Аналітична геометрія

Реферат

На тему:

Аналітична геометрія

В просторі

Аналітична геометрія в просторі

Загальне рівняння площини в тривимірному просторі, яка проходить через точку (x 0 ;y 0 ;z 0 ) перпендикулярно до вектора має вигляд

A (x – x 0 )+B (y – y 0 )+C (z – z 0 ) (2.7)

Або

Ax +By +Cz =0 (2.8)

Спеціальними площинами є площини OXY (рівняння z =0), OXZ (рівняння y =0) та OYZ (рівняння x =0).

Рівняння площини, яка проходить через три задані точки (x 0 ;y 0 ;z 0 ), (x 1 ;y 1 ;z 1 ), (x 2 ;y 2 ;z 2 ) (якщо ці точки не лежать на одній прямій), є таким:

(2.9)

Приклад. Записати рівняння площини, яка проходить через точки M 0 (1;2;3), M 1 (2;1;2) та M 3 (3;3;1).

Маємо,

Звідки x +4y -4=0.

Рівняння площини у відрізках є таким:

. (2.10)

Ця площина проходить через точки (a ;0;0), (o;b ;0) та (0;0;c ).

Приклад. Ціни за одиницю кожного з трьох товарів становлять, відповідно, 2, 3 та 4 умовні одиниці. Бюджет споживача дорівнює 120 умовних одиниць. Зобразити графічно бюджетне обмеження цього споживача.

Нехай споживач на всі гроші купив x одиниць першого товару, y одиниць другого та z одиниць третього. Тоді виконується рівність

2x +3y +4z =120.

Ми отримали бюджетне обмеження споживача як загальне рівняння площини.

Зручніше записати це обмеження у вигляді рівняння площини у відрізках (виконавши ділення на 120):

.

`Отже, споживач може купити або тільки 60 одиниць першого товару, або тільки 40 другого, або тільки 30 третього, а також може перебувати в довільній іншій точці площин за умов x ³0; y ³0; z ³0 (рис.2.10).

Z

Бюджетне обмеження –

Частина площини в просторі

30

40

Y

60

X

Рис. 2.10.

Якщо ж витрачають не всі гроші, то бюджетне обмеження буде тетраедром:

.

Розглянемо випадок, коли споживач зовсім не купує третього товару (z =0). Тоді бюджетне обмеження представлятиме собою відрізок прямої на площині

,

Або множину точок всередині трикутника (рис. 2.11)

.

Y

Бюджетне обмеження –

40 відрізок прямої на площині

60 x

Рис. 2.11.

Рівняння прямої у тривимірному просторі також записується багатьма способами.

Пряму як перетин двох площин задають системою лінійних рівнянь

. (2.11)

Симетричне (канонічне) рівняння прямої, що проходить через точку (x 0 ;y 0 ;z 0 ) паралельно до напрямного вектора, має вигляд

. (2.12)

Параметричне рівняння прямої є таким:

. (2.13)

Рівняння прямої в просторі, яка проходить через дві точки (x 1 ;y 1 ;z 1 ) та (x 2 ;y 2 ;z 2 ) , є подібним до рівняння прямої на площині:

. (2.14)

Приклад. Пряма в просторі проходить через дві точки: M 1 (1;2;3) та M 2 (4;6;8) . Рівнянням цієї прямої згідно (2.14) є рівняння

.

Виконавши операції віднімання, отримуємо канонічне рівняння

.

Від останнього рівняння перейдемо до параметричного задання прямої (формула 2.13): .

У тривимірному просторі справджуються такі формули для кутів:

Кут між двома прямими та

Обчислюється згідно з формулою ;

Кут між прямою та площиною Ax+By+Cz+D=0 знаходиться за формулою.


Аналітична геометрія