Антье и ее окружение

Андреев А. А., Савин А. Н.

Антье и ее свойства

Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x. Обозначается целая часть x символом “[x]”. Далее целую часть x будем также называть “антье” (от франц. entire – целый). Например: [3,5]=3, [-3,5]=-4, [3]=3, [-5]=-5.

Наряду с целой частью числа существует понятие дробной части числа, которая обозначается “{x}” и определяется следующим образом: {x} = x-[x]. Так {3,5}=0.5, {-3,5}=-0.5, {5}=0, {-5}=0. Очевидно, что для любого действительного числа x выполняется двойное неравенство:0 Ј {x} < 1.

Антье обладает различными свойствами. Перечислим некоторые из них.

1. Если x і 0, то [x] і 0. Если x < 0, то [x] < 0.

2. Если p – целое число, то [x+p] = [x]+p.

Так как дробная часть числа x равна дробной части числа x+p, то из равенства {x+p} = {x} следует x+p-[x+p] = x-[x], откуда получаем [x+p] = [x]+p.

3. Для любых двух действительных чисел a и b справедливо [a+b] і [a]+[b].

Действительно, a = [a]+{a}, b = [b]+{b}. Следовательно, a+b = [a]+[b]+{a}+ {b}. Так как[a] и [b] – целые числа, то по свойству 2

[a+b] = [[a]+ [b]+{a}+{b}] = [a]+[b]+[{a}+ {b}] і [a]+ [b],

Потому что {a}, {b} і 0 и по свойству 1 [{a}+ {b}] і 0.

Свойство 3 распространяется также на любое конечное число действительных чисел:

[a+b+…+w] і [a]+[b]+…+ [w].

4. Если [x] = [y], то |x-y| < 1.

Так как x = [x]+{x}, y = [y]+{y}, то |x-y| = |[x]+{x}-[y]-{y}| = |{x}-{y}| <1. Последнее неравенство следует из того, что дробная часть числа больше или равна нулю и меньше единицы. Следовательно, разность дробных частей двух чисел больше -1 и меньше 1, а модуль этой разности меньше 1. Отсюда |x-y| < 1.

5. Если n – натуральное число, то для любого действительного x выполняется

E

ê

ë

[x ]

N

ù

ú

û

=

E

ê

ë

X

N

ù

ú

û

.

Так как x = nq+r+a, 0 Ј r < n, a = {x}, то

E

ê

ë

[x ]

N

ù

ú

û

=

E

ê

ë

Nq +r

N

ù

ú

û

=

E

ê

ë

Q +

R

N

ù

ú

û

= q

E

ê

ë

X

N

ù

ú

û

=

E

ê

ë

Nq +r +a

N

ù

ú

û

=

E

ê

ë

Q +

R +a

N

ù

ú

û

= q.

Теперь, познакомившись с целой и дробной частью, можно рассмотреть следующий

Пример 1. Доказать, что для всех вещественных a и b выполняется неравенство

[a]+[a+b]+[b] Ј [2a]+[2b].

Решение.

Пусть [a+b] = [a]+[b]+e3 ; [2a] = 2[a]+e1 ; [2b] = 2[b]+e2 ; где ei – целое. Покажем, что e3 равно 0 или 1. Имеет место неравенство

-1 = a+b-1-a-b < [a+b]-[a]-[b] < a+b-a+1-b+1 = 2.

Отсюда получаем, что -1 < e3 < 2, откуда e3 = 0 или e3 = 1, то же верно для e1 , e2 . Рассмотрим разность

[2a]+[2b]-[a]-[b]-[a+b] = [a+a]+[b+b]-[a]-[a+b]-[b] =
= [a]+[a]+e1 +[b]+[b]+e2 -[a]-[a]-[b]-e3 -[b] = e1 +e2 – e3 .

Осталось показать, что e1 +e2 – e3 і 0, ei = 0 или 1. Это неравенство может быть нарушено только при e1 = e2 = 0 и e3 = 1. Покажем, что это невозможно. Если e1 = 0 то [2a] = 2[a], т. е. a = N+d, где N – целое, а 0 Ј d < 0,5, аналогично, b = K+l, где K – целое, а 0 Ј l < 0,5, но тогда [a+b] = N+K = [a]+[b], т. е. e3 = 0. Мы пришли к противоречию, следовательно [a]+[a+b]+[b] Ј [2a]+[2b], что и требовалось доказать.

Пример 2. Найдите

Lim

N®Г

{(2+Ц2)n }.

Решение

Число Nn = (2+Ц2)n +(2-Ц2)n является целым при любом натуральном n. Поэтому

Lim

N®Г

{(2+Ц2)n } =

Lim

N®Г

{Nn -(2-Ц2)n } =

Lim

N®Г

{-(2-Ц2)n } =

Lim

N®Г

(1-{(2-Ц2)n }) = 1,

Так как {-z} = 1-{z}, если z – не целое число, и |2-Ц2| < 1.

Пример 3. Найдите [x], если x=1+(1/2)2 +(1/3)2 +…+(1/1997)2 .

Решение

Для любого натурального числа n і 2 справедлива оценка

1

N2

<

1

N(n-1)

=

1

N-1

1

N

.

Применим эту оценку ко всем слагаемым числа x, начиная со второго:

X < 1+æ ç è1-

1

2

O ÷ ø+æ ç è

1

2

1

3

O ÷ ø+…+æ ç è

1

1996

1

1997

O ÷ ø= 2-

1

1997

< 2.

Так как 1 < x < 2, то [x] = 1.

Графики антье

Наверно вы уже где-нибудь встречали графики функции y=[x], так называемые “ступени”, и y={x} – “забор”; оба графика приведены на рисунках ниже.

<><>

Рассмотрим общий метод построения графиков функций y=[f(x)], y=f([x]), y={f(x)}, y=f({x}).

Построение графика функции y=[f(x)].

Итак, пусть график функции y=f(x) построен (рисунок ниже слева черным цветом). Построение графика функции y=[f(x)] выполняют в следующем порядке:

<><>

1) проводят прямые y= n (n ОZ) и рассматривают одну из полос, образованных прямыми y=n и y=n+1;

2) точки пересечения прямых y=n, y=n+1 с графиком функции y=f(x) будут принадлежать графику функции y=[f(x)], поскольку их ординаты – целые числа; другие точки графика y=[f(x)] в рассматриваемой полосе получим как проекцию части графика y=f(x) на прямую y=n, поскольку любая точка этой части графика функции y=f(x) имеет такую ординату y1 , что n Ј y1 < n+1, т. е. [y1 ] = n;

3) в каждой другой полосе, где есть точки графика функции y=f(x), построение проводится аналогично.

Пример построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа (График функции y=[arcsin x] выделен красным цветом).

Построение графика фунции y=f([x]).

Пусть график функции y=f(x) построен (рисунок слева ниже черным цветом). Построение графика функции y=f([x]) выполняют в следующем порядке:

<><>

1) проводят прямые x=n (n ОZ) и рассматривают одну из полос, образованную линиями x=n, x=n+1;

2) точки пересечения графика функции y=f(x) с прямыми y=n принадлежат графику функции y=f([x]), поскольку их абсциссы – целые числа; другие точки графика функции y=f([x]) в рассматриваемой полосе получим как проекцию части графика функции y=f(x), которая находится в этой полосе, на прямую y=f(n), поскольку любая точка этой части графика имеет такую абсциссу x1 , что n Ј x1 < n+1, т. е. [x1 ]=n;

3) в каждой другой полосе, где есть точки графика функции y=f(x), построение производится аналогично.

Пример построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа (График функции y=[ax]2 выделен красным цветом).

Построение графика фунции y={f(x)}.

Теперь рассмотрим метод построения графика функции y={f(x)}, а так как {f(x)}=f(x)-[f(x)], то вместо графика функции {f(x)} строят разность графиков функций y = f(x) и y = [f(x)]. График на левом рисунке выделен красным цветом.

<>

Практически это построение выполняют так: 1) строят график функции y=f(x) и проводят прямые y=n (n ОZ);

2) в точках пересечения этих прямых с графиком функции y=f(x) проводят прямые, параллельные оси ординат. Значения функции y={f(x)} попадают в образованные прямоугольники. Части графика функции y = f(x), которые попали в эти прямоугольники и располагаются в верхней полуплоскости, опускают вниз на расстояние n. Части графика функции, попавшие в нижнюю полуплоскость переносят вверх на расстояние |n|+1.

Пример построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа. (График функции y={ax } выделен красным цветом).

Построение графика фунции y=f({x}).

Проще всего строятся графики функции y=f({x}). Легко заметить, что такие функции периодичны с периодом T=1, и на отрезке [0; 1] f({x})=f(x). Отсюда следует способ построения графика функции y=f({x}):

1) строят график функции y=f(x) на [0; 1);

2) продолжают этот график, учитывая свойство периодичности функции y=f({x}) и y=1/x2 .

<>

Антье и ее окружение