Дослідження методів чисельного інтегрування

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет Інститут автоматики, електроніки та комп’ютерних систем управління Факультет АКСУ Кафедра АІВТ Курсова робота з дисципліни “Обчислювальні методи та застосування ЕОМ”

Дослідження методів чисельного інтегрування

2006

Анотація

В даній курсовій роботі розроблена програма для обчислення визначеного інтегралу методом Чебишева третього четвертого та п’ятого порядків.

Програма дозволяє отримати розв’язання інтегралу зазначеним методом, оцінити похибки та порівнювати їх з точним обчисленнями отриманими в математичному пакеті Mathcad 2001 Professional.

1. Теоретичні відомості

У курсовій роботі проведено дослідження методів чисельного інтегрування. Адже, у задачах, пов’язаних з аналізом, ідентифікацією, оцінкою якості, моделюванням різноманітних пристроїв автоматики, керування, інформаційно-вимірювальної техніки, радіоелектроніки, виникає необхідність обчислення визначених інтегралів.

В основу чисельного інтегрування покладено наближене обчислення площини під кривою, яка описується підінтегральною функцією інтеграла:

Загальний підхід до розв’язування цієї задачі такий: визначений інтеграл I являє собою площину, обмежену кривою f(х), віссю Х та прямими Х = a, Х =b, відрізок від a до b розбивають на множину менших відрізків, знаходять наближено площу кожної площини Si, яку отримують за таким розбиванням, значення інтеграла І знаходять як суму площ площин Sі, тобто I = Si. При цьому використовують два способи розбивання початкового відрізка на менші

1.Розбивання відрізка проводиться раніше, до того ж завжди відрізок вибирають рівним (метод прямокутників, трапецій, Сімпсона).

2.Місцезнаходження та довжина відрізків визначаються аналізом, до того ж спочатку ставиться за мету досягти найбільшої точності з заданим числом відрізків, а потім відповідно з цим визначають їхні межі (методи Гаусса, Ньютона – Котеса, Чебишева) [1].

1.1 Метод прямокутників

Найпростішим методом наближеного обчислення інтеграла є метод прямокутників, геометрична інтерпретація якого зводиться до знаходження визначеного інтеграла як суми площ N прямокутників (з висотою f(x) та основою h=Xi =xi+1 – xi ), отриманих розділень відрізка[a, b] на N рівних частин, до того ж якщо розділити на прямокутники зліва на право, то отримаємо формулу лівих прямокутників:

In =F(x)dx”Si =h[f(x0 )+f(x1 )+…+f(xn-1 )]=F(xi );(1.1)

Якщо ж розділити на N прямокутників справа на ліво, то отримаємо формулу правих прямокутників:

Iпр =F(x)dx”h[f(xn )+…+f(x1 )]=F(xi )(1.2)

1.2 Метод трапецій

Суть методу трапеції, полягає в тому, що інтеграл обчислюється по-іншому, відрізок інтегрування поділяється на N рівних відрізків, всередині яких підінтегральна крива f(x) замінюється кусково – лінійною функцією j(x), отриманою стягуванням ординат N відрізків хордами.

Обчислення визначеного інтеграла зводиться до знаходження сум площ Si прямокутних трапецій N.

Площа кожної такої трапеції визначається як:

Si =h(f(xi )+f(xi+1 )).(1.3)

Отже, формула трапеції:

I=Si =h(F(x0 )+f(x1 )+f(x2 )+…+f(xn-1 )+F(xN )= =[(f(x0 )+f(xn ))+F(xi )].(1.4)

Графічна модель

Похибка обчислення інтеграла за формулою трапецій оцінюється як

(1.5)

Де М2 -максимальне значення другої похідної. f(x) при ,h – крок обчислень.

1.3 Метод Сімпсона (метод парабол або метод криволінійних трапецій)

Цей метод також використано у курсовій роботі, близький до методу трапецій у тій частині, що інтегрування проводиться шляхом поділу відрізка інтегрування [а, b] на множину відрізків (N пар відрізків). Однак, з метою збільшення точності наближеного інтегрування на кожному відрізку [Xi, Xi+2] підінтегральної функції f(x) замінюють квадратичною параболою j(x), обчислення визначеного інтеграла зводиться до обчислення суми N криволінійних трапецій Si: I= F(x)dx”Si [1].

Графічна модель.

Площа кожної такої трапеції визначається за формулою Сімпсона:

Si= [f(xi)+4f(Xi+1)+f(xi+2)], (1.6), тобто

(y0 +4y1 +y2 ),

(y2 +4y3 +y4 ),

(y4 +4y5 +y6 ), (1.7)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(y2n-2 +4y2n-1 +y2n ),

Тоді чисельне значення визначеного інтеграла на відрізку [a, b] дорівнюватиме сумі інтегралів, тобто

[y0 +y2n +4(y1 +…+y2n-1 )+2(y2 +…+y2n-2 )],

Або

[y0 +y2n +4Y2i-1 +2Y2i ],(1.8)

Де h =(b-a)/2N.

Похибка обчислення інтеграла за формулою Сімпсона оцінюється як

Де М4 -максимальне значення четвертої похідної. f(x) при , h – крок обчислень.

1.4 Метод Ньютона-Котеса

Цей метод засновано на апроксимації однієї із сторін криволінійної трапеції, яка отримується поділом відрізка [a, b] на N рівних частин, многочленами вищих порядків, також як у методі трапецій використовується лінійна апроксимація (заміна однієї із сторін трапеції прямою лінією), а в методі Сімпсона – апроксимація параболою.

Основна формула методу:

Yi Hi, (1.9)

Де Hi – коефіцієнти Ньютона – Котеса. Ці коефіцієнти не залежать від вигляду f(x), а є функцією тільки N (кількість вузлів інтерполяцїї). Таким чином, коефіцієнти Ньютона – Котеса можна обчислити раніше для різного числа вузлів інтерполяції.

Легко можна показати, що методи трапецій та Сімпсона є частинними випадками методу Ньютона – Котеса.

1.5 Метод Чебишева

Метод Чебишева використано в курсовій грунтується на обчисленні інтеграла за значеннями функції yi =f(xi),(i=1,2,…,N) у зафіксованих вузлах інтерполяції x1,x2,…,xN (де h=const). Коефіцієнти Ньютона – Котеса Нi (i=1,N) не залежать від значень функції у вузлах інтерполяції. П. Л.Чебишев запропонував для обчислення визначених інтегралів використати формулу:

Ci f(xi ), (1.10)

В якій квадратурні коефіцієнти сi (i = 1,2, …,N) зафіксовані, а абсциси xi (i=1,2,…,N)підлягаютьвизначенню.

Таблиця 1.1.

Коефіцієнти Ньютона – Котеса

N = 1Но = H1 = ½
N = 2Но = Н2 = 1/6, Н1 = 2/3
N = 3Н0 = Н3 = 1/8, Н1 = H2 = 3/8
N = 4Но = Н4 = 7/90, Н1 = Нз = 16/45, Н2 = 2/15
N = 5

Н0 = Н5 =19/288, Н1 = Н4 = 25/96, Н2 = Нз =

= 25/144

N = 6Но = Н6 = 41/840, Н1 = Н5 = 9/35, Н2 = Н4 = =9/280, Нз = 34/105
N = 7Но = Н7 = 75І/17280, Н1 = Н6 = 3577/1728О, Н2 = Н5 =1323/1728О, Нз = Н4 = 2989/17280

Для простоти обчислень необхідно вибрати С1=…=Сn. Розглядаємо спочатку частинний випадок, коли межі інтегрування дорівнюють -1 та 1. Тоді формула Чебишева набере вигляду:

2Cn[f(x1 )+f(x2 )+…+f(xn )],(1.11)

Де квадратурні коефіцієнти Сn та абсциси xi підлягають визначенню.

Коефіцієнти та вузли інтерполяції xi визначимо із умови, що ця рівність є точною для випадку, коли f(х) многочлен вигляду:

F(x)=a0 +a1 x+a2 x2 +…+an xn.(1.12)

Підставимо многочлен у ліву частину попередньої формули та про – інтегруємо:

(a0 +a1 x+a2 x2 +…+an xn )=2(a0 +A2 +A3 +…).(1.13)

У праву частину рівності (1. 11) підставимо значення многочлена (1.І2) у вузлах x1,x2,…,xn:

F(x1 )=a0 +a1 x1 +a2 x12 +a3 x13 +…+an x1n,

F(x2 )=a0 +a1 x2 +a2 x22 +a3 x23 +…+an x2n,

F(x3 )=a0 +a1 x3 +a2 x32 +a3 x33 +…+an x3n,(1.14)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F(xn )=a0 +a1 xn +a2 xn2 +a3 xn3 +…+an xnn,

Тоді рівність (1.ІЗ) набере вигляду:

2(a0 +A2 +A4 +…)=2cn [na0 +a1 (x1 +x2 +…+xn )+a2 (x12 +x22 +…+xn2 )+

+a3 (x13 +x23 +…+xn3 )+…+an (x1n +x2n +…+xnn )].(1.15)

Отримана рівність повинна виконуватися за будь-яких значень a0 ,a1 ,…,an ; таким чином, порівнюючи коефіцієнти аi в правій та лівій частинах (1.І5) знаходимо, що nсn = 1, звідки

Cn =.(1.16)

І, крім цього,

X1 +x2 +x3 +…+xn =0,

X12 +x22 +x32 +…+xn2 =,

X13 +x23 +x33 +…+xn3 =0,(1.17)

X14 +x24 +x34 +…+xn4 =,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X1n +x2n +x3n +…+xnn =[1-(-1)n+1 ],

Підставляючи знайдене для Сn виразу в співвідношені 1.13 отримаємо формулу Чебишева:

[f(x1 )+f(x2 )+…+f(xn )],(1.18)

Де точки x1,…,хn визначаються із системи рівнянь (1.17).

Значення x1,…,хn для різних n обчислюються раніше та зводять в табл. 1.2.

Коли межі даного інтеграла відрізняються від -1 та 1, формула Чебишева матиме вигляд:

[f(z1 )+f(z2 )+…+f(zn )],(1.19)

Де

Таблиця 1.2.

Число

Ординат

Значення абсцис

N = 2

N = 3

N = 4

N = 5

N = 6

N = 7

-x1 = x2 = 0.577350

-x1 = x3 = 0.707107; x2 = 0

-x1 = x4 = 0.794654; – x2 = x3 = 0.187592

-x1 = x5 = 0.832498; – x2 = x4 = 0.374541; х3 = 0

-x1 = x6 = 0.866247; – x2 = x5 = 0.4225І9; – x3 = x4 = 0.266635

-x1 = x7 = 0.883862; – x2 = x6 = 0.529657; – x3= = x5 = 0.323912; x4 = 0

Zi =+Xi, (i=1,2,…,n),(1.20)

А xi мають вкaзані в таблиці значення.

Похибка обчислень за методом Чебишева знаходиться за формулою:

2. Розробка та опис логічної частини програми

Програма складається з двох блоків. Це – інтерфейний модуль, що забезпечує користувача змогою спілкуватися з комп’ютером за допомогою клавіатури, та сама програма, що здійснює всі обчислювальні операції.

При запуску спершу ініціюється графіка та створюється меню і ініціюються змінні. Потім іде блок зчитування з клавіатури. Він аналізує введену користувачем інформацію і згідно з нею виконує певні дії. При натисканні на клавіші управління курсором відбувається переміщення по меню. При натисканні на клавішу Enter відбувається аналіз кнопки, яка була обрана на даний момент, і згідно з цим виконання певних дій. Це можуть бути такі операції:

1) обчислення інтегралу методом Чебишева 3-го порядку: виконується алгоритм, який детально пояснено в додатку Б.

2) обчислення інтегралу методом Чебишева 4-го порядку.

3) обчислення інтегралу методом Чебишева 5-го порядку

4) Задається крок обчислення h=0.1;

5) Задається крок обчислення h=0.2;

6) Задається крок обчислення h=0.5;

7) Про автора – довідка про автора програми;

8) Вихід з програми – здійснюється вихід з програмного середовища ТР;

Робота даної програми починається з підключення стандартного модуля введення-виведення crt та модуля graph для ініціалізації графіки, оскільки програма виконана в графічному режимі. Далі задаються константи інтегрування.

Тип TMenuItems – масив пунктів меню. Далі задаємо підінтегральну функцію. Процедура InitGraphMode – процедура для ініціалізації графіки, VGA – тип графічного драйверу, VGAHi – тип графічного режиму.

– DrawCursor(x, y:integer) – процедура для малювання курсору;

– HideCursor(x, y:integer) – процедура, що автоматично забирає курсор з екрану;

– Function WaitWhileKeypressed(var FKey:boolean):char – функція, що очікує нажатої клавіші, цикл повторюється до тих пір, доки не буде зчитано код нажатої клавіші;

– Procedure menu(x, y:integer;…var poin:integer) – дана процедура власне виводить на екран графічне меню та надає змогу користувачеві здійснити вибір пункту меню за допомогою графічного курсору.

3. Функціональне призначення програми

Програма призначена для обчислення визначеного інтегралу I=, методом Чебишева третього, четвертого та п’ятого порядків, також дає змогу зменшити похибку обчислень за рахунок зменшення кроку інтегрування.

Програма має гарний інтерфейс користувача з меню, що керується з клавіатури. Результати обчислень виводяться на екран монітора.

Дана програма пристосована для вирішення тільки одного інтегралу, а тому є вузько спеціалізованою, проте можлива зміна підінтегральної функції шляхом корегування програмного коду.

Комп’ютер може швидко опрацьовувати дані і виводити результати на екран.

4. Вхідні та вихідні дані

Вхідні дані:

1. Інтеграл: I= ;

2. Крок обчислень 0.1,0.2,0.5;

3. Порядок інтегрування: третього, четвертого та п’ятого порядку.

Вихідні дані:

1. Значення інтегралу, що знаходить программа.

2. Загальна похибка по заданим методам.

3. Порівняння результатів з точним значенням.

5. Результати розрахунків

Результатами обчислень є знаходження значення визначеного інтеграла I=, , зазначеними методами, з кроком: h=0.1, h=0.2, h=0.5.

При розрахунку інтегралу 3-го порядку програма виведе на екран слідуючі результати:

Інтеграл Чебишева 3-го порядку: 2.649061117170

Загальна похибка: 0.0316342854

Точне розв’язання (Mathcad 2001): 2.68069545714219

Крок: 0.5

Інтеграл Чебишева 3-го порядку: 2,66138784520

Загальна похибка: 0.0193076119

Точне розв’язання (Mathcad 2001): 2.68069545714219

Крок: 0.2

Інтеграл Чебишева 3-го порядку: 2,67298758310

Загальна похибка: 0.00770787

Точне розв’язання (Mathcad 2001): 2.68069545714219

Крок: 0.1

При розрахунку інтегралу 4-го порядку програма виведе на екран слідуючі результати:

Інтеграл Чебишева 4-го порядку: 2.6680680931

Загальна похибка: 0.01262744

Точне розв’язання (Mathcad 2001): 2.68069545714219

Крок: 0.5

Інтеграл Чебишева 4-го порядку: 2,6743859370

Загальна похибка: 0.006309519

Точне розв’язання (Mathcad 2001): 2.68069545714219

Крок: 0.2

Інтеграл Чебишева 4-го порядку: 2,676438956720

Загальна похибка: 0,00385156152

Точне розв’язання (Mathcad 2001): 2.68069545714219

Крок: 0.1

При розрахунку інтегралу 5-го порядку програма виведе на екран слідуючі результати:

Інтеграл Чебишева 5-го порядку: 2,68069554160

Загальна похибка: 0.00000008443

Точне розв’язання (Mathcad 2001): 2.68069545714219

Крок: 0.5

Інтеграл Чебишева 5-го порядку: 2.68069545713707

Загальна похибка: 0.00000000512

Точне розв’язання (Mathcad 2001): 2.68069545714219

Крок: 0.2

Інтеграл Чебишева 5-го порядку: 2.68069545714209

Загальна похибка: 0,00000000010

Точне розв’язання (Mathcad 2001): 2.68069545714219

Крок: 0.1

Висновки

В даній курсовій роботі було проведене дослідження чисельних методів вирішення визначеного інтегралу виду I=, по методу Чебишева.

Алгоритм методу є досить простим. Для його реалізації потрібно мати функцію, межі та крок інтегрування.

В курсовій роботі, для перевірки результатів обчислень, я використовував математичний пакет MatchCad 2001. Похибку для даної функції доцільно було б оцінювати, як абсолютне значення різниці між точним значенням та одержаним в програмі.

Однак, хоча й виникали певні труднощі з виконанням завдання, але це було безперечно цікаво, і багато чому мене навчили.

Література

1. В. Т.Маликов, Р. Н.Кветный. Вычислительные методы и применение ЭВМ. – К.: Вища школа, 1989.- 213 с.

2. В. М. Дубовий, Р. Н.Квєтний Методичні вказівки до лабораторних робіт з програмування та застосування ЕОМ. Навчальне видання. -Вінниця, ВПІ, 1992.

3. В. М. Дубовий, Р. Н.Квєтний. Програмування комп’ютеризованих систем управління та автоматики. – В.: ВДТУ, 1997. – 208с.

4. Р. Н.Кветний Методи комп’ютерних обчислень. Навчальний посібник.- Вінниця: ВДТУ, 2001.-148с.

5. А. І. Марченко, Л. А. Марченко “Программирование в среде Турбо Паскаль 7.0”, Київ “ВЕК+”, 1999 р.

Додаток А

Лістинг

Program Kursova;

Uses crt, graph;

Const

A=0;

B=1;

C=1.5;

D=2;

T3:array[1..3] of real=(-0.707107,0,0.707107);

T4:array[1..4] of real=(-0.794654,-0.187592,0.187592,0.794654);

T5:array[1..5] of real=(-0.832498,-0.374541,0,0.374541,0.832498);

Type TMenuItems=array[1..10] of string;

TDelta=array[1..300] of real;

Var Item:TMenuItems;

ResM:TDelta;

I, n:integer;

H:real;

Ki:integer;

M, x,Ic, I2n, nc, sc1,sc2,I1n, x1,x2:real;

S, hs, s1:string;

K:Integer;

Sum, int, si:real;

Delta, AllDelta, sum1:real;

Function Fact(n:integer):integer;

Begin

If n=0 then Fact:=1

Else Fact:=n*Fact(n-1)

End;

{Ф-я}

Function f(x1:real):real;

Begin

F:=exp(-d*x1*x1+c)

End;

Procedure InitGraphMode;

Var gd, gm:integer;

Begin

Gd:=VGA;

Gm:=VGAHi;

Initgraph(gd, gm,”);

End;

Procedure DrawCursor(x, y:integer);

Var i, j:integer;

Begin

Setcolor(white);

Setlinestyle(0,0,1);

MoveTo(x, y+3);LineTo(x+10+5,y);LineTo(x+5,y-10);LineTo(x+10+10+5,y+3);

LineTo(x+5,y+16);LineTo(x+10+5,y+6);LineTo(x, y+3);

Setfillstyle(1,red);

End;

{—————————————————————————}

Procedure HideCursor(x, y:integer);

Begin

Setcolor(lightblue); {insert your background color instead of black}

Setlinestyle(0,0,1);

MoveTo(x, y+3);LineTo(x+10+5,y);LineTo(x+5,y-10);LineTo(x+10+10+5,y+3);

LineTo(x+5,y+16);LineTo(x+10+5,y+6);LineTo(x, y+3);

Setfillstyle(1,red);

End;

Function WaitWhileKeypressed(var FKey:boolean):char;

Var result:char;

Begin

FKey:=false;

While keypressed do result:=readkey; {It clears keyboard buffer}

Repeat until keypressed;

Result:=readkey;

If result=#0 then

Begin

Result:=readkey;

FKey:=true;

End;

WaitWhileKeypressed:=result;

End;

Procedure Menu(x, y:integer;Items:TMenuItems;n:integer;var point:integer);

Var i:integer;

Ch:char;

FKey:boolean;

Begin

Setbkcolor(lightblue);

Setcolor(yellow);

Rectangle(10,10,625,465);

Setcolor(lightgreen);

Rectangle(14,14,621,461);

Setcolor(lightred);

For i:=1 to n do outtextxy(x+50,y+(i-1)*30,Items[i]);

Repeat

For i:=1 to n do

If i<>point then HideCursor(x, y+(i-1)*30)

Else DrawCursor(x, y+(i-1)*30);

Ch:=WaitWhileKeypressed(FKey);

Case ch of

#72: if point>1 then dec(point);

#80: if point<n then inc(point);

#27: point:=-1;

End;

Until (ch=#13) or (ch=#27);

For i:=1 to n do HideCursor(x, y+(i-1)*30);

End;

Procedure PrintArray(n:integer; m:TDelta);

Var s0,s1:string;

Begin

Setfillstyle(1,lightblue);

Bar(360,40,620,450);

For i:=1 to n do

Begin

Str(i, s0);

Str(m[i]:5:10,s1);

If (i mod 25 =0) then

Begin

Readln;

Bar(360,40,620,450);

End;

Outtextxy(430,(i mod 25)*15+40,s0+’ ‘+s1);

End;

End;

{———————————————————————–}

Begin

InitGraphMode;

Setcolor(blue);

H:=0.1;

Repeat

Cleardevice;

Item[1]:=’Метод Чебишева 3-го порядку’;

Item[2]:=’Метод Чебишева 4-го порядку’;

Item[3]:=’Метод Чебишева 5-го порядку’;

Item[4]:=’Крок обчислень=0.1′;

Item[5]:=’Крок обчислень=0.2′;

Item[6]:=’Крок обчислень=0.5′;

Item[7]:=’Про автора’;

Item[8]:=’Вихид’;

I:=1;

Setcolor(white);

Menu(50,30,Item,7,i);

Case i of

1:begin

Setbkcolor(lightblue);x:=a; sum:=0; i:=0;

While x<=b do begin

Inc(i);

X:=x+h;

Si:=0;

For k:=1 to 3 do si:=si+f(x-h/2+h/2*t3[k]);

Si:=h/3*si;

Sum:=sum+si;

Sum1:=(x-((a+b)/2))*(x-((a+b)/2))*(x-((a+b)/2))*(x-((a+b)/2))*

48*exp(-2*x*x+1.5)-384*x*x*exp(-2*x*x+1.5)+256*x*x*x*x*exp(-2*x*x+1.5);

N:=i+10;

End;

Delta:=((b-a)/(n*fact(3)))*sum1;

Delta:=Abs(delta);

AllDelta:=abs(delta);

Str(Delta:12:10,s1);

Resm[i]:=Delta;

Setcolor(red);

Str(Sum:12:18,s);

Str(AllDelta:12:20,s1);

Str(h:2:3,hs);

Setcolor(blue);

Outtextxy(100,240,’Интеграл: ‘+s);

Outtextxy(45,260,’Точне значення (Mathcad): 2.68069545714219′);

Outtextxy(100,280,’Похибка: ‘+s1);

Outtextxy(100,300,’Крок: ‘+hs);

Readln;

End;

2: begin

Setbkcolor(lightblue);x:=a; sum:=0; i:=0;

While x<=b do begin

Inc(i);

X:=x+h;

Si:=0;

For k:=1 to 4 do si:=si+f(x-h/2+h/2*t4[k]);

Si:=h/4*si;

Sum:=sum+si;

Sum1:=(x-((a+b)/2))*(x-((a+b)/2))*(x-((a+b)/2))*(x-((a+b)/2))*(x-((a+b)/2))*

(-960*x*exp(-2*x*x+1.5)+2560*x*x*x*exp(-2*x*x+1.5)-1024*x*x*x*x*x*exp(-2*x*x+1.5));

N:=i+10;

End;

Delta:=((b-a)/(n*fact(3)))*sum1;

Delta:=Abs(delta);

AllDelta:=abs(delta);

Str(Delta:12:10,s1);

Resm[i]:=Delta;

Setcolor(red);

Str(Sum:12:18,s);

Str(AllDelta:12:20,s1);

Str(h:2:3,hs);

Setcolor(blue);

Outtextxy(100,240,’Интеграл: ‘+s);

Outtextxy(45,260,’Точне значення (Mathcad): 2.68069545714219′);

Outtextxy(100,280,’Похибка: ‘+s1);

Outtextxy(100,300,’Крок: ‘+hs);

Readln;

End;

3:begin

Setbkcolor(lightblue);x:=a; sum:=0; i:=0;

While x<=b do begin

Inc(i);

X:=x+h;

Si:=0;

For k:=1 to 5 do si:=si+f(x-h/2+h/2*t5[k]);

Si:=h/5*si;

Sum:=sum+si;

Sum1:=(x-((a+b)/2))*(x-((a+b)/2))*(x-((a+b)/2))*(x-((a+b)/2))*(x-((a+b)/2))*

(x-((a+b)/2))*(-960*exp(-2*x*x+1.5)+11520*x*x*exp(-2*x*x+1.5)

-15360*x*x*x*x*exp(-2*x*x+1.5)+4096*x*x*x*x*x*x*exp(-2*x*x+1.5));

N:=i+10;

End;

Delta:=((b-a)/(n*fact(3)))*sum1;

Delta:=Abs(delta);

AllDelta:=abs(delta);

Str(Delta:12:10,s1);

Resm[i]:=Delta;

Setcolor(red);

Str(Sum:12:18,s);

Str(AllDelta:12:20,s1);

Str(h:2:3,hs);

Setcolor(blue);

Outtextxy(100,240,’Интеграл: ‘+s);

Outtextxy(45,260,’Точне значення (Mathcad): 2.68069545714219′);

Outtextxy(100,280,’Похибка: ‘+s1);

Outtextxy(100,300,’Крок: ‘+hs);

Readln;

End;

4: begin

Sound(500);

Setbkcolor(lightred);

H:=0.01;

Outtextxy(150,200,’Крок h=0.01 ‘);

Outtextxy(170,250,’Натиснить будь-яку клавишу…’);

Delay(10000);

Nosound;

Repeat until keypressed;

End;

5: begin

Setbkcolor(lightred);

H:=0.02;

Outtextxy(150,200,’Крок h=0.02 ‘);

Outtextxy(170,250,’Натиснить будь-яку клавишу…’);

Repeat until keypressed;

End;

6: begin

Setbkcolor(lightred);

H:=0.05;

Outtextxy(150,200,’Крок h=0.05 ‘);

Outtextxy(170,250,’Натиснить будь-яку клавишу…’);

Repeat until keypressed;

End;

7: begin

Setbkcolor(lightred);

Outtextxy(160,200,’Програму виконав ст. гр. 3АВ-02′);

Outtextxy(210,220,’Нетяга О. В.’);

Repeat until keypressed;

End;

8: exit;

End;

Until (i=7) or (i=-1);

CloseGraph;

End.

Додаток Б


Дослідження методів чисельного інтегрування