Двойственность линейного программирования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ МЕНЕДЖМЕНТА

Реферат

По дисциплине “Математические методы принятия управленческих решений”

На тему: “Двойственность линейного программирования”

Выполнила студентка

Очной формы обучения

Специальности “Менеджмент организации”

Третьего курса 32 группы

Шумакова Ю. А.

Проверила

Кочетова Л. А.

Оренбург

2009

Содержание

Введение………………………………………………………………………3

1. Виды двойственных задач и составление их математических

Моделей……………………………………………………………………….4

2. Основные теоремы двойственности……………………………………..6

3. Решение двойственных задач…………………………………………….7

4.Экономический анализ задач с использованием теории двойственности…………………………………………………………………..12

5. Стратегическое планирование выпуска изделий с учетом имеющихся ресурсов…………………………………………………………………………..14

Заключение…………………………………………………………………..18

Библиографический список…………………………………………………19

Введение

Двойственность в линейном программировании – принцип, заключающийся в том, что для каждой задачи линейного программирования можно сформулировать двойственную задачу.

Каждой задаче линейного программирования можно определенным образом сопоставить некоторую другую задачу линейного программирования, называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой. Связь исходной и двойственной задач заключается главным образом в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой.

Теория математического линейного программирования позволяет не только получать оптимальные планы с помощью эффективных вычислительных процедур, но и делать ряд экономически содержательных выводов, основанных на свойствах задачи, которая является двойственной по отношению к исходной ЗЛП.

Произвольную задачу линейного программирования можно определенным образом сопоставить с другой задачей линейного программирования, называемой двойственной. Первоначальная задача является исходной. Эти две задачи тесно связаны между собой и образуют единую двойственную пару.

Различают симметричные, несимметричные и смешанные двойственные задачи.

1. Виды двойственных задач и составление их математических моделей

Симметричные двойственные задачи

Дана исходная задача

L (x) = c1x1 + c2x2 +…+ cnxn → max

При ограничениях:

A11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1 │ y1 ,

A21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 │ y2 ,

………………………………………

Am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm │ ym,

Xj≥0 , j = 1,n, i = 1,m.

Задача дана в неканоническом виде. Составим математическую модель двойственной задачи, для этого:

– каждому неравенству системы ограничений исходной задачи приводим в соответствие переменную yi ;

– составляем целевую функцию, коэффициентами которой являются свободные члены системы ограничений исходной задачи;

– составляем систему ограничений. Коэффициенты системы ограничений образуют транспонированную матрицу коэффициентов системы ограничений исходной задачи. Знаки неравенств меняются на противоположные;

– свободными членами системы ограничений являются коэффициенты целевой функции исходной задачи. Все переменные двойственной задачи неотрицательны.

Математическая модель двойственной задачи имеет вид

S(y) = b1y1 + b2y2 +…+ bmym → min

При ограничениях:

A11y1 + a12y2 + … + am1ym ≤ c1 ,

A12y1 + a21y2 + … + am2ym ≤ c2 ,

………………………………………

A1ny1 + a2ny2 + … + amnym ≤ cn,

Yj ≥0 , i = 1,m, j = 1,n.

Несимметричные двойственные задачи

Дана исходная задача

L (x) = c1x1 + c2x2 +…+ cnxn → max

При ограничениях:

A11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 │ y1 ,

A21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 │ y2 ,

………………………………………

Am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm │ ym,

Xj ≥0 , j = 1,n.

Задача дана в каноническом виде. Составим математическую модель двойственной задачи.

Для ее составления пользуемся тем же правилом, что и для составления симметричной задачи, с учетом следующих особенностей:

– ограничениями двойственной задачи будут неравенства. Если в целевой функции двойственной задачи требуется найти минимум, то знак неравенства ≥, если максимум, то ≤ ;

– переменные yi – произвольные по знаку.

Математическая модель двойственной задачи имеет вид

S(y) = b1y1 + b2y2 +…+ bmym → min

При ограничениях:

A11y1 + a21y2 + … + am1ym ≥ c1 ,

A12y1 + a22y2 + … + am2ym ≥ c2 ,

………………………………………

A1ny1 + a2ny2 + … + amnxn ≥ cn,

Yj ≥0 , i = 1,m, j = 1,n.

Yi – произвольные по знаку, i = 1,m.

Смешанные двойственные задачи

Математическая модель исходной задачи имеет условия симметричных и несимметричных задач. При составлении двойственной задачи необходимо выполнять правила симметричных и несимметричных задач.

2. Основные теоремы двойственности

ТЕОРЕМА 1. Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то другая также имеет оптимальное решение, причем для любых оптимальных решений X и Y выполняется равенство

L(x)max = S(y)min.

Если одна из двойственных задач неразрешима ввиду того, что

L(x)max→ ∞ (или S(y)min→ – ∞), то другая задача не имеет допустимых решений.

ТЕОРЕМА 2. Для оптимальности допустимых решений X и Y пары двойственных задач необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли системе уравнений

Xопт j( ∑aijyопт i – cj ) = 0,

Yопт i ( ∑aijxоптj – bi ) = 0.

Теоремы позволяют определить оптимальное решение одной из пары задач по решению другой.

3. Решение двойственных задач

Решение симметричных задач

Рассмотрим решение задач с использованием теорем двойственности.

Исходная задача Двойственная задача

L (x) = x1 – x2 → max S(y) = 2y1 + 2y2 + 5y3 → min

При ограничениях: при ограничениях:

-2×1 + x2 ≤ 2│ y1 -2y1 + y2 + y3 ≥ 1 │x1

X1 – 2×2 ≤ 2 │ y2 y1 – 2y2 + y3 ≥ -1 │x2

X1 + x2 ≤ 5 │ y3 yi ≥0, I = 1,3.

X1 ≥0 , x2 ≥0.

Решим исходную задачу графическим методом, получим Хопт = (4,1), при этом L(x)max = 3.

На основании 1-й теоремы двойственности

L(x)max = S(y)min = 3.

Так как x1, x2 > 0, то по 2-й теореме двойственности систему ограничений можно записать в виде равенств:

-2y1 + y2 + y3 = 1,

Y1 – 2y2 + y3 = -1.

Подставим Хопт в систему ограничений исходной задачи:

-2*4 + 1 ≤ 2, 9 < 2 ═> у1 = 0,

4 – 2*1 ≤ 2, 2 = 2 ═> у2 > 0,

4 + 1 ≤ 5, 5 = 5 ═> у3 > 0.

Тогда система ограничений двойственной задачи примет вид

Y2 + y3 = 1,

– 2y2 + y3 = -1.

Откуда Yопт = (0, 2/3, 1/3), при этом S(y)min = 3.

Пусть дано решение двойственной задачи Yопт = (0, 2/3, 1/3), S(y)min= 3, найдем решение исходной.

По 1-й теореме двойственности L(x)max = S(y)min = 3. Так как y2 , y3 > 0, то по 2-й теореме двойственности второе и третье неравенства исходной задачи обращаются в равенства:

X1 – 2×2 = 2 ,

X1 + x2 = 5.

Откуда Хопт = (4,1), при этом L(x)max = 3.

Рассмотрим решение задач методом, основанным на взаимно однозначном соответствии между переменными: основным переменным исходной задачи соответствуют балансовые переменные двойственной, и наоборот. Для этого решим двойственную задачу симплексным методом:

S(y) = 2y1 + 2y2 + 5y3 → mах

При ограничениях:

-2y1 + y2 + y3 – у4 = 1,

Y1 – 2y2 + y3 – у5 = 1,

BiБПУ1У2У3У4У5Cj
-211-101
У512-1011
5У3-211-101
0У5-330-112
∆j-1230-505
5У3-101-2/3-1/31/3
2У2-110-1/31/32/3
∆j900-4-13

Yj ≥ 0, i = 1,5.

Из таблицы следует, что Yопт = (0, 2/3, 1/3), S(y)min = 3.

На основании 1-й теоремы двойственности получаем

L(x)max = S(y)min = 3.

Решение другой задачи найдем по соответствию между переменными:

Основные

Переменные

Балансовые

Переменные

Исходная задачаХ1Х2Х3Х4Х5
ДвойственнаяУ4У5У1У2У3
Балансовые переменныеОсновные переменные

Значение хj определяем по последней симплексной таблице в строке ∆iв соответствующем столбце, причем значения хj берем по модулю:

Х1 → У4, Х1 = │∆4│= │-4│=4,

Х2 → У5, Х2 = │∆5│= │-1│=1.

Таким образом, решение исходной задачи:

Хопт = (4,1), при этом L(x)max = 3.

Если исходная задача решена симплексным методом, то решение двойственной задачи может быть найдено по формуле

Уопт = С*А,

Где С – матрица-строка коэффициентов при базисных переменных целевой функции в оптимальном решении исходной задачи; А – обратная матрица для матрицы А, являющейся матрицей коэффициентов базисных переменных системы ограничений исходной задачи в оптимальности решении.

Решим симплексным методом исходную задачу вида

L (x) = x1 – x2 → max

При ограничениях:

-2×1 + x2 + x3 = 2,

X1 – 2×2 + x4 =2,

X1 + x2 + x5 = 5,

X1 ≥0 , j = 1,5.

Из таблицы (см. ниже) следует, что Хопт = (4,1), L(x)max = 3. матрицы записываются в виде

С = (1 -1 0)1×3 , -2 1 1

А = 1 -2 0 ,

1 1 0 3×3

Тогда

0 1/3 2/3

А = 0 -1/3 1/3 ,

1 1 1

0 1/3 2/3

Уопт = С*А = (1 -1 0) × 0 -1/3 1/3 = (0 2/3 1/3).

1 1 1

CiБП1-1000L (x)
Х1Х2Х3Х4Х5Bi
0Х3-211002
0Х41-20102
0Х5110015
∆j-110000
0Х30-31206
1Х11-20102
0Х5030-113
∆j0-10102
0Х3001119
1Х11001/32/34
-1Х2010-1/31/31
∆j0002/31/33

Таким образом, решение двойственной задачи следующее:

Yопт = (0, 2/3, 1/3), при этом S(y)min= 3.

Решение несимметричных задач

Рассмотрим решение задач с использованием теорем двойственности.

Исходная задача Двойственная задача

L (x) = 3×1 + x2 + 3×3 + x4 → min S(y) = 9y1 + 6y2 → mах

X1 – 2×2 + 3×3 – x4 = 9│ y1 2y1 + y2 ≤ 3 │x1

X1 + x2 – 6×3 – x4 = 6 │ y2 -2y1 + y2 ≤ 1 │x2

Xj ≥0 , j = 1,4. 3y1 – 6y2 ≤ 3 │x3

-2y1 – y2 ≤ 1 │x4

Y1, y2 – произвольные по знаку.

Решив двойственную задачу графическим методом, получим

Yопт = (1/2, 2), при этом S(y)max = 33/2.

По 1-й теореме двойственности L(x)min = S(y)mах = 33/2.

Подставим Yопт в систему ограничений двойственной задачи:

2*1/2 +2 ≤ 3, 3 = 3,

-2 *1/2 + 2 ≤ 1, 1 = 1,

3*1/2 – 6*2 ≤ 3, -21/2 < 3 → х3 = 0,

-2*1/2 – 2 ≤ 1,-3 < 1 → х4 = 0.

Так как х3 = х4 = 0 , то система ограничений исходной задачи примет вид

2×1 – 2×2 = 9,

X1 +x2 =6.

Решая данную систему, получим

Хопт = (21/4, 3/4, 0,0), при этом L(x)min = 33/2.

Рассмотрим решение задач с использованием обратной матрицы.

Пусть решение исходной задачи

Xопт = (21/4,3/4,0,0), при этом L(x)min = 33/2.

Решение двойственной задачи найдем по формуле

Уопт = С*А,

Где

С = (3,1), А = 2 -2 , А = 1/4 1/2 ,

1 1 -1/4 1/2

Yопт = (3 1) * 1/4 1/2 = (1/2 2).

-1/4 1/2

Таким образом, Yопт = (1/2, 2), при этом S(y)mах = 33/2.

Решение смешанных двойственных задач

Смешанные двойственные задачи можно решать с использованием теорем двойственности.

Исходная задача Двойственная задача

L (x) = x1 – 6×2 – x3 → mах S(y) = 3y1 + 4y2 → min

X1 + 3×2 + 3×3 = 3│ y1 y1 + 2y2 ≥ 1 │x1

2×1 + 3×3 ≤4 │ y2 3y1 ≥ -6 │x2

Xj ≥0 , j = 1,3. 3y1 + 3y2 ≥ -1 │x3

Y1 – произвольная по знаку, y2 ≥0.

Найдем оптимальное решение двойственной задачи:

Хопт = (1,0,2/3), при этом L(x)max = 1/3.

По 1-й теореме двойственности

L(x)max = S(y)min = 1/3.

Так как х1 > 0, х3 > 0, то по 2-й теореме двойственности первое и третье ограничения двойственной задачи выполняются в виде равенств:

Y1 + 2y2 = 1,

3y1 + 3y2 = -1,

Откуда y1 = -5/3, y2 = 4/3, т. е. Yопт = (-5/3, 4/3).

4. Экономический анализ задач с использованием теории двойственности

Рассмотрим задачу оптимального использования ресурсов, запишем ее математическую модель

L(x) = ∑ сjxj→ mах

При ограничениях:

∑ aijxj ≤ bi │y,

Xj ≥0, i = 1,m, j = 1,n.

Двойственная задача имеет вид

S(y) = ∑ biyi→ min

При ограничениях:

∑ aijуj ≥ cj, уi≥ 0, i = 1,m.

ТЕОРЕМА 3. Значения переменных уi в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов системы ограничений исходной задачи на оптимальное значение ее целевой функции, т. е. уi= ðLi/ ðbi/

Примем ðLi ≈ ∆ Li, ðbi≈ ∆bi, тогда ∆ Li≈ уi * ∆bi.

Для задачи оптимального использования сырья это уравнение показывает, что при изменении i – ресурса оптимальный доход является линейной функцией его приращения, причем коэффициентом служит уi – i – я компонента оптимального решения двойственной задачи.

Если уi мало, то значительному увеличению i – го ресурса будет соответствовать небольшое увеличение оптимального дохода и ценность ресурса невелика.

Если уi = 0, то при увеличении i – го ресурса оптимальный доход остается неизменным и ценность этого ресурса равна нулю. В самом деле, сырье, запасы которого превышают потребности в нем, не представляют ценности для производства и его оценку можно принять за нуль.

Если уi велико, то незначительному увеличению i – го ресурса будет соответствовать существенное увеличение оптимального дохода и ценность ресурса высока. Уменьшение ресурса ведет к существенному сокращению выпуска продукции.

Переменную уi считают некоторой характеристикой ценности i – го ресурса. В частности, при увеличении i – го ресурса на единицу оптимальный доход возрастает на уi, что позволяет рассматривать уi как “условную цену”, оценку единицы i – го ресурса, объективно обусловленную оценку.

Так как уi представляет частную производную от оптимального дохода по i – му ресурсу, то уi характеризует скорость изменения оптимального дохода при изменении i – го ресурса.

С помощью уi можно определить степень влияния ограничений на значение целевой функции. Предельные значения (нижняя и верхняя границы) ограничений ресурсов, для которых остаются неизменными, определяются по формулам:

Bi = min (xj / dij ) , bi = max (xj / dij ) ,

Где xj – значение переменной в оптимальном решении; dij – элементы матрицы ( dij ) = А, обратной к матрице базиса оптимального решения, для которой А = ( аij )m×n.

5. Стратегическое планирование выпуска изделий с учетом имеющихся ресурсов

Фирма выпускает три вида изделий, располагая при этом сырьем 4 типов : А, Б, В, Г соответственно в количествах 18, 16, 8 и 6 т. Нормы затрат каждого типа сырья на единицу изделия первого вида составляют соответственно 1, 2, 1, 0, второго вида – 2, 1, 1, 1 и третьего вида 1, 1, 0, 1. Прибыль от реализации единицы изделия первого вида = 3 усл. ед., второго =4 усл. ед., третьего = 2 усл. ед.

Требуется:

1) составить план производства трех видов, максимизирующих прибыль;

2) определить дефицитность сырья;

3) установить размеры максимальной прибыли при изменении сырья А на 6 т, Б – на 3 т, В – на 2 т, Г – на 2 т. Оценить раздельное влияние этих изменений и суммарное их влияние на прибыль;

4) оценить целесообразность введения в план производства фирмы нового вида изделий (четвертого), нормы затрат на единицу которого соответственно равны 1, 2, 2, 0, а прибыль составляет 15 усл. ед.

Решение. 1. Обозначим через Х = ( х1, х2, х3) план производства изделий трех видов, тогда математическая модель задачи примет вид

L (x) = 3×1 + 4×2 + 2×3 → max

При ограничениях:

X1 + 2×2 + x3 ≤ 18,

2×1 + x2 + x3 ≤ 16 ,

X1 + x2 ≤ 8,

X2 + x3 ≤ 6,

Xj ≥0 , j = 1,3.

Решаем задачу симплексным методом, при этом последняя таблица будет иметь вид

СiБПХ1Х2Х3Х4Х5Х6Х7Bi
0Х400010-1-14
2Х300101/2-1½3
3Х11000½0-1/25
4Х20100-1/21½3
∆j00001/223/233

Из таблицы следует

Хопт = (5,3,3,4,0,0,0), при этом L(x)max = 33 усл. ед.

Согласно теоремам двойственности

Уопт = (0,1/2,2,3/2,0,0,0), при этом S(y)min = 33 усл. ед.

2. Наиболее дефицитным является сырье типа В, для которого двойственная оценка у3 = 2. Менее дефицитным является сырье вида Б, для которого у2 = ½. Совсем не дефицитным является сырье А (у1 =0).

Для определения интервала устойчивости оценок найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов при базисных переменных в оптимальном решении системы ограничений. Базисными переменными в оптимальном решении являются х1, х2, х3, х4. Матрица коэффициентов при этих переменных в системе ограничений примет вид

1 2 1 1

А = (аij) = 2 1 1 0 .

1 1 0 0

0 1 1 0

Тогда обратная матрица для матрицы А следующая:

0 1/2 0 -1/2

А = 0 -1/2 1 1/2 .

0 1/2 -1 1/2

1 0 -1 -1

Найдем интервал устойчивости оценок по видам сырья:

∆b1 = min (xоптj/ d1j ) = 3 / (1/2) = 6,

∆b1 = min (xоптj/ d1j ) = 4 / (-1/2) = 8.

Интервал устойчивости оценок по отношению к первому ограничению:

(b1 – b1; b1+ b1) = (18 – 6; 18 + 8) = (12; 26).

Аналогично определим интервалы устойчивости оценок по отношению к ограничениям остальных видов сырья:

∆b2 = min ( 3/1; 4/(1/2) ) = 3, ∆b2 = │3/ (-1/2) │=6,

∆b3 = min ( 3/(1/2); 4/(1/2) ) = 6, ∆b3 = │3/ (-1) │=3,

∆b4 =5/1 = 5, ∆b4 = max│3/ (-1); 4/(-1) │=3.

Интервалы устойчивости оценок по отношению ко второму ограничению:

(16 – 3; 16 + 6) = (13;22),

К третьему ограничению:

(8 – 6; 8 + 3) = (2;11),

К четвертому ограничению:

(6 – 5; 6 + 3) = (1;9).

3. Изменения сырья согласно условиям задачи на +6, -3, +2, +2 т приводят к ограничению запаса сырья до 24, 13, 10, 8 т соответственно. Поскольку эти изменения находятся в пределах устойчивости оценок, на что указывают интервалы, то раздельное их влияние на прибыль определяется по формуле

Li = yоптi* bi,

Тогда

L1 max = yопт1 * b1 = 0*6 = 0,

L2 max = yопт2 * b2 = 1/2*(-3) = -3/2,

L3max = yопт3 * b3 = 2*2 = 4 ,

L 4max = yопт4 * b4 = 3/2*2 = 3.

Суммарное влияние на прибыль:

L max = L1 max + L2 max + L3 max + L4 max = 0 – 3/2 +4 +3 = 11/2 усл. ед.

Если изменение сырья не находится в пределах устойчивости оценок, то необходимо найти новые условные оценки, т. е. решить задачу симплексным методом с изменением количества сырья соответствующих видов.

4. Для оценки целесообразности введения в план производства фирмы четвертого вида изделий используем формулу

∆4 = ∑ aijyоптi – c4 = 1*0 + 2*1/2 +2*2 + 0*3/2 -15 = -10 < 0.

Так как прибыль превышает затраты, то введение в план производства четвертого вида изделий целесообразно.

Заключение

Двойственная задача – это вспомогательная задача линейного программирования, формулируемая с помощью определенных правил непосредственноиз условий исходной, или прямой задачи, которая применима к любой форме представления прямой задачи. В основу такого подхода положен тот факт, что использование симплекс-метода требует приведения любой ЗЛП к каноническому виду.

Правила получения двойственной задачи из задачи исходной.

1. Если в исходной задаче ищется максимум целевой функции, то в двойственной ей – минимум.

2. Коэффициенты при переменных в целевой функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений другой задачи.

3. В исходной ЗЛП все функциональные ограничения – неравенства вида “≤”, а в задаче, двойственной ей, – неравенства вида “≥”.

4. Коэффициенты при переменных в системах ограничений взаимно двойственных задач описываются матрицами, транспонированными относительно друг друга.

5. Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой.

6. Условие неотрицательности переменных сохраняется в обеих задачах.

Теория математического линейного программирования позволяет не только получать оптимальные планы с помощью эффективных вычислительных процедур, но и делать ряд экономически содержательных выводов, основанных на свойствах задачи, которая является двойственной по отношению к исходной ЗЛП.

Библиографический список

1. Белолипецкий В. М. Математическое моделирование в задачах. / В. М. Белолипецкий, Ю. И. Шокин. – М. : Финансы и статистика, 2002.- 774 с.

2. Красс М. С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. – 5-е изд., испр. и доп. / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. – М. : Дело, 2006. – 720 с.

3. Солодовников А. С. Математика в экономике. / А. С. Солодовников, В. А. Бабайцев, А. В. Браилов. – М. : Изд-во МГУ, 1999. – 591 с.

4. Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике. 2 – изд. / Ю. Н. Черемных. – М. : Дело и сервис, 2001. – 657 с.

5. http://lib. mexmat. ru

6. http://slovari. yandex. ru


Двойственность линейного программирования