Аксиоматика теории множеств

Содержание стр. Введение………………………………………………………………………….3

§1. Система аксиом………………………………………………………………..4

Аксиома объемности…………………………………………………6

Аксиома пары…………………………………………………………6

Аксиома пустого множества…………………………………………6

Аксиомы существования классов……………………………………8

Аксиома объединения……………………………………………….14

Аксиома множества всех подмножеств……………………………14

Ак­сиома выделения………………………………………………….15

Аксиома замещения…………………………………………………16

Аксиома бесконечности……………………………………………..16

§2. Аксиома выбора. Лемма Цорна…………………………………………….19

Заключение………………………………………………………………………22 Список литературы………………………………………………………………23

Введение

Значение математической логики в нашем и прошлом столетии сильно возросло. Главной причиной этого явилось открытие парадоксов теории множеств и необходимость пересмотра противоречивой интуитивной теории мно­жеств. Было предложено много различных аксиоматических теорий для обоснова­ния теории множеств, но как бы они не отличались друг от друга своими внешними чертами, общее для всех них содержание состав­ляют те фунда­ментальные теоремы, на которые в своей повседневной работе опираются математики. Выбор той или иной из имеющихся тео­рий является в основном делом вкуса; мы же не предъявляем к системе, которой будем пользоваться, никаких требований, кроме того, чтобы она служила достаточной основой для построения современной математики.

§1. Система аксиом

Опишем теорию первого порядка NBG, которая в основном явля­ется системой того же типа, что и система, предложенная перво­начально фон Нейманом [1925], [1928], а затем тщательно пере­смотренная и упрощенная Р. Робинсоном [1937], Бернайсом [1937-1954] и Геделем [1940]. (Будем в основном следовать монографии Геделя, хотя и с некоторыми важными от­клонениями.) Теория NBG имеет единственную предикатную букву и не имеет ни одной функциональной буквы или предметной константы. Чтобы быть ближе к обозначениям Бернайса [1937-1954] и Геделя [1940], мы бу­дем употреблять в качестве переменных вместо x1, x2, … прописные латин­ские буквы X1, Х2, … (Как обычно, мы используем буквы X, Y, Z, … для обо­значения произвольных переменных.) Мы вве­дем также сокращенные обо­значения ХY для(X, Y) и XY для (X, Y). Содержательно знак пони­мается как символ отношения принадлежности.

Следующим образом определим равенство:

Определение. Х=Y служит сокращением для формулы .

Таким образом, два объекта равны тогда и только тогда, когда они со­стоят из одних и тех же элементов.

Определение. служит сокращением для формулы (включение).

Определение. XY служит сокращением для Х Y &; X ≠ Y (соб­ствен­ное включение).

Из этих определений легко следует

Предложение 1.

(а) Х = Y (X Y &; Y X);

(b) Х = Х;

(с) Х = Y Y = Х;

(d) Х = Y (Y = Z Х = Z);

(е) Х = Y (ZX ZY).

Теперь приступим к перечислению собственных аксиом теории NBG, перемежая формулировки самих аксиом различными следствиями из них и некоторыми дополнительными определениями. Предварительно, од­нако, отметим, что в той “интерпретации”, которая здесь подразумевается, значениями переменных являются классы. Классы – это совокупности, со­ответствующие некоторым, однако отнюдь не всем, свойствам (те свойства, которые фактически определяют классы, будут частично указаны в аксиомах. Эти аксиомы обеспечивают нам существование необхо­ди­мых в математике классов и являются, достаточно скром­ными, чтобы из них нельзя было вы­вести противоречие). (Эта “ин­терпретация” столь же неточна, как и понятия “совокупность”, “свойство” и т. д.)

Назовем класс множеством, если он является элементом какого-ни­будь класса. Класс, не являющийся множеством, назовем собственным клас­сом.

Определение. M(X) служит сокращением для Y(XY) (X есть множе­ство).

Определение. Pr(X) служит сокращением для M(X) (X есть собствен­ный класс).

В дальнейшем увидим, что обычные способы вывода парадоксов приводят теперь уже не к противоречию, а всего лишь к результату, состоя­щему в том, что некоторые классы не являются множествами. Множества предназначены быть теми надежными, удобными классами, которыми мате­матики пользуются в своей повседневной деятельности; в то время как соб­ственные классы мыслятся как чудовищно необъят­ные собрания, которые, если позволить им быть множествами (т. е. быть элементами других классов), порождают противоречия.

Система NBG задумана как теория, трактующая о классах, а не о пред­метах. Мотивом в пользу этого послужило то обстоятельство, что мате­матика не нуждается в объектах, не являющихся классами, вроде коров или молекул. Все математические объекты и отношения могут быть выражены в терминах одних только классов. Если же ради приложений в других науках возникает необходимость привлечения “неклассов”, то незначительная мо­дификация системы NBG позволяет при­ме­нить ее равным образом как к классам, так и к “неклассам” (Мостовский [1939]).

Мы введем строчные латинские буквы x1, x2, … в качестве специаль­ных, ограниченных множествами, переменных. Иными словами, X1 A (x1) бу­дет служить сокращением для X (M(X)A (X)) , что содержательно имеет следующий смысл: “A истинно для всех множества, и X1 A (x1) будет служить сокращением для X (M(X)A (X)), что содержательно имеет смысл: “A истинно для некоторого множества”. Заметим, что упот­ребленная в этом определении переменная X должна быть отлич­ной от пе­ременных, входящих в A (x1). (Как и обычно, буквы х, y, z, … будут употреб­ляться для обозначения произвольных переменных для множеств.)

П р и м е р. Выражение ХХYZA (X, х, y, Z) служит сокра­щением для

ХXj (М(Xj)Y(M(Y)&;ZA (X, Xj, Y, Z))).

А к с и о м а Т. (Аксиома объемности.) Х = Y (XZYZ).

Предложение 2. Система NBG является теорией первого порядка с равенством.

А к с и о м а Р. (Аксиома пары.) XYZU (u z u = xU = y), т. е. для любых множеств х и у существует множество z такое, что х и у явля­ются единственными его элементами.

А к с и о м а N. (Аксиома пустого множества.) Х Y (у х), т. е. су­ществует множество, не содержащее никаких элементов.

Из аксиомы N и аксиомы объемности следует, что существует лишь единственное множество, не содержащее никаких элементов, т. е.

1x Y (у х). Поэтому мы можем ввести предметную константу 0, подчи­няв ее следующему условию.

Определение. Y (y 0).

Так как выполнено условие единственности для неупорядоченной пары, то можем ввести новую функциональную букву g(х, y) для обозна­чения неупорядоченной пары х и у. Впрочем вместо g(х, y) мы будем писать {х, у}. Заметим, что можно однозначно определить пару {X, Y} для любых двух классов Х и Y, а не только для мно­жеств х и у. Положим {X, Y} = 0, если один из классов X, Y не яв­ляется множеством. Можно доказать, что

NBG1Z((M(X)&;M(Y)&;U (u Z u = X U = Y))

(( M(X) M(Y))&;Z=0)).

Этим оправдано введение пары {X, Y}:

Определение. (М(Х) &; М(Y) &; u (и {X, Y} u = X U = Y))

((M(X) M(Y)) &; {X, Y} = 0).

Можно до­казать, что NBG X Y U (u {х, у} u = x U = y) и NBG X Y (M({х, у})).

Определение. = {{Х}, {X, Y}}. называется упорядоченной па­рой классов Х и Y.

Никакого внутреннего интуитивного смысла это определение не имеет. Оно является лишь некоторым удобным способом (его предложил Ку-ратовский) определить упорядоченные пары таким образом, чтобы можно было доказать следующее предложение, выражающее характеристическое свойство упорядоченных пар.

Предложение 3.

NBG X Y U V ().

Доказательство. Пусть = . Это значит, что {{x}, {x, y}} = {{u}, {u, v}}. Так как {х} {{x}, {x, y}}, то {x} {{u}, {u, v}}. Поэтому {x} = ={u} или {х} = {u, v}. В обоих случаях х = и. С другой стороны, {u, v} {{u}, {u, v}} и, следовательно, {u, v} {{x}, {x, y}}. Отсюда {u, v} = {x} или {u, v} = ={x, y}. Подобным же образом {x, y} = {u} или {х, у}={и, v}. Если или {u, v} = ={x} и {х, y} = {u}, то х = и = у = v, в про­тивном случае {и, v} = {х, у} и, сле­довательно, {и, v} = {u, у}. Если при этом v ≠ u, то y = v, если же v = u, то тоже y = v. Итак, в любом случае, y = v.

Мы теперь обобщим понятие упорядоченной пары до понятия упо­ря­доченной n-ки.

Определение

= Х,

Так, например,

и

В дальнейшем индекс NBG в записи NBGопускается.

Нетрудно дока­зать следующее обобщение предложения 3:

Аксиомы существования классов.

Эти аксиомы утвер­ждают, что для некоторых свойств, выраженных формулами, сущест­вуют соответствующие классы всех множеств, обладаю­щих этими свойствами.

А к с и о м а В1. X U V (X u v) (– отношение).

А к с и о м а В2. X Y Z U (u Z u X &; u Y)

(пересечение).

А к с и о м а В3. X Z U (u Z u X) (дополнение).

А к с и о м а В4. X Z U (u Z V (X)) (область

Определения).

А к с и о м а В5. X Z U V ( Z u X).

А к с и о м а В6. X Z U V W ( Z X).

А к с и о м а В7. X Z U V W ( Z X).

С помощью аксиом В2-В4 можно доказать

X Y 1Z U (u Z u X &; u Y),

X 1ZU (u Z u x),

X 1ZU (u Z V ( X)).

Эти результаты оправдывают введение новых функциональных букв ∩, −, D.

Определения

U (u X ∩ Y u X &; u Y) (пересечение классов Х и Y).

U (u u X) (дополнение к классу X).

U (u D (X) V ( X)) (об­ласть определения класса X).

(объединение классов Х и Y).

V = (универсальный класс).

X − Y = X ∩

Общая теорема о существовании классов.

Предложение 4. Пусть φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym) – формула, перемен­ные которой берутся лишь из числа X1,…,Xn, Y1,…, Ym. Назовем такую фор­мулу предикативной, если в ней связными являются только переменные для множеств (т. е. если она может быть приведена к такому виду с помощью принятых сокращений). Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym)

ZX1 …Xn ( Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Доказательство. Мы можем ограничиться рассмотрением только та­ких формул φ, которые не содержат подформул вида Yi W, так как всякая та­кая подформула может быть заменена на X (x = Yi &; x W), что в свою оче­редь эквивалентно формуле X (Z (z x z Yi) &; x W). Можно также предполагать, что в φ не содержатся подфор­мулы вида XX, которые могут быть заменены на U (u = X &; u X), последнее же эквивалентно U (Z (z u z X) &; u X). Доказа­тельство проведем теперь индук­цией по числу k логических связок и кванторов, входящих в формулу φ (за­писанную с ограниченными пере­менными для множеств).

1. Пусть k = 0. Формула φ имеет вид xi xj, или xj xi, или xi Yi, где 1 ≤ i j ≤ n. В первом случае, по аксиоме В1, сущест­вует некоторый класс W1 такой, что

XiXj (W1 Xi xj).

Во втором случае, по той же аксиоме, существует класс W2 такой, что

XiXj (W2 xj xi),

И тогда, в силу

XZ U V ( Z X),

Существует класс W3 такой, что

XiXj (W3 xj xi).

Итак, в любом из первых двух случаев существует класс W3 такой, что

XiXj (W φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Тогда, заменив в

XZ V1…VkUW ( Z X)

X на W, получим, что существует некоторый класс Z1 такой, что

X1… Xi-1XiXj (Z1 φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Далее, на основании

XZ V1…VmX1…Xn (

ZX)

Там же при Z1 = X, заключаем, что существует класс Z2 такой, что

X1 … Xi Xi+1 … Xj ( Z2 φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Наконец, применяя

XZ V1…VmX1…Xn ( Z X)

(1)

Там же при Z2 = Х, получаем, что существует класс Z такой, что

X1…Xn ( Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Для остающегося случая xi Yi теорема следует из (1) и

XZ X v1…Vm ( Z x X).

2. Предположим, что теорема доказана для любого k s и что φ со­держит s логических связок и кванторов.

(a) φ есть ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что

X1…Xn ( W ψ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Теперь остается положить Z = .

(b) φ есть ψ θ. По индуктивному предположению, существуют классы Z1 и Z2 такие, что

X1…Xn ( Z1 ψ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) и

X1…Xn ( Z2 θ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Искомым классом Z в этом случае будет класс .

(c) φ есть X ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что

X1…XnX ( W ψ (x1,…, xn, x, Y1,…, Ym)).

Применим сперва

XZ X1 … Xn ( Z Y ( X)).

При X = и получим класс Z1 такой, что

X1 … Xn ( Z1X ψ (x1,…, xn, x, Y1,…, Ym)).

Теперь положим окончательно Z = , замечая, что X ψ эквивалентно

X ψ.

Примеры. 1. Пусть φ (X, Y1, Y2) есть формула UV (X = &; u Y1 &; v Y2). Здесь кванторы связывают только перемен­ные для множеств. Поэтому, в силу теоремы о существовании классов, Z X (x Z UV (x = &; u Y1 &; v Y2)), а на основании аксиомы объемности, 1Z X (x Z UV (x = &; u Y1 &; v Y2)). Поэтому возможно следующее определение, вводящее новую функциональную букву :

Определение. X (x Y1 Y2 UV (x = &; u Y1 &; v Y2)). (Декартово произведение классов Y1 и Y2).

Определения.

X2 обозначает X X (в частности, V2 обозначает класс всех упо­рядоченных пар).

…………………………………………………………………………………………………

Xn обозначает Xn-1 X (в частности, Vn обозначает класс всех упо­рядоченных n-ок).

Rel(X) служит сокращением для Х V2 (X есть отношение).

2. Пусть φ (X, Y) обозначает Х Y. По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, 1ZX (x Z x Y). Таким образом, существует класс Z, элементами которого являются все подмножества класса Y.

Определение. X (x P (Y) x Y). (P (Y): класс всех под­множеств класса Y.)

3. Рассмотрим в качестве φ (X, Y) формулу V (X v &; v Y).

По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объем­ности, 1ZX (x Z V (x v &; v Y)), т. е. существует един­ственный класс Z, элементами которого являются все элементы элемен­тов класса Y и только они.

Определение. X (x (Y) V (x v &; v Y)). ((Y): объединение всех элементов класса Y)

4. Пусть φ (X) есть U (X = ). По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, существует единственный класс Z такой, что X (x Z U (x = )).

Определение. X (x I U (x = )). (Отношение тож­дества.)

Следствие. Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym)

1W( W Vn &; X1…Xn ( W

φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Доказательство. В силу предложения 4, существует класс Z, для которого X1…Xn ( Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Очевидно, искомым классом W является класс W = Z ∩ Vn; его един­ственность вытекает из аксиомы объемности.

Определение. Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym) через φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) обозначается класс всех n-ок , удовлетворяющих формуле φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)), т. е. U (u φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym) X1…Xn (u = &; φ (x1,…,xn, Y1,… …, Ym))). Следствие оправдывает такое определение. В частности, при n = 1 получим U (u φ (x, Y1, …, Ym) φ (u, Y1,…, Ym)) (иногда вместо φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym) применяют запись {| φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)}).

Примеры. 1. Пусть φ есть Y. Обозначим ( Y) сокращенно через , тогда V2 &; X1X2( Y Y). Назовем обратным отношением класса Y.

2. Пусть φ есть V ( Y). Обозначим через R(Y) выражение (V ( Y)). Тогда U (u R(Y) V ( Y)). Класс R(Y) называется областью значений класса Y. Очевидно, R(Y) = D().

Заметим, что аксиомы В1 – В7 являются частными случаями теоремы о существовании классов, т. е. предложения 4. Иными словами, вместо того, чтобы выдвигать предложение 4 в качестве схемы аксиом, можно с тем же результатом ограничиться лишь некоторым конечным числом его частных случаев. Вместе с тем, хотя предложение 4 и позволяет доказывать существование большого числа самых разнообразных клас­сов, нам, однако, ничего еще не известно о существовании каких-либо множеств, кроме самых простых множеств таких, как 0, {0}, {0, {0}}, {{0}} и т. д. Чтобы обеспечить существование множеств более сложной структуры, введем дальнейшие аксиомы.

А к с и о м а U. (Аксиома объединения.)

XYU (u y V (u v &; v x)).

Эта аксиома утверждает, что объединение (х) всех элементов мно­жества х является также множеством, т. е. X (M((х))). Множество и (х) обозначают также через и V.

Средством порождения новых множеств из уже имеющихся является образование множества всех подмножеств данного множества.

А к с и о м а W. (Аксиома множества всех подмножеств.)

XYU (u y u x).

Эта аксиома утверждает, что класс всех подмножеств множества х есть также множество; его будем назы­вать множеством всех подмножеств множества х. В силу этой аксиомы, X (M(P (х))).

Примеры.

P (0) = {0}.

P ({0}) = {0, {0}}.

P ({0, {0}}) = {0, {0}, {0, {0}}, {{0}}}.

Значительно более общим средством построения новых множеств является следующая ак­сиома выделения.

А к с и о м а S.

XY ZU (u z u x &; u Y).

Таким образом, для любого множества х и для любого класса Y су­ществует множество, со­стоящее из элементов, общих для х и Y. Следо­вательно, XY (M (x ∩ Y)), т. е. пересече­ние множества с классом есть множество.

Предложение 5. XY (Y x M (Y)) (т. е. подкласс множе­ства есть множество).

Доказательство. X (Y x Y ∩ x = Y) и X (M (Y ∩ x)).

Так как всякая предикативная формула A(у) порождает соответ­ст­вующий класс (предло­жение 4), то из аксиомы S следует, что для любого множества х класс всех его элементов, удовлетворяющих дан­ной предика­тивной формуле A(у), есть множество.

Однако для полного развития теории множеств потребуется ак­сиома, более сильная, чем аксиома S. Введем предварительно несколько оп­ределений.

Определения

Un (X) означает XYZ ( X &; X y = z).

(X однозначен.)

Fnc (X) означает X V2 &; Un (X). (X есть функция.)

Y 1 X означает X ∩ (Y V). (Огра­ничение Х областью Y.)

Un1(X) означает Un (X) &; Un (). (X взаимно однозначен.)

X’Y

Если существует единственное z такое, что X, то z = X’y; в про­тивном случае X’y = 0. Если Х есть функция, а у – множество из области определения X, то X’y есть значе­ние этой функции, примененной к у (В дальнейшем будем по мере необходимости вводить новые функ­циональные буквы и предметные константы, как только будет ясно, что соот­ветствующее определение может быть обосновано теоремой о единственности. В настоящем случае происходит введение неко­торой новой функциональной буквы h с сокращенным обозначением Х’Y вместо h (X, Y)).

X”Y = R(Y 1 X). (Если Х есть функция, то X”Y есть об­ласть значений класса X, ограниченного областью Y.)

А к с и о м а R. (Аксиома замещения.)

X (Un (X) YU (u y V ( X &; v X))).

Аксиома замещения утверждает, что если класс Х однозначен, то класс вторых компонент тех пар из X, первые компоненты которых принадлежать, является множеством (эквивалент­ное утверждение: M(R (x 1X))) Из этой аксиомы следует, что если Х есть функция, то об­ласть значений результата ограничения Х посредством всякой области, являющейся множест­вом, также есть множество.

Следующая аксиома обеспечивает существование бесконечных мно­жеств.

А к с и о м а I. (Аксиома бесконечности.)

X (0 x &; U (u x u {u} x)).

Аксиома бесконечности утверждает, что существует такое множество х, что 0 x, и если и x, то и {и} также принадлежит х. Для такого множества х, очевидно, {0} x, {0, {0}} x, {0, {0}, {0, {0}}} x и т. д. Если теперь положим 1 = {0}, 2 = {0, 1}, … , n = {0, 1, … , n – 1}, то для любого целого п ≥ 0 будет выполнено п х, и при этом 0 ≠ 1, 0 ≠ 2, 1 ≠ 2, 0 ≠ 3, 1 ≠ ≠ 3, 2 ≠ 3, …

Список аксиом теории NBG завершен. Видно, что NBG имеет лишь конечное число аксиом, а именно: аксиому Т (объемности), акси­ому Р (пары), аксиому N (пустого множества), аксиому S (выделения), аксиому U (объединения), аксиому W (множества всех подмножеств), аксиому R (замещения), аксиому I (бесконечности) и семь аксиом суще­ствования классов В1-В7.

Убедимся теперь в том, что парадокс Рассела невыводим в NBG. Пусть Y = (x X) ,т. е. Х (х Y х х). (Такой класс Y суще­ствует, в силу теоремы о существовании классов (предложение 4), так как формула х х предикативна.) В первоначальной, т. е. не сокра­щенной, символике эта последняя формула записывается так: X (M(X) (X Y X X)). Допустим M(Y). Тогда Y Y Y Y, что, в силу тавтологии (A A) A &; &; A, влечет Y Y Y Y. Отсюда по теореме дедукции получаем M(Y)(Y Y Y Y), а затем, в силу тавтологии (B (A &; A))B, получаем и М(Y). Таким образом, рассуждения, с помощью которых обычно выводится парадокс Рассела, в теории NBG приводят всего лишь к тому результату, что Y есть собственный класс, т. е. не множество. Здесь имеем дело с типичным для теории NBG способом избавления от обычных пара­доксов (например, парадоксов Кантора и Бурали-Форти).

Определения

X Irr Y означает Y (y Y X) &; Rel (X).

(X есть иррефлексивное отношение на Y.)

X Tr Y означает Rel (X) &; UVW (uY &; vY &; wY &;

&; X &;X &; X X).

(X есть транзитивное отношение на Y.)

X Part Y означает (X Irr Y) &; (X Tr Y).

(X частично упорядочивает Y.)

X Con Y означает Rel(X) &; UV (uY &; vY &; u ≠ v

X X).

X Tot Y означает (X Irr Y) &; (X Tr Y) &; (X Con Y).

(X упорядочивает Y.)

X We Y служит обозначением для Rel(X) &; (X Irr Y) &; Z (ZY &;

&; Z ≠ 0 Y (y Z &; V (v Z &; v ≠ y X &;

&; X))).

(X вполне упорядочивает Y, т. е. отношение Х иррефлексивно на Y, и всякий непустой подкласс класса Y имеет наименьший в смысле отношения Х элемент.)

§2. Аксиома выбора. Лемма Цорна.

Аксиома выбора является одним из самых знаменитых и наиболее оспариваемых утверждений теории множеств.

Следующие формулы эквивалентны:

А к с и о м а в ы б о р а (АС): Для любого множества х существует функция f такая, что для всякого непустого подмножества у множества х f’ y y (такая функция называется в ы б и р а ю щ е й ф у н к ц и е й для х).

М у л ь т и п л и к а т и в н а я а к с и о м а (Mult): Для любого мно­жества х непустых и попарно непересекающихся множеств, сущест­вует множество у (называемое в ы б и р а ю щ и м м н о ж е с т в о м для х), которое содержит в точности по одному элементу из каждого множества, являющегося элементом х.

U (u x u ≠ 0 &; V (v x &; v ≠ u V ∩ u = 0))

YU (u x 1w (w u ∩ y)).

П р и н ц и п в п о л н е у п о р я д о ч е н и я (W. O.): Всякое мно­жество может быть вполне упорядочено. X Y (y We x).

Т р и х о т о м и я (Trich): XY (x YY X).

Л е м м а Ц о р н а (Zorn): Если в частично упорядоченном мно­жестве х всякая цепь (т. е. всякое упорядоченное подмножество) имеет верхнюю грань, то в х существует максимальный элемент.

XY ((y Part x) &; U (u x &; y Tot u V (v x &;W (w u W =

= v y))) V (v x &;W (w x Y))).

Доказательство.

1. (W. O.) Trich. Пусть даны множества х и у. Согласно (W. O.), х и у могут быть вполне упорядочены. Поэтому существуют такие порядковые числа α и β, что х α и y β. Но так как α β или β α, то либо x Y, либо y X.

2. Trich (W. O.). Пусть дано множество х. Согласно теореме Хартогса, существует такое порядковое число α, которое не равномощно никакому подмножеству множества х. Тогда, в силу Trich, х равномощно некоторому подмножеству у порядкового числа α, и вполне упо­рядочение Еу множества у порождает некоторое вполне упорядочение множества х.

3. (W. O.) Mult. Пусть х есть некоторое множество непустых, попарно непересекающихся множеств. Согласно (W. O.), существует отношение R, вполне упорядочивающее множество (х). Следовательно, существует такая определенная на х функция f, что f’u для любого и х есть наименьший относительно R элемент и. (Заметим, что и (х).)

4. Mult AC. Для любого множества х существует функция g такая, что если и есть непустое подмножество х, то g’и = u {и}. Пусть х1 – область значении функции g. Легко видеть, что х1 является множеством непустых попарно непересекающихся множеств. На основа­нии Mult, для х1 существует выбирающее множество у. Отсюда, если 0 ≠ u и u х, то и {и} х1 и у содержит и притом единственный элемент из и {и}. Функция f’ u = v является искомой выбираю­щей функцией для х.

5. АС Zorn. Пусть у частично упорядочивает непустое мно­жество х таким образом, что всякая y-цепь в х имеет в х верхнюю грань. На основании АС, для х существует выбирающая функция f. Рассмотрим произвольный элемент b множества х, и по трансфинитной индукции определим функцию F такую, чтобы выпол­нялось F’0 = b и F’α = f’u для любого α, где u есть множество всех таких верхних граней v множества F” α относительно упорядочения у, что v х и v F” α. Пусть β есть наименьшее порядковое число, которому соответствует пустое множество верхних граней v мно­жества F” β относительно упорядочения v, принадлежащих x и не при­надлежащих F” β. (Порядковые числа, обладающие таким свойством, существуют; в противном случае функция F была бы взаимно однознач­ной с областью определения Оп и с некоторым подмножеством мно­жества х в качестве области значений, откуда по аксиоме замещения R следовало бы, что Оп есть множество.) Пусть g = β 1 F. Функция g взаимно однозначна и что если α 0 γ 0 β, то G’α, g’γ y. Поэтому множество g” β является y-цепью в x. Согласно условию, и x существует верхняя грань w множества g” β. Так как множество верхних граней множества F” β (= g” β), не содержащихся в g” β, пусто, то w g” β, и, следовательно, w является единственной верхней гранью множества g” β (ибо всякое множество может содер­жать в себе не более одной своей верхней грани). Отсюда следует, что w есть максимальный относительно упорядочения y элемент множества х. (Действительно, если Y и zХ, то z должно быть верхней гранью g” β, что невозможно.)

6. Zorn (W. O.). Пусть z есть множество, а X есть класс всех взаимно однозначных функций f таких, что D(f)Оп и R(f)Z. Из теоремы Хартогса следует, что X есть множество. Очевидно также, что 0 X. Отношение частично упорядочивает X. Каковы бы ни были две функции, принадлежащие одной и той же цени в X, одна из них является продолжением другой. Поэтому для любой цепи в Х объеди­нение всех принадлежащих ей функций есть снова взаимно однозначная функция, принадлежащая той же цепи. Следовательно, на основании Zorn, в X имеется максимальный элемент g, представляющий собой взаимно однозначную функцию, определенную на некотором порядковом числе я и принимающую значения из z. Допустим, что z – g” α ≠ 0. Пусть b z – g” α, и положим f = g{}. Тогда f X и gF, что противоречит максимальности g. Следовательно, g” α = z, т. е. α Z. Посредством функции g отношение Еα, вполне упорядочи­вающее множество α, преобразуется в некоторое отношение, вполне упорядочивающее z.

Заключение

Система аксиом теории множеств была создана для решения задачи обоснования базовых положений современной математики. Таким образом существующие разделы математики можно считать a priori непротиворечивыми, поскольку все их доказанные высказывания логически могут быть сведены к аксиомам. В этом отношении аксиоматика выполнила свое предназначение.

Список литературы

Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1984.

Ляпин Е. С. Полугруппы. – М.: Физматгиз, 1960.

Стол Роберт Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. Пер. с англ. Ю. А. Гастаева и И. Х. Шмаина. Под ред. Ю. А. Шихановича. М.: “Просвещение”, 1968.

23


Аксиоматика теории множеств