Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера

© Н. М. Козий, 2008, [UA]

Свидетельство Украины № 25256

О регистрации авторского права

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СИЛЬНОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА-ЭЙЛЕРА

Сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера формулируется следующим образом: любое четное число, большее двух, равно сумме двух простых чисел:

N = A + B,

Где: А и В – простые числа.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Напишем арифметическую прогрессию: Р = [ 1, 2, 3, 4, 5… N]

Очевидно, что:

– количество членов прогрессии равно N;

– количество четных и нечетных членов прогрессии одинаково и равно:

N = 0, 5 N.

Напишем возрастающую V и убывающуюU арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n – четное число:

V = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1, 0,5N +1… N-3, N-1]

U = [ N-1, N-3 … 0,5N +1, 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]

Очевидно, что часть прогрессии U :

U1 = [ N-1, N-3 … 0,5N +1]

Представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V :

V1 =[ 0,5N +1… N-3, N-1],

А часть прогрессии U :

U2 = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]

Представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V :

V2 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1].

Исходя из этого для числа N при n – четном запишем:

V0 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1]

U0 = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1].

Приэтом:

V0i + U0i = N,

Где V 0 i и U 0 i – i – тые члены прогрессий V 0 иU 0 .

Приn – четном количество членов прогрессии V 0 равно количеству членовпрогрессииU 0 и равно:

K = 0,5∙n = 0,25- N. /1/

Напишем возрастающую V и убывающуюU арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n – нечетное число:

V = [1, 3, 5, 7 … 0,5N… N-3, N-1]

U = [N-1, N-3 … 0,5N… 7, 5, 3, 1]

Очевидно, что часть прогрессии U :

U3 = [N-1, N-3 … 0,5N]

Представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V :

V3 = [0,5 … N-3, N-1],

А часть прогрессии U :

U4 = [0,5N… 7, 5, 3, 1]

Представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V :

V4 = [1, 3, 5, 7 … 0,5N].

Исходя из этого для числа N при n – нечетном запишем:

V0 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N]

U0 = [ 0,5N… 7, 5, 3, 1].

Приэтом:

V0i + U0i = N,

Где V 0 i и U 0 i – i – тые члены прогрессий V 0 иU 0 .

Приn – нечетном количество членов прогрессии V 0 равно количеству членовпрогрессииU 0 и равно:

К =0,5-( n +1) = 0,25-( N + 2). /2/

Количество пар чисел V 0 i + U 0 i прогрессий V 0 иU 0 равно: П =К.

В общем случае обозначим:

Zpv – количество простых чисел в прогрессии V 0 ;

Zsv — количество составных чисел в прогрессииV 0 ;

Zpu — количество простых чисел в прогрессии U 0 ;

Zsu — количество составных чисел в прогрессии U 0 ;

П s / v – количество пар чисел V 0 i + U 0 i, состоящих из составных чисел прогрессии U 0 и простыхчисел прогрессииV 0 ;

П s / u – количество пар чисел V 0 i + U 0 i, состоящих из составных чисел прогрессии V 0 и простыхчисел прогрессии U 0 ;

Пр — количество пар чисел V 0 i + U 0 i, состоящих из простыхчисел прогрессий V 0 иU 0 .

Очевидно, что:

П = К = Zpv + Zsv = Zpu + Zsu ; /3/

Zsv = K – Zpv ; Zsu = K – Zpu.

Из анализа значений числа N с использованием таблицы простых чисел следует:

-для чисел N ≤ 116 : Zpv > Zsu ; Zpu > Zsv ;

– для чисел N = 118…136: Zpv = Zsu ; Zpu = Zsv ;

– для чисел N ≥138: Zpv < Zsu ; Zpu < Zsv.

Составим прогрессии V 0 иU 0 для произвольно взятых чисел N, разделим их на подпрогрессии, установим значения величин Zpv, Zsv, Zpu, Zsu, П s / v, П s / u, Пр и соотношения между ними как для прогрессий V 0 иU 0 в целом, так и для входящих в них подпрогрессий.

ПРИМЕР 1. N =120; n =0,5 N =0,5-120 = 60 – четное число.

В соответствии с зависимостями /1/ и /3/ количество пар чисел V 0 i + U 0 i равно:

П = К = 0,25- N =0,25∙120 =30.

V 0 ={ V 01 =[ 1 3 5 7 9 11 13 ] V 02 =[ 15 17 19 21 23 ] V 03 =[ 25 27]

U 0 ={ U 01 = [119 117 115 113 111 109 107 ] U 02 =[105 103 101 99 97 ] U 03 =[ 95 93]

Пр * * * * * *

V04 = [ 29 31 ] V05 = [ 33 35 ] V06 = [ 37 39 41 43 45 47 ] V07 = [ 49 51 53 ]

U04 = [ 91 89 ] U05 = [ 87 85 ] U06 = [ 83 81 79 77 75 73 ] U07 = [ 71 69 67 ]

Пр * * * * *

V 08 = [ 55 57 59 ] }.

U 08 = [ 65 63 61 ] }.

Пр *

Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.

*- пары простых чисел.

Для прогрессий V 0 и U 0 в целом имеем:

Zpv =17, Zsv =13, Zpv = Zsu, Пs/v =5, Пs/v ≠Пs/u,

Zpu =13, Zsu =17, Zpu = Zsv, Пs/u =1, Пр = 12.

Определим разности:

Rv = Zpv – Пs/v = 17 – 5 = 12;

Ru = Zpu – Пs/u = 13 – 1 = 12.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует:

Rv =Ru =Пр = 12.

Для подпрогрессий V 01 иU 01 имеем:

Zpv =6, Zsv =1, Zpv > Zsu, Пs/v =3, Пs/v ≠Пs/u,

Zpu =3, Zsu =4, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 3.

Определим разности:

Rv = Zpv – Пs/v = 6 – 3 = 3; Ru = Zpu – Пs/u = 3 – 0 = 3.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 3.

Для подпрогрессий V 02 иU 02 имеем:

Zpv =3, Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v =0, Пs/v =Пs/u = 0,

Zpu =3, Zsu =2, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 3.

Определим разности:

Rv = Zpv – Пs/v = 3 – 0 = 3; Ru = Zpu – Пs/u = 3 – 0 = 3.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 3.

Для подпрогрессий V 04 иU 04 имеем:

Zpv =2, Zsv =0, Zpv > Zsu, Пs/v =1, Пs/v ≠Пs/u,

Zpu =1, Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 1.

Определим разности:

Rv = Zpv – Пs/v = 2 – 1 = 1; Ru = Zpu – Пs/u = 1 – 0 = 1.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 1.

Для подпрогрессий V 06 иU 06 имеем:

Zpv =4, Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v =1, Пs/v ≠Пs/u,

Zpu =3, Zsu =3, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 3.

Определим разности:

Rv = Zpv – Пs/v = 4 – 1 = 3; Ru = Zpu – Пs/u = 3 – 0 = 3.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 3.

Для подпрогрессий V 07 иU 07 имеем:

Zpv =1, Zsv =2, Zpv = Zsu, Пs/v =0, Пs/v ≠Пs/u,

Zpu =2, Zsu =1, Zpu = Zsv, Пs/u =1, Пр = 1.

Определим разности:

Rv = Zpv – Пs/v = 1 – 0 = 1; Ru = Zpu – Пs/u = 2 – 1 = 1.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 1.

Для подпрогрессий V 08 иU 08 имеем:

Zpv =1, Zsv =2, Zpv < Zsu, Пs/v =0, Пs/v =Пs/u = 0,

Zpu =1, Zsu =2, Zpu < Zsv, Пs/u =0, Пр = 1.

Определим разности:

Rv = Zpv – Пs/v = 1 – 0 = 1; Ru = Zpu – Пs/u = 1 – 0 = 1.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 1.

ПРИМЕР 2. N =154; n =0,5 N =0,5-154= 77 – нечетное число.

В соответствии с зависимостями /2/ и /3/ количество пар чисел V 0 i + U 0 i равно:

П = К =0,5( n +1) = 0,25( N + 2) = 0,25 (154 + 2) = 39.

V 0 = {V 01 = [ 1 3 5 7 9 ] V 02 = [ 11 13 15 17 19 21 23 ] “

U 0 ={ U 01 = [153 151 149 147 145] U 02 = [143 141 139 137 135 133 131 ] “

Пр * * * *

V 03 =[ 25 27 29 31 33 35 37 39] V 04 = [ 41 43 45 47 49 51 53 ]

U 03 = [129 127 125 123 121 119 117 115] U 04 =[113 111 109 107 105103 101 ]

Пр * * *

” V 05 = [55 57 59 61 63 65 67 69] V 06 = [ 71 73 ] V 07 = [ 75 77 ] }.

” U 05 = [99 97 95 93 91 89 87 85] U 06 = [ 83 81 ] U 07 = [ 79 77 ] }.

Пр *

Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.

*- пары простых чисел.

Для прогрессий V 0 и U 0 в целом имеем:

Zpv =21, Zsv =18, Zpv < Zsu, Пs/v =13, Пs/v ≠Пs/u,

Zpu =15, Zsu =24, Zpu < Zsv, Пs/u =7, Пр = 8.

Определим разности:

Rv = Zpv – Пs/v = 21 – 13 = 8; Ru = Zpu – Пs/u = 15 – 7 = 8.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 8.

Для подпрогрессий V 01 иU 01 имеем:

Zpv =4, Zsv =1, Zpv > Zsu, Пs/v =2, Пs/v ≠Пs/u,

Zpu =2, Zsu =3, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 2.

Определим разности:

Rv = Zpv – Пs/v = 4 – 2 = 2; Ru = Zpu – Пs/u = 2 – 0 = 2.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 2.

Для подпрогрессий V 02 иU 02 имеем:

Zpv =5, Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v =3, Пs/v ≠Пs/u,

Zpu =3, Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u =1, Пр = 2.

Определим разности:

Rv = Zpv – Пs/v = 5 – 3 = 2; Ru = Zpu – Пs/u = 3 – 1= 2.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 2.

Для подпрогрессий V 04 иU 04 имеем:

Zpv =4, Zsv =3, Zpv > Zsu, Пs/v =1, Пs/v ≠Пs/u,

Zpu =5, Zsu =2, Zpu > Zsv, Пs/u =2, Пр = 3.

Определим разности:

Rv = Zpv – Пs/v = 4 – 1 = 3;

Ru = Zpu – Пs/u = 5 – 2 = 3.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 3.

Для подпрогрессий V 06 иU 06 имеем:

Zpv =2, Zsv =0, Zpv > Zsu, Пs/v =1, Пs/v ≠Пs/u,

Zpu =1, Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 1.

Определим разности:

Rv = Zpv – Пs/v = 2 – 1 = 1; Ru = Zpu – Пs/u = 1 – 0 = 1.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 1.

Из анализа приведенных прогрессий и входящих в их состав подпрогрессий следуют определенные варианты сочетаний величин Zpv, Zsv, Zpu, Zsu, П s / v, П s / u, при которых прогрессии и входящие в них подпрогрессии содержат пары простых чисел V 0 i + U 0 i, удовлетворяющие условию:

V 0 i + U 0 i = N :

Вариант 1: Zpv =Zpu, Zsv =Zsu, Zpv >Zsu, Zpu >Zsv, Пs/v =Пs/u = 0 (подпрогрессия V02 – U02 для числа N =120);

Вариант 2: Zpv =Zpu, Zsv =Zsu, Zpv <Zsu, Zpu <Zsv, Пs/v = Пs/u = 0 ( подпрогрессияV08 – U08 для числа N =120);

Вариант 3: Zpv >Zpu, Zsv <Zsu, Zpv >Zsu, Zpu >Zsv, Пs/v >Пs/u( подпрогрессии V01 – U01 , V04 – U04 , V06 – U06 для числа N =120 и подпрогрессии V01 – U01 , V06 – U06 для числа 154);

Вариант 4: Zpv >Zpu, Zsv <Zsu, Zpv =Zsu, Zpu =Zsv, Пs/v >Пs/u (прогрессия V0 – U0 для числа N =120);

Вариант 5: Zpv >Zpu, Zsv >Zsu, Zpv >Zsu, Zpu >Zsv, Пs/v >Пs/u (подпрогрессия V02 – U02 для числа N =154);

Вариант 6: Zpv <Zpu, Zsv >Zsu, Zpv =Zsu, Zpu =Zsv, Пs/v <Пs/u (подпрогрессия V07 – U07 для числа N =120);

Вариант 7: Zpv <Zpu, Zsv >Zsu, Zpv >Zsu, Zpu >Zsv, Пs/v <Пs/u (подпрогрессия V04 – U04 для числа N =154);

Вариант 8: Zpv >Zpu, Zsv <Zsu, Zpv <Zsu, Zpu <Zsv, Пs/v >Пs/u (прогрессия V0 – U0 для числа N =154).

В рассмотренных вариантах преобладает вариант 3 (в 5 из 12 подпрогрессий). Вероятно, что возможны и другие варианты сочетаний величин Zpv, Zsv, Zpu, Zsu, П s / v, П s / u.

Значения количества пар П p простых чисел для некоторых четных чисел N (количества П p приведены в скобках рядом с числами N ):

80(5), 82(5), 84(8), 86(5), 88(4), 90(10), 120(12), 138(5), 150(13), 154(8), 180(15), 184(8), 222(11), 226(7), 228(13), 336(19), 644(17), 1000(28), 1312(22).

Из анализа приведенных данных следует, что строгой зависимости между значениями четных чисел N и количеством пар П p простых чисел для них не существует, но прослеживается закономерность, в соответствии с которой с существенным увеличением значений числа N увеличивается количество пар П p для них.

Из изложенного следует, что любое четное число N >4 равно сумме двух и более пар П p простых чисел при условии, что эти числа могут быть равны. Примеры:

6=1+5=3+3; 8=1+7=3+5; 10=3+7=5+5; 12=1+11=5+7; 14=1+13=3+11=7+7.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛАБОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА

Слабая гипотеза Гольдбаха формулируется следующим образом: любое нечетное число М, большее семи, представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел:

М = A + B + C,

Где: A, Bи C – простые числа.

При этом:

A ≠ B ≠ С

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Обозначим:

A + B =N.

Очевидно, что N – четное число.

Тогда:

M = N + C.

Отсюда:

N = M – C.

Вычтя из любого нечетного числа простое число, получим четное число. Выше при доказательстве сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера доказано, что любое четное число, большее двух, равно сумме одной пары или нескольких пар простых чисел. Следовательно, любое нечетное число М, большее семи, равно:

M = N + C = A + B + С,

Где: A, B и C – простые числа.

При этом:

A ≠ B ≠ С

Автор: Козий Николай Михайлович, инженер-механик

E-mail: [email protected] ru

[email protected] com


Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера