Аддитивные проблемы теории чисел

.

Ł

1 ˇ ƺ b Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º. 3

1.1 ˇ ƺ ‘ Ł ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 ˇ ƺ ˆ º Æ ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 ( Œ Łª Ł æŒŁı æ . ( … . ‘Ł ª –

) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 ˇ ƺ Ł – ¸Ł º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 ‘Ł ª – ` Æ Ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Ł Ł ƺ ºŁ º Ø. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 ˇ ƺ ºŁ º Ø Ł ł . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.1 ˆŁ -Ł . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 b ł Ł ƺ Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º. 10

2.1 Œ ŁŁ Œ Ł øŁ Œ Ł . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 b ł . ..ææº Ł æ Œ b æ . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 º Æ ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2 – ł æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 ˜Łæ æŁ bØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 ˛æ b b b. 15

Ł Ł b ƺ b ŁŁ Łæ º XVII – XX.

‘ Ł .

Ł Ł Ł Łæ º – º ŁŁ Łæ º, Œ Ł æ Ł

º ŁŁ ºbı Łæ º æº ª b ª Ł , Œ ºª Æ Ł æŒŁ Ł ª Ł æŒŁ º ªŁ ŒŁı , æ øŁ æ Œ º ºª Æ Ł æŒŁı Łæ º Ł Œ æ Œ ł ŒŁ. Ł Ł b æ Ł Ł b Ł Ł. ˛Æb æ-

æ Ł æ Ł Ł b Ł º ŁŁ Æ º łŁı Łæ º.

1 ˇ ƺ b Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º.

˚ Œº ææŁ æŒŁ

ƺ Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º æ æ :

1. ˇ ƺ

‘ Ł ª (1770) æ º ŁŁ æ Œ ª º ª Łæº Ł

æ b s = s (k )

Ł º bı k − ı æ Ø æ ŁŒæŁ b k > l ;

2. ˇ ƺ

ˆ º Æ ı æ º ŁŁ bı º bı Łæ º, Æ º łŁı 5,

æ Ø ı

æ bı Ł ƺ غ – ˆ º Æ ı æ º ŁŁ bı Łæ º,

Æ º łŁı 2, æ

Ø ı æ bı ( æ º b 1742);

˛æº ƺ

ƺ ˆ º Æ ı . ˇ ƺ æ º Ł º bı Łæ º æ –

Ø ª Ł

ª Łæº æ bı;

3. ˇ ƺ

Ł – ¸Ł º æ º ŁŁ æ Œ ª º ª Łæº , Æ º ł ª 1,

Ł æ b

æ ª Ł ı Œ (æ ºŁ 20-ı ªª. 20 .);

4. Ł Ł

ƺ ºŁ º Ø;

5. ˇ ƺ

ºŁ º Ø Ł ł ;

6. ˙ Ł

æ º ŁŁ æ ı æ Æ º łŁı bı Łæ º æ Ł ı

Łæ º æ ª Ł

B Łæº æ bı æ Ł º Ø;

7. ˙ Ł

æ º ŁŁ ºbı Łæ º Œ Ł b Ł Ł æ Ł b –

B Ł Ł º ªŁ b Ł; Œ ªŁ Ł.

˜º ł Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º Ł æ ºŁ Ł æŒŁ , ºª Æ-

Ł æŒŁ , º b Ł æ ł b b, Œ b, æ b –

æ bı æ Æ Ł ı. ‘ ŁæŁ æ Ł ł Ł , Ł Ł b Ł ı

æ æ Ø æ ªŁ ºb ŁŁ Łæ º – ºŁ Ł æŒ Ł Łæ º, ºª Æ Ł æŒ Ł Łæ º, æ Ł Łæ º. ææ Ł æ b b Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º º æ Ł.

1.1 ˇ ƺ ‘ Ł ª .

ˇ ƺ ŁŁ Łæ º, æ ºŁ . ‘

Ł ª (¯. Waring) 1770 ª. æº –

ø Ł : æ Œ º Łæº æ æ

B ı Œ , Ł Œ Æ ,

Ł bı æ Ø. ˜ ªŁ Ł æº

Ł:

º º Æ ª n > 2 æ ø æ –

Œ k = k (n ) , Łæ ø º Œ n, º Æ

º Łæº æ æ A : n −

æ Ø Ł º bı ºbı Łæ º. ˇ

Æø

ł Ł ƺ b ‘ Ł ª æ

ª Æ Ø Œ Ø ºŁ Ł b k ŁæŁ æ Ł

N

1909 ª. ˜. ˆŁº Æ (D.

Hilbert), æ Ł æ ƺ ‘ Ł ª Ł ª

B

æ ƺ Ø ˆŁº Æ – ‘ –

Ł ª . ¯æºŁ Jk, n (N ) Æ Ł Łæº ł

Ł

ŁØ

ºbı Ł º bı Łæº ı

ˆŁº Æ

Ł º Æ N > 1.

, æ ø æ K = k (n ), º Œ ª Jk, n (N ) > 1

‘ 1928 ª. ˆ. X.

Ł Ł ˜

. … ¸Ł º (G. ˝. Hardy, J. ¯. Littlewood), Ł Ł

Œ ƺ ‘ Ł ª Œ ª Ø , Œ ºŁ, Ł k > (n − 2)2n −1 + 5 º Jk, n (N )

Ł æ æŁ Ł æŒ º Ł

Jk, n (N ) = AN k/n −1 + O (N k/n −1−γ )

ª A = A (N ) > c 0 > 0, c 0 Ł γ > 0 – Œ b æ b. º º , Ł

N > N 0 (n ) Łæı Ł Ł ł Ł . ‘ æ Ł æ Ł º ŁŒºŁ

Ł ƺ b: æ Ł Œ ı ºŁ Ł G (n ),g (n ),k 0 − Ł łŁı ºbı

Łæ º, º Œ bı:

) Łæı Ł łŁ Ł k > G (n ) Ł N > N 0 (n );

Æ) Łæı Ł łŁ Ł k > g (n ) Ł N > 1;

) º ºŁ Ł b Jk, n (N ) Ł k > k 0 (n ) Ł æ Ł … bł æŁ ŁæŒ º .

) .. æ , G (n ) > n + 1

‘ 1934 ª. … . ‘Ł ª Ł øŁ æ ª Ł Œ º, G (n ) 6

3n (lnn + 9)

˚ ª , Ł æ ª º æŁ º G (n ) º Æ º łŁı ŁØ n : G (4) = 16 (X. ˜ , ˝. Davenport, 1939), G (3) = 7 ( . ‘. ¸Ł Œ, 1942).

Æ) ‘ 1936 ª. ¸. ˜ŁŒæ . ˇŁºº (L. Dickson, S. Pillai), Ł Ł ‘Ł ª –

, Œ ºŁ,

º æ ı n > 6, º Œ bı

ˇ æº æº Ł Œ ˚. º (˚. Mahler) 1957 ª. º æ ı æ

Æ º łŁı n.

) ˝ Łº łŁØ º Ł º Ł … . ‘Ł ª , Œ bØ Œ º,

K 0 6 4n 2 lnn.

º Œ º æ ƺ b ‘ Ł ª . ‘. ¸Ł ŁŒ 1942 ª. ø æ ª ºŁ bı Æ Æø ŁØ ƺ b ‘ Ł ª ( b Æ ª

Œ æ æ º bı Łæ º; æ º

æ º ŁŁ Łæº n ææ Ł æ ª º b f 1 (x 1 ),f 2 (x 2 ),…,fk (xk ); æ

Łæı ª Ł ææ Ł æ æ Ł Ł . .). ˛æ Æ Ł ƺ b ‘ Ł ª æ æ Ł , Ł ł ŁŁ æ b ø b b ºŁ Ł æŒ Ø ŁŁ Łæ º.

1.2 ˇ ƺ ˆ º Æ ı .

˛ Ł Ł æ bı ƺ ŁŁ Łæ º. ˙ Œº æ Œ º æ ª , æ Œ º Łæº , Æ º ł ŁºŁ ł æ Ł, Æb æ º Ł æ b ı æ bı Łæ º. ƺ b Ł º 1742 ª. X. ˆ º Æ ı (Ch. Goldbach)

Łæ Œ ¸. غ (L. Euler). ‘ ¸. غ Łº, º ł Ł ƺ b æ Œ , Œ Łæº æ æ ı æ bı. ‘ Ł

ºª ª Ł º æ Ø Ł ŁŒ ŒŁı Ø Łææº Ł ƺ b ˆ º Æ ı .

‘ 1923 ª. ˆ. Ł Ł ˜ . ¸Ł º (G. Hardy, J. Littlewood) º æ Œ , æºŁ b Œ b b ( Œ b Ł b ) æŁ º L˜Ł Łıº , æ Œ æ Æ º ł Łæº æ æ ı æ bı Łæ º.

‘ 1937 ª. … . ‘Ł ª æ º bØ º æŒ Ø ŁŁ Łæ º Œ Łª Ł æŒŁı æ æ æ b Ł Łæº Ł, æ ø Œ ª –

Œ º æŁ Ł æŒ º º Œ ºŁ æ æ º ŁØ ª Łæº æ Ø ı æ bı Łæ º. .. Ø ºb æº , Œ æ Æ º ł

Łæº æ æ ı æ bı Łæ º. – Ł Œ ØłŁı æ Ł ŁØ æ Ø ŁŒŁ.

… . ‘Ł ª ºŁº łŁ Ł æ ø æ Æ º ÆøŁı . ˙ ÆŁ ŁŁ ª Łæº æ ı æ bı ø ł .

1.2.1 ( Œ Łª Ł æŒŁı æ . ( … . ‘Ł ª )

˛ Ł Ł æ bı æŁº bı Ł ÆøŁı ºŁ Ł æŒ Ø ŁŁ Łæ º Łª Ł æŒŁı æ Æbº æ … . ‘Ł ª b. ªŁ ƺ b ºŁ Ł æŒ Ø

ŁŁ Łæ º º æ ºŁ æ bŒ Œ bı æ æº ª bı Ł

CosF (x 1,…,xn ) + i sinF (x 1,…xn ),

ª F (x 1,…,xn ) Øæ

Ł º º Łæº Œ Ł . ŒŁ Æ ,

æ Ł Łı ƺ

æŁ æ Ł Ł ŒŁı æ Ł, æ æ Ł, –

º Ł

Æ º Ø ŒŁ º ŒŁı æ . … . ‘Ł ª ,

Łæ º ªº Æ ŒŁ Ł

Ł æŒŁ æ Øæ ææ Ł bı æ , º Łº ŁæŒº –

Ł º æŁº b ŒŁ

º łŁ Œ ª Œº ææ ŒŁı æ . ºŁº

‘Ł ª º Ł

º b, ƺŁ ŒŁ Œ º b º –

B º æ

ŁŁ Łæ º ŒŁı Œº ææŁ æŒŁı ı, Œ Œ ƺ

‘ Ł ª , ƺ ˆŁº Æ

˚ Œ , ƺ Œ æ ‘ غ . ˜ ªŁ æº æ Ł-

Œ Łª

Ł æŒŁı æ Æbº ł Ł Ł Ł bı ƺ

æ æ b Ł Łæº Ł Ł,

æ æ Ł, ł Ł ƺ b ˆ º Æ ı .

1.3 ˇ ƺ

Ł – ¸Ł º .

˙ ı Ł æŁ

Ł æŒ Ø ºb º Łæº Q (n ) ł ŁØ Ł

P + x 2 + y 2 = n,

ª p – æ , x Ł – ºb, n – º Łæº . º ª Ø Ł º æ ƺ ı Ł æŁ ŁŒŁ º Łæº ł ŁØ Ł

P − x 2 − y 2 = l,

ª l – ŁŒæŁ

º

Łæº , p 6 n (n → ∞). X. -¸.

. Æbº

æ º ˆ.

Ł (G. Hardy) Ł ˜

. ¸Ł º

(J. Littlewood) 1923 Ł

ææ

Ł Ł æ

Łæ Ł æŒŁı Ł ªŁ

Ł

æŒŁı æ Æ ŁØ.

˜Łæ æŁ bØ

,

Æ bØ . ‘. ¸Ł ŁŒ ,

ºŁº

Ø Ł æŁ

ŁŒ º ª

Ł :

,

ª

..

º ªŁ Ø ºb º ª Ł æº Æ æŒ

æ æ

æ bı

Łæ º Ł = x 2 + y 2 + l. ø Łæ æŁ ª

Ø æŁ

ŁŒ

º Łæº ł ŁØ Æ Æø ª Ł Ł – ¸Ł º

P + ϕ (x, y ) ª

P

– æ

.

, ϕ (x, y ) – Ł Ł Ł º Ł º º

Œ Ł

– ææ

Ł º ªŁ ª Ł p − ϕ (x, y ) = l Ł Ł

Œ Œ º æ

Æ æŒ

æ Ł æ æ bı Łæ º Ł p = ϕ (x, y ) + l

‘Ł ª – ` Æ Ł æ º ŁŁ æ bı Łæ º Ł Ł æŒŁı

.

ª ææŁ ı æ Œ æ º ł Ł ƺ Ł – ¸Ł º , Œ Ł æŒŁ æłŁ ªŁ -Ł Ł Ł Æ º ł ª ł .

1.3.1 ‘Ł ª – ` Æ Ł.

ˇ æ Ł Łæ º æ Œ Ł :

,

ª

ψ (y, k, l ) = X = Xλ (n ).

N 6yn ≡lmodk

, æ ø æ æ b c 1 > 0 Ł c 2 > 0 ŒŁ ,

,

√4 logx

ª k 0 < e = z 1 − º , º Œ ª æ ø æ Ł æ bØ Ł Ł Ł bØ

Øæ Ł º bØ Ł Ł Ł bØ ı Œ χk 0 Œ Ø, L (s,χk 0 ) Ł º Ł s =

√ 11/ 18 −A

∆(Q, x ) 6 c (A )( xQ logx + x logx )

Ł º Æ A.

1.4 Ł Ł ƺ ºŁ º Ø.

Ł Ł ƺ ºŁ ª Ł æ Ł :

,

º Ø – ƺ , Œº ø æ

X

τ k 1τ k 2(m + a ) m 6n

X

τk 1τk 2 (n − m ), m<n

ŁæŒ

æŁ Ł

æŒ –

ª τk (m )− Œ ºŁ æ

ºŁ bı º ŁØ º ª Łæº

K

Ł

º Ø, æ Ł

Ł

Œ k 1, Ł k 2 > 2− –

º b Łæº , a – ŁŒæŁ

º

Łæº ,

ºŁ –

º , n – æ

Æ º ł º Łæº . ‘

æ

æ Ł, τ 2 (m ) = τ (m ) –

Łæº ºŁ º Ø º Łæº

ŁØ

M. b b, æ æ

X 1x 2…xk 2 − y 1y 2…yk 1 = a, x 1x 2…xk 1 − y 1y 2…yk 2 = n.

, Œ ºŁ æ

ł ŁØ

Ł Ł ƺ

ºŁ º Ø Ł k 1 = 2 Ł º Æ

º

K 2 Æbº

ł æ

ø Łæ æŁ ª

. ‘. ¸Ł ŁŒ .

Æ

ææ

º .

1.5 ˇ ƺ ºŁ

º Ø Ł ł .

ˇ ƺ ºŁ º Ø Ł

ł : ?= – æ , ? = xy, x, y

º b ;

ˇ ƺ bæŒ Ł æŁ Ł æŒ Ø ºb º Łæº bı ŁØ Ł :

P − xy = a, p < N, p + xy = N, p < N, x, y ∈ N

ª p − æ Łæº a − ŁŒæŁ º .

Æø – ŁæŒ æŁ ŁŒŁ º æ Ł :

ł ŁØ

º… –

. ˛ æ Ł Ł b ˙Łª º b Œ ,

X

τ (p − 1), p<N

ª τ (p )− Łæº ºŁ º Ø n.

ˇ ƺ ºŁ º Ø Ł ł Æbº æ º . Ł ł (¯. Titchmarsh, 1930) Ł ł Ł æº º ŁŁ æ ºŁ æ Ł æłŁ Ø ªŁ b -Ł ( … ææ Ł Ł ) . ˜Łæ æŁ bØ , Æ bØ . ‘. ¸Ł ŁŒ , º Ø Ł æŁ ŁŒ Łæº ł ŁØ º º… ª Ł :

P −xy = a, p < N, Ł a = 1, `. . ` ŁıŁ

łŁº

º º Æ ª ŁŒæŁ –

ª a 6= 0. ` ª ε > 0.

ŁıŁ Œ º æŁ

Ł

æŒ

º æ æ Œ O (N/ (ln1+ε N )),

‘Ł

ª – ` Æ Ł

æ

º ŁŁ

æ bı Łæ º Ł Ł æŒŁı

ª ææŁ ı

æ Œ Ł Ł

Œ

ł Ł

ƺ b ºŁ º Ø Ł ł .

ˇ Ł

º Ł æ ºŁ

æ Ł

æłŁ

Ø ªŁ b -Ł æ

Œ Ł æŒŁ

).

Ł Ł Æ º ł ª

ł

( Ł

B Æ ææ b Ł

1.5.1 ˆŁ

-Ł .

˜º º

æ Ł º Ł

– Œ ŁŁ. ˜ – Œ Ł ζ (s )− –

ºŁ Ł æŒ

Œ Ł Œ º Œæ ª

ª s = σ + it, Ł σ > 1 º æ

Ææ º Ł

æı øŁ æ

˜Ł Łıº :

˙ Ł

– Œ ŁŁ

,

º

Łæº

ºŁ bı ª ª

æ

Łæº .

: μ

æ

æ b

Łæº ,

ª Œº

Ł ª æ ª

1859 ª. bæŒ

º

º

Ł

æ

Ł æ bı

Łæ º æ Re = 1/ 2 –

Œ ŁŁ,

Œ º

Łº,

æ

Øæ

Ł

º b ºŁ

– Œ ŁŁ æ º –

B

Ø Re = 1/ 2.

.. Œ,

Œ Ł ζ (s )

º

º æ ı Œ

º Œæ bı s 6= 1, Ł Ł ºŁ º Ł-

º bı ºbı s = −2, −4, −6… .. Œ Ł º ª Ł

S )ζ (1 − s ), Ł ª b Ł Ł s > 1 æº , æ æ º b

ºŁ, b b Ł Ł º b Ł¿, æ º b º æ 0 6 s 6 1 æŁ Ł æŁ º Œ b Ø “Œ Ł Ł æŒ Ø ºŁ ŁŁ” R. ˆŁ -Ł , :

‘æ Ł Ł º b ºŁ – Œ ŁŁ Ł Øæ Ł º æ ,.

˛Æ Æø…

ªŁ -Ł

æ æ

Ł Ł ª æ ª

Ł

º Æ Æø –

ŁØ –

Œ ŁØ, b

Bı L-

Œ Ł Ł ˜Ł Łıº .

2 æ º.

B ł

Ł

ƺ Ł Ł

Ø

ŁŁ Ł-

ˇ b æŁæ

Ł æŒŁ

º b

Ł Ł Ø ŁŁ

Łæ º ÆbºŁ

º b ¸ –

غ

(1748), Œ

BØ Łææº

º æ ø æ

º Ł

ºbı Łæ º

º Ł º

B æº ª

B, æ æ Ł, Ł Æbº ææ

º ŁŁ

Łæº

Œ ºŁ

æ æº ª bı.

2.1 Œ ŁŁ Œ Ł øŁ Œ Ł .

ªŁ Œº ææŁ æŒŁ Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º ł æ Œ ŁŁ Œ Ł øŁ Œ Ł . æı Ł Œ ¸. غ Ł º Ł æ –

ºŁ Ł æŒŁı , Ł bı ˆ. X. Ł (G. H. Hardy), ˜ . … ¸Ł º (J. ¯.

Littlewood) Ł … . ‘Ł ª b. ..æı Ø º æ Ł æ æ º Ł b æº º æ :

Ai = {ai },ai > 0,a ∈ Z, i = 1, 2, 3,… æ bı : æ Ł ø Ø Œ Ł Ø

,

ª r (n ) = rk, A (n ) − Œ ºŁ æ æ º ŁØ Łæº Ł :

N = a 1 + a 2 + … + ak, ai ∈ Ai, A = {A 1A 2,… }.

ˇ Ł r (n ) b Łæº æ Ł øŁ Ł ª º ˚ łŁ. ‘ ‘Ł ª æ b b æ Łª Ł æŒŁ Ł æ Ł:

.. r (n ) b º æ ªº

æ , æ æ ø

Ł Ł º , æ æ bı

Œ æ æ Ł Œ bı Ł

º bı Œ. ‘

æ ºŁ Ł æŒŁı æ Øæ F (z ), –

Æ øŁı Ł Ł

Ø ŁŁ Łæ º

Ł º Ł ªŁ , º ªŁ bı ªŁ-

-Ł , º

º Ł b Łæº

ŁŁ r(n) Łª Łæ Ł Ł æŒŁ

ŒŁ Łª Ł . æ

‘Ł ª

Ł Œ b æ º Ł æ bı

Łæ º Ł Ł æŒŁı ª

ææŁ ı, º

B æ b Ł Ł –

ŁŁ L – Œ ŁØ ˜Ł Łıº . æ

ºŁ æ ,

ŁæŁ æ Ł k ºŁÆ r (n ) 6= 0 º

æ ı n > 1, ºŁÆ r (n ) 6= 0 º

æ Æ º łŁı n n > n 0 (A ), ºŁÆ Ł º æ ı

B º æ æ ł Ł r (n ) 6= 0, . .

,

ŁºŁ, Œ , º r (n ) Ł æ æŁ Ł

æŒ

º . ˝ Ł

ł Łæº k, º –

ø Ł Łæº bı æº

ŁØ, Æ

æ æ

æ g (A ), G (A ),

G 0 (A ), k 0 (A ). ‘ æº {ai } = {p }, ª {p }−

æº

º æ

æ bı Łæ º, Ł k =

3 º æ ‘Ł ª : æ Œ

æ

Æ º ł

Łæº

Æb æ º Ł æ b ı æ bı Łæ º; Ł k = 2 – Œ : Ł æ b Łæº ª Æb æ º b Ł æ b ı æ bı Łæ º.

2.2 b ł . ..ææº Ł æ Œ b æ .

˝ Œ b Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º ł æ Ł øŁ Łææº Ł æ Œb æ , º øŁıæ º æ Ł Ł æº º æ Ø Ai ai,

Bı ºŁł Łı º æ Ł, ª Ai (n ) = P16ai 6n 1. .. º Ł º æ Ł dn (Ai ) Ł A 1 = A 2 = … = Ak = A æº , g (A ) < ∞. ˇ Ł Ł ª

Œ Œ Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º, Œ bı æ Ł æ æº º æ Ł º Ø º æ Ł, æ ø æ º æ Œ æ Ł Ł Ł bı æº –

º æ Ø bı æº º æ Ø æ º Ł º Ø º æ . ‘ ø º

Ł Łª b ł , æ ø Œ bı Œ b æ º Ł º æ

D (Ai ). ŒŁ æ æ Æ ¸. ˆ. Ł º Œ æ Ł æ Ł –

º bı Łæ º Ł æ b ª Ł ª Łæº æ bı æº ª bı, . ‘. ¸Ł ŁŒ

Ø º ł Ł ƺ b ‘ Ł ª .

º b b ł , Ł º øŁ ‘. ‘ Ł . º Æ ª , Ł

Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º Œ º , æ b Œ æ b

ºŁ Ł æŒŁ æ æ . ˛ Œ ŁÆ º Œ b ł Ł Œ bı Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º º æ Œ ÆŁ Ł Ł ºŁ Ł æŒŁı Ł º bı . ‘ ı ł Ł Ł bæ Ł Ł æ bı Łæ º Ł º ª

( ł æ ) æ æ æ æ Œ æ Ł æº º æ Ø. Œ, bæ Ł Ł æ º Ø æ Ł æº º æ Ø {m} Ł

{2n – m} æ bı Łæ º, 6 nθ 1 Ł, æ æ 6 nθ 2 ª (θ 1 < 1 Ł θ 2 < 1 º øŁ

Æ bÆ b º Ł º b Œ æ b), Ł Ł Œ ł Ł Œ b Ø

Œ Ł ƺ b ˆ º Æ ı – غ æ º ŁŁ ª Łæº æ Ø ı Łæ º, Ł Œ bı Ł Æ º k 1, ª – Æ º k 2 æ bı Ł º Ø.

2.2.1 º Æ ª .

º Æ ª – æ Ł º bØ Ł æ Ł æ º bØ ł –

, æ bØ º º Æ ª . – ł º Æ ª º ı ł Ł æ ı æ Ł ø Œ Ł S (;,z ), Æ ø Œ ºŁ æ º Œ ª –

æ A ºbı Łæ º, Œ b º æ æ b Łæº p < z Ł Ł º Œ æ P æ bı Łæ º.

ˇ æ P (z ) = Qp<z, p ∈P p. º Æ ª æ Ł æ

,

Œ Ł l 1 = 1 º Ł º bı Øæ Ł º bı Łæ º. .. º Æ –

ª æ æ Ł , Æb, º Ł ld = 0 º d > z, Ł Ł Ł Ł æ æ º ø ª bÆ æ łŁıæ Łæ º λd (2 6 d < z ).

‘ Œ ÆŁ ŁŁ æ ªŁ Ł Ł ł ł º Æ ª º º

ŒŁ æ Ł , æ Æ æŁº b Ł Łæ º ŁŁ æ bı Œ ŁØ.

2.2.2 – ł æ .

– ł æ – , Æ bØ æ (3 . . .) Ł º øŁØ æ Ł æ æ b Łæº Ł º ª . ø æ æ

Œº æ æº ø . ˙ ŒŁ æ Ł Ł . Łæº 2 – æ . ˙ ŒŁ æ æ º b Łæº , º øŁ æ 2. Łæº 3 – Œ Łæº – Æ æ b. ˜ º ŒŁ æ æ º b Łæº , Œ- b º æ Ł

2 Ł 3. Łæº 5 – Œ Łæº – Æ æ b. ˇ º º –

ªŁ b b Łæº Ł , Ø Ł æŒ º ª Æ º ł Ø Œ æº º æ Ł æ bı Łæ º. – ł æ łº Ł Ł ªŁı Æ º æŁº bı ı ł ( Ł ł ‘ ).

2.3 ˜Łæ æŁ bØ .

‘ 1959 . ‘. ¸Ł ŁŒ Æbº Æ ˜Łæ æŁ bØ . ˛ Ł Ł ŁŁ Łæ º º ł Ł Œ bı ÆŁ bı ŁØ (ÆŁ bı Ł Ł bı ƺ

) Ł

α + β = n,

ª α Ł β Ł º Œ æ ª æ b Ł ı ł æ º b Ł Ł æŒŁı ª ææŁ ı æº º æ º bı Łæ º. ˜Łæ æŁ bØ , æ Ł æ Æ º b ŁŒ – æ b Ł ( æ æ Ł, –

Ł Łæ æŁŁ Ł æ Ł Æbł ) æ ºŁ Ł æŒŁ Ł Ł ºª Æ Ł æŒŁ Ł

Ł Ł … . ‘Ł ª Ł . ‘ غ (A. Weil). ø æ æ æ Ł æº –

ø . ..æı ÆŁ Ł æ Ł æ Œ Ł Ł :

υD 0 + β = n ;

æ υ,D ŁæŁ Æ ª Œ b Ł Ł ª º Ø Æº æ Ł ª υ Ł D – Œ b Ł ºb; Ł Łæº υ – æ b, D ª Æb º b ºŁ b º Ł º b æº Ł . ˇ æ F Æ Łæº ł ŁØ ª Ł . ª º Ł Ł :

υD + β = n

Ł Ł º D ∈ (D ), Ł (n, D ) Æ Łæº ª ł ŁØ, Ø bı

Ł Œ ŒŁı-ºŁÆ Łæ Ł æŒŁı æ Æ ŁØ. ª ªŁ Ł æŒŁ Łæº Ł bı ł ŁØ Ł Łæb æ Ł :

.

˛ Œ æ Ł F − S = V Ł Ł :

V = X ( X 1 − A (n, D 0 )).

D 0 ∈(D ) υD 0 +β =n

ˇ Ł Ł æ ˚ łŁ Ł Ł Œ æ :

V 2 6 D 0V 0,

ª D 0 – ºŁ Ł º (D ),

V 0 = X ( X 1 − A (n, D 0 ))2 −

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1. http://dic. academic. ru – Ł æŒ ŁŒº Ł .

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6. http://mirslovarei. com – æ Ø ” Ł æº Ø”.

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ŒŁ, .59,

4 (1996).


Аддитивные проблемы теории чисел