Знаходження власних значеннь лінійого оператора

Міністерство освіти і науки України

ФАКУЛЬТЕТ ІНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА ІНФОРМАЦІЙНИХ УПРАВЛЯЮЧИХ СИСТЕМ ТА ТЕХНОЛОГІЙ

Реєстраційний №________

Дата ___________________

КУРСОВА РОБОТА

Тема:

Знаходження власних значень лінійного оператора

Рекомендована до захисту

“____” __________ 2008р.

Робота захищена

“____” __________ 2008р.

З оцінкою

_____________________

Підписи членів комісії

Зміст

Вступ

Теоретична частина

1. Означення і найпростіші властивості лінійних операторів

2. Матриця лінійного оператора

3. Власні вектори й власні значення лінійного оператора

Практична частина

1. Опис програми

2. Текст програми

3. Контрольний приклад

Висновок

Список літератури

Вступ

Власні значення грають при вивченні лінійних операторів дуже велику роль.

Нехай в дійсному лінійному просторі задан лінійний оператор . Якщо вектор , відмінний від нуля, переводиться оператором у вектор, пропорційний самому ,

,

Де – деяке дійсне число, то вектор називається власним вектором оператора , а число – власним значенням цього оператора, причому, власний вектор відноситься до власного значення .

Обертання евклідової площини навколо початку координат на кут, що не являється кратним , є прикладом лінійного оператора, що не має власних векторів. Прикладом іншого випадку є розтягнення площини, при якому всі вектори, що виходять з початку координат, причому всі нульові вектори площини будуть для нього власними; всі вони відносяться до власного значення 5.

Теоретична частина

1. Означення і найпростіші властивості лінійних операторів

В теорії лінійних просторів та її застосування важливу роль відіграють лінійні оператори, які інакше називають лінійними перетвореннями.

Нехай – деякий векторний простір над полем .

Означення 1. Вважають, що у векторному просторі задано оператор, якщо вказано правило (закон), за яким кожному вектору простору ставиться у відповідність деякий вектор цього ж простору. Про цьому вектор називають образом вектора , а називають прообразом вектора .

Як бачимо, оператор у векторному просторі – це функція, множиною відправлення і множиною прибуття якої є простір .

Означення 2. Оператор у векторному просторі називається лінійним, якщо він задовольняє такі умови:

Лінійні оператори в просторі називають також лінійним перетворенням простору .

З означення 2 випливають безпосередньо такі властивості лінійних операторів:

1. Будь-який лінійний оператор у просторі залишає нерухомим нульовий вектор цього простору, тобто .

2. Всякий лінійний оператор у просторі протилежному вектору – Будь-якого вектора , ставить у відповідність вектор, протилежний образу вектора , тобто .

3. Кожен лінійний оператор у просторі будь-який лінійний комбінації довільно вибраних векторів простору ставить у відповідність лінійну комбінацію (з тими самими коефіцієнтами) образів цих векторів, тобто .

2. Матриця лінійного оператора

Нехай – деякий лінійний оператор у просторі . Виберемо в який-небудь базис . Оператор відображає вектори цього базису в деякі вектори . Кожен вектор єдиним способом лінійно виражається через вектори базису . Припустимо, що

Складемо з коефіціентів матрицю . Рядками матриці є координатні рядки векторів В базисі . Оскльки координатні рядки векторів визначені однозначно, то й матриця визначається оператором в базисі .

Будемо вважати, що в базисі лінійний оператор задається матрицею .

Отже, при зафіксованому базисі кожному лінійному оператору простору ... відповідає певна квадратна матриця -го порядку – матриця цього оператора.

3. Власні вектори й власні значення лінійного оператора

Означення 1. Підпростір лінійного простору називається інваріантним відносно оператора , якщо , тобто якщо образ будь-якого вектора із міститься в .

Нехай -одновимірний підпростір простору , а -деякий лінійний оператор цього простору. Підпростір , як відомо, породжується будь-яким своїм вектором , тобто є сукупністю всіх векторів виду , де – будь яке число з поля Р. Якщо підпростір інваріантний відносно оператора , то , тобто , де ­-деяке число з поля Р. Тоді й для будь-якого вектора Підпростору , бо , і тому .

Означення 2. Вектор , що заддовільняє співвідношення , де називається власним вектором оператора , а число – власним значенням оператора , що відповідає власному вектору .

Отже, якщо одглвимірний підпростір простору інваріантний відносно лінійного оператора , то всі вектори цього підпростору є власними векторами оператора з тим самим власним значенням оператора .

Практична частина

1. Опис програми

N – вимірність матриці;

M – максимальне допустиме число ітерацій;

E – точність;

A – на вході – двовимірний масив елементів матриці А, на виході матриця А блочно-діагональна, причому блоки розміри 1х1 містять дійсні власні значення, блоки розміру 2х2 містять комплексні власні значення, записані в стовпцях (рядках) для правих (лівих) власних векторів;

T – двовимірний масив власних векторів А;

B – цілочислова змінна.

Лінійний оператор потрібно задати за допомогою матриці.

2. Текст програми

Uses crt;

Const dim=10;

Type ar=array[1..dim,1..dim]of real;

Var ff:text;

I100,j100,n100,b, m:integer;

E:real;

A, t:ar;

Procedure eigen(n, m:integer;e:real;var a, t:ar;var b:integer);

Var c, c1,c2,co, ch, d, e1,f, g, h, p, r, s, s1,s2,si, sh, x, y:real;

I, j, k, n1,q:integer;

U, v, w, z:boolean;

Function zn(x:real):integer;

Begin if x<0 then zn:=-1 else zn:=1; end;

Begin

U:=false;v:=u;w:=u;n1:=n-1;e1:=sqrt(e);

If b<>0 then

Begin

If b<0 then v:=true else w:=true;

For i:=1 to n do

For j:=1 to n do

If i=j then t[i, j]:=1 else t[i, j]:=0;

End;

For q:=1 to m do

Begin

If u then begin b:=1-q; exit; end;

I:=1; z:=false;

Repeat

J:=i+1;

Repeat

If(abs(a[i, j]+a[j, i])>e1) or

(abs(a[i, j]-a[j, i])>e1) and

(abs(a[i, i]-a[j, j])>e1) then z:=true;

J:=j+1;

Until (j>n) or z;

I:=i+1;

Until (i>n1) or z;

If not z then begin b:=q-1; exit; end;

U:=true;

For k:=1 to n1 do

For j:=k+1 to n do

Begin

H:=0; g:=0; f:=0; y:=0;

For i:=1 to n do

Begin

X:=sqr(a[i, k]);d:=sqr(a[i, j]); y:=y+x-d;

If (i<>k) and (i<>j) then

Begin

H:=h+a[k, i]*a[j, i]-a[i, k]*a[i, j];

P:=x+sqr(a[j, i]); r:=d+sqr(a[k, i]);

G:=g+p+r; f:=f-p+r;

End;

End;

H:=2*h; d:=a[k, k]-a[j, j];

P:=a[k, j]+a[j, k]; r:=a[k, j]-a[j, k];

If abs(p)<=e then begin c:=1; s:=0; end

Else

Begin

X:=d/p; c:=x+zn(x)*sqrt(1+x*x);

S:=zn(x)/sqrt(1+c*c); c:=s*c;

End;

If y<0 then begin x:=c; c:=s; s:=-x; end;

Co:=c*c-s*s; si:=2*s*c; d:=d*co+p*si;

H:=h*co-f*si; x:=(r*d-h/2)/(g+2*(r*r+d*d));

If abs(x)<=e

Then begin ch:=1; sh:=0; end

Else begin ch:=1/sqrt(1-x*x); sh:=ch*x; end;

C1:=ch*c-sh*s; c2:=ch*c+sh*s;

S1:=ch*s+sh*c; s2:=-ch*s+sh*c;

If (abs(s1)>e)or(abs(s2)>e) then

Begin

U:=false;

For i:=1 to n do

Begin

P:=a[k, i];a[k, i]:=c1*p+s1*a[j, i];

A[j, i]:=s2*p+c2*a[j, i];

If v then

Begin

P:=t[k, i]; t[k, i]:=c1*p+s1*t[j, i];

T[j, i]:=s2*p+c2*t[j, i];

End;

End;

For i:=1 to n do

Begin

P:=a[i, k];a[i, k]:=c2*p-s2*a[i, j];

A[i, j]:=-s1*p+c1*a[i, j];

If w then

Begin

P:=t[i, k];t[i, k]:=c2*p-s2*t[i, j];

T[i, j]:=-s1*p+c1*t[i, j];

End;

End;

End;

End;

End;

B:=m;

End;

Begin clrscr;

Write(‘введите максимальное количество итераций’);read(m);

Write(‘введите точность’);read(e);

Assign(ff,’vlasn. dat’);

Reset(ff);

Read(ff, n100);

For i100:=1 to n100 do

For j100:=1 to n100 do

Read(ff, a[i100,j100]);

B:=0;

Eigen(n100,m, e, a, t, b);

For i100:=1 to n100 do begin

For j100:=1 to n100 do

Write(a[i100,j100],’ ‘);

Writeln; end;

Writeln;

Writeln(b);

Readkey;

End.

3. Контрольний приклад

При e=10-8 і m=50 для матриці

За 7 ітерацій знайдено власні значення

Тобо отримали такі власні значення , ,

Висновок

Таким чином, задача знаходження інваріантних відносно оператора одновимірних підпросторів простору рівнозначна задачі згаходження власних векторів оператора .

Список літератури

1. А. Г. Курош “Курс высшей алгебры”, “Наука”, Москва 1975

2. С. Т. Завало, В. М. Костарчук, Б. И. Хацет “Алгебра и теория чисел”, Том 1,”Высшая школа”, Киев 1974

3. С. Т. Завало, В. М. Костарчук, Б. И. Хацет “Алгебра и теория чисел”, Том 2,”Высшая школа”, Киев 1976


Зараз ви читаєте: Знаходження власних значеннь лінійого оператора