Дифференцирование. Интегрирование

Задание 1. Найти производные функций

A)

Пусть , , тогда

B)

Если функция имеет вид , то ее производная находится по формуле .

Перейдем от десятичного логарифма к натуральному:

По свойству логарифма

Таким образом,

C)

Продифференцируем уравнение, считая y функцией от х:

Задание 2. Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график функции

Областью определения функции являются все действительные числа,

Кроме х=0. В точке х=0 функция разрывна.

Функция нечетная, т. к.

Функция не пересекается с осями координат (уравнение y =0 не имеет решений).

Найдем производную функции:

.

Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю.

Функция возрастает в промежутке (-∞; – 1) U (1; ∞)

И убывает в промежутке (-1; 0) U (0; 1).

Функция имеет экстремумы : максимум – в точке х=-1, минимум – в точке х=1.

Исследуем функцию на выпуклость / вогнутость.

Для этого найдем производную второго порядка и, приравняв ее к нулю, вычислим критические точки второго рода.

В точке х=0 вторая производная не существует, т. к. это точка разрыва функции. В интервале (-∞; 0) <0, следовательно, график функции в этом интервале выпуклый. В интервале (0;∞) >0, следовательно, график функции в этом интервале вогнутый.

Асимптоты графика функции :

1) вертикальная асимптота – прямая х=0

Т. к. и

2) горизонтальных асимптот нет,

Т. к. и

3) наклонных асимптот нет,

Т. к.

И

Задание 3 . Найти экстремумы функции Z = ln (3 – x 2 + 2 x – y 2 )

Найдем частные производные первого порядка.

М (1; 0) – стационарная точка.

Найдем вторые производные и их значения в точке М.

>0 Следовательно, функция Z = ln (3 – x 2 + 2 x – y 2 ) имеет экстремум в точке М (1; 0) – максимум, т. к. A < 0.

Задание 4 . Вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием

A)

Решаем методом замены переменной. Положим ,

Тогда ,

Таким образом, получаем

Вернемся к переменной х.

Проверим дифференцированием:

B)

Воспользуемся таблицей неопределенных интегралов [Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил. – С. 850]

С

Проверим дифференцированием:

C)

Неправильную рациональную дробь приводим к правильной делением числителя на знаменатель, получаем

Согласно свойству интервала алгебраической суммы, имеем

Подстановка приводит интеграл к виду

Возвращаясь к аргументу х, получаем

Таким образом, ,

Где С=С1 +С2

Проверим дифференцированием:

Задание 5 . Вычислить определенный интеграл

Сначала вычислим неопределенный интеграл методом замены переменной. Полагая , находим

Вернемся к переменной х.

Таким образом,

Библиографический список

1. Баврин, И. И. Высшая математика: учебник/ И. И. Баврин. – М.: Академия, 2003. – 616 с.:ил.

2. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике/М. Я. Выгодский. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил.

3. Выгодский, М. Я. Справочник по элементарной математике/М. Я. Выгодский. – СПб.: Изд. “Санкт-Петербург оркестр”, 1994. – 416 с.:ил.


Дифференцирование. Интегрирование