Билеты по геометрии (11 класс)

Билет № 3

1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

2. Объем призмы.

1. Три случая расположения прямой и плоскости.

1.Плоскость и прямая имеют одну оющую точку aÈA

2.Прямая лежит в плоскости а значит имеет с ней 2 общие точки.

1.Пряммая и плоскость не имеют общих точек т. е. a÷ïa

2.Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

Д-во: Рассмотрим правильную 3-угольную призму АВСА1 В1 С1 с объемом V и высотой h.

Проведем такую высоту ∆АВС (ВD) кот. разделит этот ∆на 2 ∆. Поскольку ВВ1 D разделяют данную призму на 2 призмы, основания кот является прямоугольный ∆ABD и ВСD. Плэтому объем V1 и V2 соответственно равны SABD – h и SВСD – h. По св-ву 20 объемов V=V1 +V2 т. е V= SABD – h+ SВСD – h= (SABD + SВСD ) h. Т. о. V=SАВС – h

Д-во Возьмем произвольную прямую призму с высотой h и площадью основания S. Такую

Призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Выразим объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен произведению Sh. Теорема доказана.

Рассмотрим случай, когда призмая является частью параллелепип-ида. Диогональное сечение делит параллелепипед на 2 равные треугольные призмы. Так как Sпол = 1/ /2 ab то S∆ =ab =>V∆ = Sh ч. т. д.

Билет №5

1. Перпендикуляр к наклонной плоскости(формулировки, примеры)

2. Объем цилиндра.

1. Рассмотрим пл αи т А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через т А прямую,^ к пл α, и обозначим букв H т пересечения этой прямой с пл α .Отрезок АН называется, ^ проведенным из

Т А к пл α, a т Н – основанием ^. Отметимв пл αкакую-нибудь т М, отличную от Н, и проведем отр AM. Он называется наклонной, про-вед из т А к пл α, а т М – основанием наклонной. Отрезок НМ наз-ывается проекцией наклонной на пл α. Сравним ^АН и наклон-ную AM: в прямоугольном ∆АМН сторона АН – катет, а сторона AM – гипотенуза, поэтому АН<АМ. Итак, ^, проведенный аз данной т к пл, меньше любой наклонной, проведенной из той же т к этой пл.

=> из всех расстояний от т А до различных т пл αнаименьшим является расстояние до т H. Это расстояние, т. е: длина ^, проведенного из т А к пл α , называется расстоянием от т A до пл α

Замечаиия. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.

2. Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Д-во. Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n-угольную призму Fn а в

Эту призму впишем цилиндр Рп. Обозначим через V и Vn объемы цилиндров Р и Рп, через rп – радиус цилиндра Рп. Так как объемпризмы Fn равен Sn h, где Sn – площадь основания призмы, а цилиндр Р содержит призму Fn, кот в свою очередь, содержит цилиндр Рп, тоVn <Sn h<V. Будем неограниченно увеличивать число n. При этом радиус rп цилиндра Рп стремиться к радиусу r цилиндра Р(rп =rcos180/n®r при r→∞). Поэтому V цилиндра Рп стремиться к объему цилиндра Р: limVn =V. Из равенства (Vn <Sn h<V) =>, что

N→∞

LimSn h=V. Но limSn =πr2 Т. о V=πr2 h. т. к πr2 =S, то получим V=Sосн h.

N→∞ n→∞

Билет № 6

1. Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировки, примеры)

2. Объем конуса.

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельную первой, называется расстояни6е между скрещивающимися прямыми.

Если две прямые скрещиваются то через каждую из них проходит плоскость параллельная другой прямой, и при том только одна.

2 Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Д-во Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания R, высо-той h и вершиной т О. Введем ось Ох (ОМ). Произвольное сечение конуса пл. , ^ к оси Ох, является кругом с центром в т М1 пересе-чения этой пл. с осью Ох. Обозначим радиус через R1 ,а S сечения через S(х) , где х – абсцисса т М1 . Из подобия прямоугольных ∆ ОМ1 А1 и ОМА=> что

ОМ1=R1, илиX=R1ОткудаR=XRТак какS(x)= pR12,тоS(x)=PR2
ОМRHRHH2

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=0, получим

HHH
V=πR2X2 dx=πR2X2 dx=πR2×X3½ =1πR2 h
H2H2H233
000

Площадь S основания конуса равна pR2 , поэтому V=1 /3 Sh.

Следствие. Объемом V усеченного конуса, высота кот равна h, а площадь оснований S и S1 вычисляется по формулеV=1 /3 h(S-S1 +√ S-S1 ).

Билет №7

1. Угол между скрещивающимися прямыми

2. Площадь боковой поверхности цилиндра.

1. Пусть АВ и СD – скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную т. М1 пространства и проведем через нее прямые А1 В1 и С1 D1 , соответственно параллельн АВ и СD

Если ∠ между прямыми А1 В1 и С1 D1 =φ, то будем говорить, что∠ между скрещивающимися прямыми АВ и СD=φ. Докажем теперь, что∠ между прямыми не зависит от выбора т. М1 . Действительно, возьмем любую т. М2 и проведем прямые А2 В2 и С2 D2 соответственно парал. АВ и СD Т. к А1 В1 ∥ А2 D2 , С1 D1 ∥ C2 D2 , то стороны углов с вершинами в т. М1 и М2 попарно сонаправлены( ∠А1 М1 С1 и∠А2 М2 С2 , ∠А1 М1 D1 и∠А2 М2 D2 ) потому эти ∠ равны, ⇒что∠ между А2 В2 и С2 D2 так же =φ. В качестве т М можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых. Например на СD отметить т М и через нее провести А’B’ параллельные АВ. Угол между прямыми A’B’и CD= φ

2. Терема: S боковой поверхности цилиндра равна произведению длинны окружности основания на высоту

Разрежем боковую поверхность по образующей АВ и развернем т. о, что все образующие оказались в одной плоскости α . В результате в пл α получится прямоугольник АВВ’А’ . Стороны АВ и А’В’ – два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей АВ. Это прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра. основание АА’ прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра, поэтому АА’=2πr, AB-h, где г – радиус цилиндра, h – его высота. за S бок цилиндра принято считать S ее развертки. Т. к S прямоугольника АВВ’А’= АА’-ВА = 2πr-h то, для вычисления S бок цилиндра радиуса к и высоты h формула

S бок =2πrh

Билет № 9

1. Угол между плоскостями (формулировка, примеры)

2. Сложение векторов. Свойства сложения.

2. Возьмем 2 произвольных вектора a и b. Отложим от какой-нибудь т А вектор АВ равный а. Затем от т В отложим ВС=b. Вектор АС называется суммой векторов а и b : АС=a+b.

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. (по этому же правилу складываются и коллинеарные векторы, хотя при их сложении треугольника не получается) Сумма a +b не зависит от выбора т А, от которой при сложении откладывается вектор а. (если например заменить т А на т А1 то вектор АС заменится равным ему вектором А1 С1 Привило треугольника можно сформулировать и в другой форме: для любых точек А, В, и С имеет место равенство АВ+ВС=АС. Для сложения 2-ух неколлинеарных векторов можно пользоваться так же правилом параллелограмма. Для любых векторов а, b и с справедливы равенства: a+b=b+a (перемести-тельный з-н. );(a+b)+с=а+(b+с)(сочетательный з-н). Два нулевых вектора называются противоположными, если их длины равны нулю и они противоположно направлены. Вектором проти-оположным нулевому вектору, считается нулевой вектор. Вектр АВ является проти-воположным вектру ВА

Билет № 10

1. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла.( формулировки, примеры)

2. Умножение вектора на число. Св-ва произведения вектора на число.

1. Двугранным углом называют фигуру, образованную прямой а и 2-мя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями.

У двугранного угла 2 грани, отсюда и название. Прямая а – общая граница полуплоскостей – называется ребром двугранного угла. Для измерения двугранного угла отметим на ребре какую-нибудь т. и в каждой грани из этой точки проведем перпендикуляр к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейный угол двугранного угла. (ÐАОВ ) ОА^CD CD^ОВ, то плоскость АОВ ^ к прямой СD. Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов и они равны друг другу. Рассмотрим 2 линейных ÐАОВ и ÐА1 О1 В1 . Лучи ОА и О1 А1 лежат в одной грани ^к ОО1 , поэтому они сонаправлены. Точно так же сонаправлены ОВ и О1В1=> Ð А1 О1 В1 =ÐАОВ. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Он может быть прямым, острым, тупым ( 90°, <90°, >90°)

2. Произведение ненулвого вектора а на число k называется такой вектор b, длинна которого равно |k |-|a |, причем вектор a и b сонаправлены при k ≥ 0 и противоположно направлены при k<0. Произведением ненулевого вектора на любое число нулевой вектор. Произведение вектора а на число k обозначается так : ak. Для любого числа k и вектора а векторы а и ka коллинеарны. Из этого определения следует, что произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор. Для любых векторов а и b и любых чмсел k, l справедливы равенства:

(kl)a= k(al) (сочетательный з-н)

K(a+b)=ka+kb(Ι-ый распределительный з-н)

(k+l)a=ka+la ( II-ой распределительный з-н)

Отметим, что (-1)а является вектором противоположному вектору а, т. е. (-1)а = – а. Действитель-но, длины векторов (-1)а и а равны: |(-1)a| =|(-1)|×|а|=а. Кроме того, если вектолр а ненулевой, то векторы (-1) а и а противоположно направлены. Точно так же, как в планеметрии, можно диказать, что если векторы а и b коллинеарны и а¹0 , то существует число k такое, что b= ka.

Билет № 11

1. призма (формулировки, примеры)

2. Скалярное произведение векторов.

1. Призма. Рассмотрим два равных многоугольника А1 А2. ., Ап и В1 В2. …Вп, расположенных в параллельных пл-тях а и р так, что отрезки А1 В1 ,А2 В2 , …, Ап Вп, соединяющие соответственные вершины мн-

Ков, параллельны. Каждый из п 4- хугольников A 1 A2 B2 B 1 , А2 А3 В3 В2 , …. An A 1 B 1 Bn является п-ммом, так как имеет попарно параллельные про-тивоположные стороны. Мн-к, составленный из 2 равных мн-ков А1 A2 …An и В1 В2 …Вп, расположенных в параллельных пл-тях, и n п-ммов наз призмой Мн-ки A 1 A 2 . … An и B 1 B 2 …Bn наз основаниями, а п-ммы-бокоеыми гранялш призмы. От резки А1 В1 , А2 В2 …, АпВп наз бо – коеыми ребрами призмы. Эти ребра как противрпрложные стороны п-ммов последовательно приложенных друг к другу, равны в парал-лельны. Призму с основаниями A 1 A 2 . … An и B 1 B 2 …Bn обозначают-A 1 A 2 . …А n В 1 В2 …В n и называют п-угольной призмой. 4-ехугольная призма – параллелепипед.^, проведенный из какой-нибудь точки одного ос-нования к плоскости другого основания, называется высотой приз-мы. Если боковые ребра призмы ^к основаниям, то призма наз пря – мой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру. Прямая при-зма называется пра – вильной, если ее основания – правильные мн-ки. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники S полной поверхности. призмы называется сумма площадей всех ее граней, а S боковой поверхности призмы – сумма площа-дей ее боковых граней. Пло-щадь Sполн полной повер-хности выра-жается через площадь S6os боко-вой поверхности и пло-щадь Sосн ос-нования призмы форму Sполн =S6oк+ 2Sосн.

2. Скакалярным произведением 2-ух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними Скал-ое произведение векторов а и b обозначают так :аb. Т. о. ab=|a|×|b|cos (ab). Скал-ое произведение вектора равно 0 тогда, когда эти векторы ^; скал-ый квадрат вектора(т. е скал-ое призведение вектора на себя) = квадрату его длинны.. Скал-ое произведение 2-ух векто-ров можно вычислить, зная координаты этих векторов:скал-ое произведение векторов а{x1 ;y1 ;z1 } и b{x2 ;y2 ;z2 }выражается формулой: аb= x1 x2 +y1 y2 +z1 z2 . Косинус Ða между ненулевыми вектора-ми а{x1 ;y1 ;z1 } и b{x2 ;y2 ;z2 } вычисляется формулой.

Соsa=X1 x2 +y1 y2 +z1 z2 .В самом деле, так как а b =|а|×|b|, тоCosa=Ab
√x12 +y1 ²+z12 ⋅√ x22 +y2 ²+z22|a|×|b|

Подставив сюда выражения для ab, |а|и|b| через координаты векторов а и b получим эту формулу. Для любых векторов а, b и c и любого числа k справедливы равенства:

10 .а2³) , причем а2 >0 при а¹0

20 .ab=ba(переместительный з-н)

30 .(a+b)c=ac+bc(распределительный з-н)

40 .k(ab)=(ka)b (сочетательный з-н)

Утверждения 1⁰-4⁰относятся и к планиметрии Нетрудно док-ть, что распределительный з-н имеет место для любого числа слагаемых( (a+b+c)d=ad+bd+cd.)

Билет № 12

1. Прямая и правильная призма(формулировки примеры)

2. Существование плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку.

1. Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то призма нвзывается прямой, в противном случае наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.

2. Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и приом только одна.

Д-во. Рассмотрим пр а и не лежащую на ней т М. Отметим на прямой а 2 точки Р и Н Точки М, Р и Н не лежат на одной прямой поэтому согласно аксиоме А1 через эти 3 точки проходит пл a. Т. к. 2 точки прямой РиН лежат в пл a., то по аксиоме А2 пл a. проходит через прямую а. Единственность пл, проходящай через прямую а и т М, => из того, что любая пл., проходящая через пр а и т М, проходит через т М, Р и Н.=>, она совпадает с пл a., т. к по аксиоме А1 через 3 точки проходит только одна плоскость.

Билет № 13

1. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед(формулировка примеры)

2. Теорема о боковой поверхности призмы.

1. Прямоугольный параллелепипед. Параллелепипед называется прямоугольник, если его боковые ребра ^к основанию, а основания представляют собой прямоугольники: коробки,

Ящики, комнаты к т. д. прямоугольный параллелепипед ABCD A1 B1 C1 D1 . Его основаниями служат прямоугольники ABCD и A1 B1 C1 D1 a боковые ребра АА1 , ВВ1 , СС1 и DD1 ^к основаниям. Отсюда=>, что АА 1 ^АВ, т. е. боковая граyь АА 1 В1 В – прямоуголь-ник. To же самое можно сказать и об остальных боковых гранях. Та-ким образом, мы обосновали следующее свойство прямоугольного параллелепипеда:

1°. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники. Полупл, в кот расположены смежные грани парал-

Да, образуют двугранные углы, кот называются двугранными углами параллелепипеда.

2°. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.

Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного парал-да. Например, у парал­-да, можно взять длины ребер АВ, AD и АА1 . Длины смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника и поэтому можно сказать, что квадрат диагонали, прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений.

2 . Теорема: S боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Д-во. Боковая поверхность прямой призмы – прямоугольники, основания которых – стороны основания призмы, а высота равна h призмы. S боковой поверхности призмы равна сумме произведений указанных прямоугольников, т. е. равна сумме произведений сторон основания нв высоту h. Вынося множитель h за скобки получим в скобках сумму сторон основания призмы, т. е его периметр P. Итак Sбок =Ph

S=AB-h+BC-h+CA-h=h(AB+BC+CA)=Ph

Билет № 14

1. Пирамида(формулировка, примеры)

2. Существование прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку.

1. Пирамида. Рассмотриммногоугольник А1 А2 …Аn и точку Р не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив т. Р отрезками с вершинами многоугольника, получим n треугольников РА1 А1 , РА2 А3 …,РаnА1 .

Многоугольник, составленный из n – угольника А1 А2 …А n и n тре-угольников, называется пирамидой. Многоугольник А1 А2 …Аn назы-вается основанием, а треугольники – боковыми гранями пирамиды. Т. Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА1 ,РА2 , …, РАn – ее боковыми ребрами. Пирамиду с основанием А1 А2 ,…Аn и вершиной Р обозначают так: РА1 А2 …Аn – и называют n – угольной пирамидой. Треугольная пирамида называется тетраэдр. Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называют высотой пирамиды (РН) Площадью полной поверхности пирамиды называют сумму площадей ее граней, а площадью боковой поверх-ности – сумму площадей ее боковых граней

2. Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.

Д – во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М проходит

Пл, и притом только одна. Обозначим эту плоскость буквой α. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости α. Ho в плоскости α, как известно из курса планиметрии, через т М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая обозначена буквой b. Итак, b – единственная прямая, проходящая через т М параллельно пря­мой а. Теорема доказана.

Билет № 15

1. Цилиндр (формулировки и примеры)

2. Признак параллельных прямых.

1 . Цилиндр. Рассмотрим две параллельные плоскостиα и β и окружность L с центром О радиуса r, расположенную в пл α. Отрезки прямых заключенных между плоскостями образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки называются образующими цилиндрической поверхности По построению концов образующих расположенных в пл β заполним окружность

L1. Тело ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L1 , называется цилиндром. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра. Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, прямая ОО1 – осью цилиндра.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Сечение цилиндра, проходящее через ось, представляет собой прямоугольник, две стороны которого образующие, а 2 другие – диаметры оснований цилиндра, такое сечение называется осевым. Если секущая плоскость ⊥к оси цилиндра, то сечение является кругом. Цилиндры так же могут быть и наклонными или иметь в своем основании параболу.

Параллельность прямых а и bобозначается так: а|| b. Докажем теорему о параллельных прямых.

Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.

Д – во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М проходит

Пл, и притом только одна. Обозначим эту плоскость буквой α. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости α. Ho в плоскости α, как известно из курса планиметрии, через т М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая обозначена буквой b. Итак, b – единственная прямая, проходящая через т М параллельно пря­мой а. Теорема доказана.

Билет №16

1. Конус (формулировки и примеры)

2. Признак параллельности прямой и плоскости

1 .Конус. Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим с отрезом в т. Р Поверхность, образованная этими отрезками называется конической поверхностью

А сами отрезки – образующими конической поверхности. Тело, ограниченное конической поверхностью и круг-ом с границей L, называется конусом. Коническая по-верх называется боковой поверхностью конуса, а круг – снованием конуса. Т. Р называется вершиной конуса, а образующие конической поверхности – образующими конуса. Все образующие равны друг другу. ОР, прохо-дящая через центр основания и вершину, называется Осью конуса. Ось конуса ⊥ к плоскости основания. Отрезок ОР называется высотой конуса.

Конус можно получить и вращением прямоуголь-ным треугольником вокруг одного из его катетов. При этом боковая поверхность образуется с помо-щью гипотенузы. Рассмотрим сечения конуса. Если секущая ось проходит через ось, то сечение пред-ставляет собой треугольник, и называется осевым сечением. Если секущая плоскость ⊥к оси ОР конуса, о сечене пред-ставляет собой круг с центром в т. О1 , расположенным на оси конуса. R1 этогокруга равен РО1 /РО r, где r – радиус основания конуса, что легко усмотреть из подобия△РОМ∾△РО1 М1

2.Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема. Если прямая, не лежащая в даннойц плоскости, палаллльна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллнльна данной плоскости.

Д-во. Рассмотрим пл.αи 2║прямые a и b, расположенные так, что прямая b лежит в пл α, а прямая a не лежит в этой пл. Докажем, что α║a. Допустим, что это не так, тогда прямая a пересекает пл α , а значит по лемме о пересечении пл параллельными прямыми пр b так же пересекает пл α . Но это невозможно, так как пр b лежит в пл α. Итак пр a не пересекает пл α, поэтому она ║этой плоскости.

Билет № 17

1. Сфера, шар( формулировки, примеры)

2. Признак параллельности плоскостей.

Определение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точен. пространства, расположенных на данном расстоянии or данной точки

Данная точка называется центром сферы (т О ), а данное расстояние – радиусом сферы. Радиус сфе­ры часто обозначают буквой R Люб-ой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяю­щий две точки сферы и проходящий через ее центр, называет­ся диаметром сферы. Очеви-дно, диаметр сферы равен 2R Отметим, что сфера может быть полу-чена вращением полуокружности вокруг ее диаметра Тело, ограни-ченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства, кот. Расположены от точки О на расстоянии, не превышающем H(вклю-чая и точку О), и не содержит других точек.

2. Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, другой плоскости, то эти плоскости праллельны.

Д-во. Рассмотрим две плоскости α и β. В плоскости αлежат пересека-ющиеся в точке М прямые a и b, а в плоскости β – прямые a1 и b\ , причем a||a1 и b||b1. Докажвм, что a||b. Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и плоскости a||β и b||β.Допустим, что плоскости α и β не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с. Мы получили, что плоскость a проходит через прямую а, па-раллельную плоскости β, и пересекает плоскость по прямой с. Отсюда следует, что a||с.

Но плоскость a проходит также через прямую b, параллель­ную плоскости β. Поэтому b||c. Т. о, через т М проходят две прямые a и b, параллельные прямой с. Но это невозможно, т. к по теореме о параллельных прямых через точку М проходит только одна прямая, параллельная прямой с. Значит, наше допущение неверно и α|| β. Теорема доказана.

Билет № 18

1.Формула прямоугольногопараллелепипеда. (формулировка и пример)

2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости( доказательство одного из них)

2. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Теорема. Если одна из 2-ух параллельных прямых перпендикуляр-на к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плос-кости.

Д-во. Рассмотрим 2 ║а и а1 и пл α, такую, что а^α. Докажем, что и а1 ^α.. проведем какую-нибудь прямую х в пл α. Так как а^α, то а^х. По лемме о перпендикулярности 2-ух параллельных прямых к третьей а1 ^х. Т. о. прямая а1 ^ к любой прямой, лежащей в пл a т. е а1 ^α.

Теорема. Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Билет №20

1. Фрмула обьема шара( формула примеры)

2. Теорема о трех перпендикулярах

1. Теорема: Объем шара радиуса R равен 4 /3 p R3

Д-во: Рассмотрим шар радиуса R с центром в т. О и выберем ост Ох произвольным образом. Сечение шара пл. ^к оси Ох и проходящей через т М этой оси является кругом с центром в т М. Обозничим радиус этого круга r, а его площадь S(x), где х – абсц-исса т М. Выразим S(х)через х и R. Из прямоуголь-ника ОМС находим: r=ÖOC2 – OM2 = ÖR2 – x2 .Так как S(x)=pR2 ,то S(x)= p(R2 – x2 ). Заметим, что эта фор-мула верна для любого положения т. М на диаметре АВ, т. е. для всех х, удовлетворяющих условию – R£ x £R. Примеряя основную формулу для вычисления объемов тел при а= – R, b=R, получим

VR R R RPx3R4
=∫p(R2 – x2 )dx= pR2 ∫ dx-p∫x2 dx=pR2 x½-½=PR3
33
– R – R – R – R-R

2.Теорема. Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Д-во. Дана пл α и перпендикуляр АН, АМ – наклонная, а – прямая, проведенная в пл α через т м^ к проекции НМ наклонной. Докажем, что а ^АМ. Рассотрим пл АМН. Пр. а ^к этой пл, т. к она ^ к 2-ум пересекающимся прямым АН и МН(а ^ НМ по условию и а ^АН, т. к. АН^ α). Отсюда =>, что пр а ^ к любой прямой, лежащей в пл АМН, в частности а^АМ

Обратная теорема. Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней перпендикулярна и к ее проекции


Билеты по геометрии (11 класс)