = 3

Х1 = 2

Проверка :

2 + 3 – 2 =3, 3 = 3

4 + 3*3 – 2 = 8, 8 = 8

2 + 6 – 4 – 2 = 3, 3 =3

9 – 4 – 2 = 3 , 3 = 3.

Ответ : х1 = 2 , х2 = 3 , х3 = – 2 , х4 = -1.

7. Дана система линейных уравнений

3х1 + х2 – х3 – х4 = 2,

9х1 + х2 – 2х3 – х4 = 7,

Х1 – х2 – х4 = -1,

Х1 + х2 – х3 -3х4 = -2.

Докажите, что система совместна. Найдите ее общее решение. (392.БЛ). Найдите частное решение, если х4 = 1 .

Доказательство :

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы

Системы равен рангу расширенной матрицы.

Составим расширенную матрицу :

3 1 -1 -1 2 0 -2 2 8 8 0 0 1 6 7

А = 9 1 -2 -1 7 → 0 -8 7 26 25 → 0 0 3 18 21 =0

1 -1 0 -1 -1 0 -2 1 2 1 0 -2 1 2 1

1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2

Первая и вторая строка пропорциональны следовательно А = 0. Поэтому ранг матрицы и расширенной матрицы равны 3 поэтому система является совместной.

Решим систему методом Гаусса :

Запишем последнее уравнение на первое место :

х1 + х2 – х3 -3х4 = -2

3х1 + х2 – х3 – х4 = 2

9х1 + х2 – 2х3 – х4 = 7

х1 – х2 – х4 = -1

1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2

С = 3 1 -1 -1 2 → 0 2 -2 -8 -8 → 0 2 -2 -8 -8 →

9 1 -2 -1 7 0 8 -7 -26 -25 0 0 -1 -6 -7

1 -1 0 -1 -1 0 2 -1 -2 -1 0 0 -1 -6 -7

х1 + х2 – х3 -3х4 = -2

→ 2х2 – 2х3 -8х4 = -8

– х3 -6х4 = -7.

1) х3 = 7 – 6х4

2) х2 – х3 -4х4 = -4

Х2 = х3 + 4х4 – 4

Х2 = 7 – 6х4 + 4х4 – 4

Х2 = 3 – 2х4

3) х1 = – х2 + х3 + 3х4 – 2

Х1 = – 3+ 2х4 + 7 – 6х4 + 3х4 – 2

Х1 = 2-х4 .

Получаем общее решение системы :

Х1 = 2-х4

Х2 = 3 – 2х4

Х3 = 7 – 6х4.

Найдем частное решение, если х4 = 1 тогда

Х1 = 2- 1 = 1;

Х2 = 3 – 2*1 = 1;

Х3 = 7 – 6*1 =1.

Ответ : (1;1;1;1) – частное решение.

8. Дана система линейных однородных уравнений

2х1 +3х2 – х3 – х4 + х5 = 0,

3х1 – 2х2 – 3х3 -3х5 = 0,

Х1 – 3х2 + 2х3 -5х4 -2х5 = 0.

Докажите, что система имеет нетривиальное решение. Найдите общее решение системы. Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений Доказательство :

Система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы меньше числа неизвестных. В этом случае ранг матрицы не больше трех, а переменных в системе пять.

Решим систему методом Гаусса.

Запишем матрицу системы :

2 3 -1 -1 1 1 -3 2 -5 -2

А = 3 -2 3 0 -3 → 0 9 -5 9 5 │*7 →

1 -3 2 -5 -2 0 7 -3 15 3 │*(-9)

1 -3 2 -5 -2

→ 0 9 -5 9 5

0 0 -8 -72 8

х1 -3х2 + 2х3 – 5х4 -2х5 = 0

9х2 – 5х3 + 9х4 +5х5 = 0

-8х3 -72х4 +8х5 = 0

1) 8х3 = -72х4 + 8х5

Х3 = – 9х4 + х5

2) 9х2 + 45х4 – 5х5 + 9х4 +5х5 = 0

9х2 + 36х4 = 0

Х2 = – 4х4

3) х1 +12х4 – 18х4 + 2х5 – 5х4 -2х5 = 0

Х1 – 11х4 = 0

Х1 =11х4

Общее решение системы :

Х1 =11х4

Х2 = – 4х4

Х3 = – 9х4 + х5

Найдем фундаментальную систему решений, положив х4 = 1 , х5 = 0.

Х1 =11*1 = 11,

Х2 = – 4*1 = -4,

Х3 = – 9*1 + 0 = -9.

Пусть х4 = 0, х5 = 1.

Х1 =11*0 = 0,

Х2 = – 4*0 = 0,

Х3 = – 9*0 + 1 = 1.

Ответ : (11;-4;-9;1;0)

(0; 0; 1; 0; 1).

9 (3СА). Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах а = 2р + 3r, b = p -2r, | p | = √2 , | r | = 3, (p,^r) = 45° .

Решение :

S =| [а, b] | = | [2р + 3r, p -2r] | = | 2[p, p] – 4[p, r ] + 3[r, p] -6[r, r] |

[p, p] = 0 , [r, r] = 0 , [r, p] = – [p, r ] .

S = | 7[r, p] | = 7| r | * | p | * sinφ

S = 7 * 3 * √2 * sin 45° = 21 * √2 * √2 / 2 =21 .

Ответ :S =21 .

10 (78Т). Вычислите ПрBD [BC, CD] , если B(6,3,3) ; C(6,4,2) ; D(4,1,4) .

Решение :

Найдем координаты векторов

BD = ( 4 – 6 , 1 – 3 , 4 – 3 ) = ( – 2 ; – 2 ; 1 ),

BC = ( 6 – 6 , 4 – 3 , 2 – 3 ) = ( 0 ; 1 ; – 1 ),

CD = ( 4 – 6 , 1 – 4 , 4 – 2 ) = ( – 2 ; – 3 ; 2 ).

Найдем векторное произведение :

i j k

[BC, CD] = 0 1 -1 = i (2 – 3) – j (0 -2) + k (0 + 2) = – i + 2j + 2k.

-2 -3 2

Пусть [BC, CD] = а, тогда а = ( -1 ; 2 ; 2 )

ПрBD а = ( BD, a ) /| BD |

( BD, a ) = -2*( -1 ) – 2*2 + 1*2 = 2 -4 + 2 = 0 .

ПрBD а = 0 .

Ответ : ПрBD а = 0 .

11. Линейный оператор А действует в R3 → R3 по закону Ax = (- х1 + 2х2 + x3 , 5х2 , 3х1 + 2х2 + х3 ), где х( х1 , х2 , х3 ) – произвольный вектор.(125.РП). Найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе. Докажите, что вектор х(1,0 ,3) является собственным для матрицы А.(Т56). Найдите собственное число λ0 ,соответствующее вектору х. (Д25.РП). Найдите другие собственные числа, отличные от λ0 . Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте проверку.

Решение :

Ax = (- х1 + 2х2 + x3 ; 5х2 ; 3х1 + 2х2 + х3 )

Найдем матрицу в базисе l1 , l2 , l3

Al1 = (-1 ; 2 ;1)

Al2 = (0 ; 5 ; 0)

Al3 = (3 ; 2 ; 1)

-1 2 1

A = 0 5 0

3 2 1 .

Докажем, что вектор х = (1 ,0 ,3) является собственным для матрицы А.

Имеем

-1 2 1 1 -1 + 0 + 3 2 1

Aх = 0 5 0 * 0 = 0 + 0 + 0 = 0 = 2 * 0

3 2 1 3 3 + 0 + 3 6 3 .

Отсюда следует, что вектор х = (1 ,0 ,3) собственный и отвечает собственному числу λ = 2 .

Составляем характеристическое уравнение :

-1 – λ 2 1

0 5 – λ 0 = 0

3 2 1 – λ

(5 – λ)*((-1 – λ)*(1 – λ) – 3) = 0

5 – λ = 0 или λ2 -1 – 3 = 0

λ2 = 4

λ= ±2

λ1 = 2 , λ2 = -2 , λ3 = 5 .

Запишем систему для определения собственного вектора, отвечающего собственному числу λ = -2.

х1 + 2х2 + х3 = 0 х2 = 0

7х2 = 0

3х1 + 2х2 + 3х3 = 0

х1 + х3 = 0 х1 = – х3

3х1 + 3х3 = 0

Пусть х3 = 1 ,тогда х1 = -1 , имеем собственный вектор х1 = (-1 ;0 ;1) .

Проверка :

-1 2 1 -1 1 + 0 + 1 2 -1

A = 0 5 0 * 0 = 0 + 0 + 0 = 0 = -2 * 0

3 2 1 1 -3 + 0 + 1 -2 1

Следовательно, х1 = (-1 ;0 ;1) собственный вектор и отвечает собственному числу λ = -2.

Найдем собственный вектор для λ = 5

-6х1 + 2х2 + х3 = 0

3х1 + 2х2 – 4х3 = 0

-9х1 + 5х3 = 0

Х1 = 5/9 х3

-6*(5/9 х3 ) + 2х2 + х3 = 0

-10/3 х3 + х3 + 2х2 = 0

2х2 = 7/3 х3

Х2 = 7/6 х3 .

Пусть х3 = 18 , тогда х1 = 10 , х2 = 21 .

Вектор х2 = (10 ;21 ;18) собственный вектор.

Проверка

-1 2 1 10 -10 + 42 + 18 50 10

A = 0 5 0 * 21 = 0 + 105 + 0 = 105 = 5 * 21

3 2 1 18 30 + 42 + 18 90 18 .

Следовательно, х2 = (10 ;21 ;18) собственный и отвечает собственному числу λ = 5 .

Ответ : матрица в каноническом базисе : -1 , 2 , 1 : 0 , 5 , 0 : 3 , 2 , 1; вектор х = (1 ,0 ,3) собственный и отвечает собственному числу λ = 2 , х1 = (-1 ;0 ;1) собственный вектор и отвечает собственному числу λ = -2 , х2 = (10 ;21 ;18) собственный и отвечает собственному числу λ = 5 .

12(Д01.РП).Составьте общее уравнение прямой, проходящей через точку М(1,4) параллельно прямой 2х + 3y + 5 = 0.

Решение :

Найдем угловой коэффициент прямой 2х + 3y + 5 = 0.

3y = -2x -5

Y = -2/3 x – 5/3

κ = -2/3

Так как исходная прямая параллельна данной, то ее угловой коэффициент равен κ = -2/3 .

Уравнение прямой имеющей угловой коэффициент κ и проходящей через точку М(х0 ,y0 ) записывается в виде

Y – y0 = κ(x – x0 ).

Имеем

Y – 4 = -2/3 (x – 1)

3y – 12 = -2x + 2

2х + 3y – 14 = 0.

Ответ : 2х + 3y – 14 = 0 – уравнение искомой прямой.

13(3А2.РП).Найдите координаты проекции точки М(3,6) на прямую х + 2y – 10 = 0.

Решение :

Пусть N – проекция точки М на данную прямую.

Составим уравнение прямой MN угловой коэффициент заданной прямой х + 2y – 10 = 0 равен κ1 = -1/2 , тогда угловой коэффициент прямой MN равен κ2 = 2 .

Тогда уравнение MN имеет вид y – y0 = 2(x – x0 ) .

Для определения координат точки N решим систему уравнений

х + 2y – 10 = 0

Y – y0 = 2(x – x0 ) , x0 = 3 , y0 = 6 .

х + 2y – 10 = 0 2х + 4y – 20 = 0

Y – 6= 2(x – 3) -2х + y = 0

4y = 20

Y = 4

2х = y

Х = Ѕ y

Х = Ѕ * 4 = 2

Х = 2 .

Ответ : координаты проекции точки М(3,6) на прямую х + 2y – 10 = 0 N(2,4).

14(103.БЛ). Запишите общее уравнение плоскости, походящей через три заданные точки M1 (-6,1,-5) , M2 (7,-2,-1) , M3 (10,-7,1) .

Решение :

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки имеет вид

x-x1 y-y1 z-z1

X2-x1 y2-y1 z2-z1 = 0

X3-x1 y3-y1 z3-z1

x-6 y-1 z+5

7+6 -2-1 -1+5 = 0

10+6 -7-1 1-5

x-6 y-1 z+5

13 -3 4 = 0

16 -8 -4

(x -6)* -3 4 – (y – 1)* 13 4 + (z + 5)* 13 -3 = (x -6)*(12+32) – (y – 1)*(-52-64)+

-8 -4 16 -4 16 -8

+ (z + 5)*(-104+48) = 0

(x -6)*44 – (y – 1)*(-116) + (z + 5)*(-56) = 0

11*(x -6) + 29*(y – 1) – 14*(z + 5) = 0

11x – 66 + 29y – 29 – 14z – 70 = 0

11x + 29y – 14z – 165 = 0 .

Ответ : общее уравнение плоскости 11x + 29y – 14z – 165 = 0 .

15.Дана кривая 4×2 – y2 – 24x + 4y + 28 = 0 .

8.1.Докажите, что эта кривая – гипербола.

8.2 (325.Б7).Найдите координаты ее центра симметрии.

8.3 (Д06.РП).Найдите действительную и мнимую полуоси.

8.4 (267.БЛ). Запишите уравнение фокальной оси.

8.5. Постройте данную гиперболу.

Решение :

Выделим полные квадраты

4(x2 – 6x + 9) – 36 – (y2 – 4y + 4) + 4 + 28 = 0

4(x – 3)2 – (y – 2)2 – 4 = 0

4(x – 3)2 – (y – 2)2 = 4

((x – 3)2/1) – ((y – 2)2/4) = 1

Положим x1 = x – 3 , y1 = y – 2 , тогда x1 2/1 – y1 2/4 =1 .

Данная кривая является гиперболой.

Определим ее центр

X1 = x – 3 = 0 , x = 3

Y1 = y – 2 = 0 , y = 2

(3 ; 2) – центр.

Действительная полуось a =1 .

Мнимая полуось b =2 .

Уравнение асимптот гиперболы

Y1 = ± b/ax1

(y – 2) = (± 2/1)*(x – 3)

Y -2 = 2x – 6 и y – 2 = -2(x – 8)

2x – y – 4 = 0 2x + 2y – 8 = 0

X + y – 4 = 0 .

Определим фокусы гиперболы

F1 (-c ; 0) , F2 (c ; 0)

C2 = a2 + b2 ; c2 = 1 + 4 = 5

C = ±√5

F1 (-√5; 0) , F2 (√5 ; 0).

F1 ′(3 – √5; 2) , F2 ′ (3 + √5; 2).

Уравнение F1 ′ F2 ′ (x – 3 + √5) / (3 + √5 – 3 + √5) = (y – 2) /(2 – 2) ; y = 2

Ответ: (3 ; 2) , действительная полуось a =1 , мнимая полуось b =2, (x – 3 + √5) / (3 + √5 – 3 + √5) = (y – 2) /(2 – 2) ; y = 2 .

16.Дана кривая y2 + 6x + 6y + 15 = 0.

16.1.Докажите, что эта кривая – гипербола.

16.2(058.РП). Найдите координаты ее вершины.

16.3(2П9). Найдите значения ее параметра p.

16.4(289.РП). Запишите уравнение ее оси симметрии.

16.5.Постройте данную параболу.

Решение :

Выделим полный квадрат при переменной y

(y2 + 6y + 9) + 6x + 6 = 0

(y + 3)2 = – 6(x + 1) .

Положим y1 = y + 3 , x1 = x + 1 .

Получим

Y1 2 = ±6×1 .

Это уравнение параболы вида y2 = 2px, где p = -3 .

Данная кривая является гиперболой.

Так как p<0 , то ветви параболы в отрицательную сторону. Координаты вершины параболы y + 3 = 0 x + 1 = 0

Y = -3 x = -1

(-1 ; -3) – вершина параболы.

Уравнение оси симметрии y = -3.

Ответ : (-1 ; -3) – вершина параболы, p = -3 , уравнение оси симметрии y = -3 .


Высшая математика Матрица