Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)

Формулы сокращенного умножения

(а ± в)2 = а2 ± 2ав + в2

(а ± в)3 = а3 ± 3а2 в + 3ав2 ± в3

А2 – в2 = (а + в) (а – в)

А3 + в3 = (а + в) (а2 – ав + в2 )

А3 – в3 = (а – в) (а2 + ав + в2 )

(а + в + с)2 = а2 + в2 + с2 +2ав +2ас +2вс

Степени.

Ам ан = ам + н

Ам : ан = ам – н

(ав)м = ам вм

(ам )н = амн

(а : в)м = ам : вм

А – м = 1 : ам

Ам : н = н Ö ам

Корни.

Н Öав =н Öа н Öв

Н Öа м Öв = н м Öам вн

Н Öа : в = н Öа :н Öв

(н Öам )х = н Öам х

Н Öам = ам/н

М Öн Öа = мн Öа

(н Öа)м = н Öам

Арифметическая прогрессия.

А1 , а2 , а3 , …, аn-1 , аn

Аn-1 – аn = d

D – разность прогрессии

А2 = а1 + d

А3 = а2 + d = а1 + 2d

Аn = а1 + d(n-1)

Sn = (а1 + аn ) n = (2а1 + ( n-1) d) n

2 2

Sn – сумма членов арифметической

Прогрессии.

D – разность прогрессии.

D > 0 – прогрессия возрастающая

D < 0 – прогрессия убывающая.

Геометрическая прогрессия.

А1 , а2 , а3 , …, аn-1 , аn

Аn+1 / аn = q

А2 = а1 q

Q – знаменатель прогрессии.

А3 = а2 q = а1 q2

Аn = а1 qn-1

Сумма членов для возрастающей

Прогрессии (q > 1)

Sn = аn q – а1 = а1 (qn -1 : q – 1)

Q – 1

Сумма членов для убывающей прогрессии (q < 1)

Sn = а1 (1 – qn )

1 – q

Сумма членов бесконечно убывающей

Прогрессии

Sn = а1

1 – q

Вектора.

А = М1 М2 ={х2 – х1 , у2 – у1 , z2 – z1 }

Длина вектора

çа ç=Ö(х2 – х1 )2 +(у2 – у1 )2 + (z2 – z1 )2

Умножение вектора на число

A а = d

Скалярное произведение векторов

А в = çа ççв çcosj

Cosj = х1 х2 + у1 у2 + z1 z2

Öх12 + у12 +z12 Öх22 +у22 + z22

А2 = çа ç2

А в = х1 х2 + у1 у2 + z1 z2

Параллельность векторов

А ççв, то х1 = у1 = z1

Х2 у2 z2

Перпендикулярность векторов

А ^ в, то х1 х2 + у1 у2 + z1 z2

Производная.

(c u)¢ = с u¢

U ¢ = u¢ v – u v¢

V v2

(c)¢ = 0

(xn )¢ = n xn-1

(ax )¢= ax ln a

(ех )¢ =ех

(sin x)¢ = cos x

(cos x)¢ = – sin x

(tg x)¢ = 1

Cos2 x

(ctg x)¢ = – 1

Sin2 x

(ln x)¢ = 1

Х

(1 / х)¢ = – 1

Х2

(Öх)¢ = 1

2 Öх

(х)¢ = 1

Логарифмы.

Logа в = с

Logа 1 = 0

Logа а = 1

Logа (mn) = logа m + logа n

Logа m = logа m – logа n

N

Logа mn = nlogа m

Logа n Öm = 1 logа m

N

Logа в = logс в

Logс а

Основные тригонометрические тождества

Sin2 x + cos2 x = 1

Tg x = sin x

Cos x

Ctg x = cos x

Sin x

1 + ctg2 x = 1

Sin2 x

1 + tg2 x = 1

Cos2 x

Tg x ctg x = 1

Формулы сложения и вычитания

Sin (a±b) = sina cosb± cosa sinb

Cos (a±b) = cosa cosb± sina sinb

Tg (a±b) = (tga± tgb)

(1 + tga tgb)

Ctg (a±b) = ctga ctgb+ 1

Ctgb±ctga

Sina + sinb = 2 sin (a + b) cos (a-b)

2 2

Sina – sinb = 2 cos (a + b) sin (a-b)

2 2

Cosa + cosb = 2 cos (a + b) cos (a-b)

2 2

Cosa – cosb = – 2 sin (a + b) sin (a-b)

2 2

Tga± tgb = sin (a±b)

Cosa cosb

Ctga± ctgb = sin (b±a)

Sina sinb

Sin2 a – sin2 b = cos2 b – cos2 a =

Sin (a + b) sin (a-b)

Cos2 a – sin2 b = cos2 b – sin2 a =

Cos (a + b) cos (a-b)

Связь между тригонометрическими функциями

Sina = ±Ö1 – cos2 a

Sina = tga

±Ö1 + tg2 a

Sina = 1

±Ö1 + ctg2 a

Cosa = ±Ö1 – sin2 a

Cosa = 1

±Ö1 + tg2 a

Cosa = ctga

±Ö1 + ctg2 a

Tga = sina

±Ö1 – sin2 a

Tga = ±Ö1 – cos2 a

Cosa

Tga = 1

Ctga

Ctga = ±Ö1 – sin2 a

Sina

Ctga = cosa

±Ö1 – cos2 a

Ctga = 1

Tga

Формулы преобразования произведения

Sina sinb = cos (a-b) – cos (a + b)

2

Cosa cosb = cos (a-b) + cos (a + b)

2

Sina cosb = sin (a + b) + sin (a-b)

2

Tga tgb = tga + tgb

Ctga + ctgb

Ctga tgb = ctga + tgb

Tga + ctgb

Ctga ctgb = ctga + ctgb

Tga + tgb

Формулы двойных углов

Sin2a = 2 sina cosa

Sina = 2 sin (a) cos (a)

Cos2a = cos2 a – sin2 a =

= 1 – 2sin2 a =

= 2cos2 a – 1

Tg2a = 2 tga

1 – tg2 a

= 2

Ctga – tga

Tga = 2 tg (a/2)

1 – tg2 (a/2)

Ctg2a = ctg2 a – 1

2 ctga

= ctga – tga

2

Ctga = ctg2 (a/2) – 1

2 ctg (a/2)

Sin x = a

X = (-1)n arksin a + pn

Cos x = a

X = ± arkcos a + 2pn

Tg x = a

X = arktg a + pn

Ctg x = a

X = arkctg a + pn

Формулы приведения

Sin (p /2 – a) = + cosa

Sin (p /2 + a) = + cosa

Sin (p-a) = + sina

Sin (p + a) = – sina

Sin (3p/2 – a) = – cosa

Sin (3p /2 + a) = – cosa

Sin (2p-a) = – sina

Sin (2p + a) = + sina

—————-

Cos (p/2 – a) = + sina

Cos (p/2 + a) = – sina

Cos (p-a) = – cosa

Cos (p + a) = – cosa

Cos (3p/2 – a) = – sina

Cos (3p/2 + a) = + sina

Cos (2p-a) = + cosa

Cos (2p + a) = + cosa

—————–

Tg (p/2 – a) = + ctga

Tg (p/2 + a) = – ctga

Tg (p-a) = – tga

Tg (p + a) = + tga

Tg (3p/2 – a) = + ctga

Tg (3p/2 + a) = – ctga

Tg (2p-a) = – tga

Tg (2p + a) = + tga

————-

Ctg (p/2 – a) = + tga

Ctg (p/2 + a) = – tga

Ctg (p-a) = – ctga

Ctg (p + a) = + ctga

Ctg (3p/2 – a) = + tga

Ctg (p/2 + a) = – tga

Ctg (2p-a) = – ctga

Ctg (2p + a) = + ctga

Sin (-a) = – sina

Cos (-a) = cosa

Tg (-a) = – tga

В прямоугольном треугольнике

A2 + b2 = c2

A = c sina

A = b tga

B = c cosa

Теорема синусов:

A = b = c

Sina sinb sing

Теорема косинусов:

A2 = b2 + c2 – 2 bc cosa

S = ½ ab

Площади фигур

Прямоугольник

S = a b = ½ d1 d2 sina,

D1 и d2 – диагонали

A – угол пересечения диагоналей

Параллелограмм

S = a h = a b sina

S = ½ d1 d2 sina

Трапеция

S = a + b h = ½ d1 d2 sina

2

Круг

S = l r = p r2

2

ТРЕУГОЛЬНИК

S = ½ ah = ½ ab sina

Формула Герона:

S = Ö p (p – a) (p – b) (p – c)

P = a +b + c

2

Площадь треугольника описанного окружностью:

S = a b c

4r

Площадь треугольника с вписанной окружностью:

S = ½ r P

Где Р – периметр

Радиус описанной окружности:

R = a b c

4S

Радиус вписанной окружности:

R = 2S

A + b + c

Длина окружности:

L = 2pr

Квадрат

S = a2 = d2 /2

Ромб

S = a2 sina = ah = ½ dD

Где d – малая диагональ

D – большая диагональ

Объемы тел:

Параллелепипед

V = Sосн h

Куб

V = abc = a3

Призма

V = Sосн h = S^сеч l

L – г рань призмы

Пирамида

V = 1/3 Sосн h

Цилиндр

V = Sосн h = pr2 h = 1/4pd2 h

R – радиус основания

D – диаметр основания

Конус

V = 1/3 Sосн h = 1/3 pr2 h

Шар

V = 4/3 pr3

Площади поверхностей

Призма

Sп = Sбок + 2Sосн

Sбок = ph = S^сеч l

P = a + b +c

Куб

Sп = 6a2

Пирамида четырехугольная

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = ½ Pосн h

H – высота боковой грани

Пирамида треугольная

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = Sосн cosj

J – угол наклона грани

Цилиндр

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = 2prh

Sосн = 2pr (h + r)

Конус

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = prl

Sосн = pr (l + r)

Параллелепипед

Sп = Sбок + 2Sосн

Sбок = Pосн l

Шар

S = 4 pr2

Значения углов

A 0 p/6 p/4 p/3 p/2 p

Sin 0 ½ Ö2/2 Ö3/2 1 0

Cos 1 Ö3/2 Ö2/2 ½ 0 -1

Tg 0 1/Ö3 1 Ö3 – 0

Ctg – Ö3 1 1/Ö3 0 –


Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)