Эрмитовы операторы

Эрмитовы операторы

Содержание

Линейные операторы

Линейные уравнения

Эрмитовы операторы

Линейные операторы

Пусть M и N – линейные множества. Оператор L, преобразующий элементы множества M в элементы множества N, называется линейным, если для любых элементов f и g из M и комплексных чисел λ и μ справедливо равенство

L(λ+ μ g ) = λLf + μ Lg (1)

При этом множество M = ML называется областью определения оператора L. Если Lf = f при всех f Є M, то оператор L называется тождественным (единичным) оператором. Единичный оператор будем обозначать через I.

Линейные уравнения

Пусть L – линейный оператор с областью определения ML. Уравнение

Lu = F (2)

Называется линейным неоднородным уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F называется свободным членом (или правой частью), а неизвестный элемент и из ML – решением этого уравнения.

Если в уравнении (2) свободный член F положить равным нулю, то полученное уравнение

Lu = 0 (3)

Называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (2).

В силу линейности оператора L совокупность решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и = 0 всегда является решением этого уравнения.

Всякое решение и линейного неоднородного уравнения (2) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения ио этого уравнения и общего решения ŭ, соответствующего линейного однородного уравнения (3)

И = ио + ŭ .

Отсюда непосредственно выводим: для того чтобы решение уравнения (2) было единственным в ML, необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (3) имело только нулевое решение в ML. Пусть однородное уравнение (3) имеет только нулевое решение в ML. Обозначим через Rl область значений оператора L, т. е. (линейное) множество элементов вида {Lf }, где f пробегает ML. Тогда для любого F Є Rl уравнение (2) имеет единственное решение и Є ML, и, таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу F из Rl соответствующее решение уравнения (2). Этот оператор называется обратным оператором к оператору L и обозначается через L -1 , так что

И = L -1F. (4)

Оператор L-1 , очевидно, является линейным и отображает Rl на ML. Непосредственно из определения оператора L -1 , а также из соотношений (2) и (4) вытекает:

L L -1F = F, F Є Rl ; L -1Lu = u, и Є ML,

Т. е. L L -1= I, L -1L = I.

Если линейный оператор L имеет обратный L – 1 , то системы функций {φ k } и { L φ k} одновременно линейно независимы. (При этом, естественно, предполагается, что все φ k принадлежат ML. )

Рассмотрим линейное однородное уравнение

Lu = λu, (5)

Где λ – комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех λ. Может случиться, что при некоторых λ оно имеет ненулевые решения из ML. Те комплексные значения λ, при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения из ML, называются собственными значениями оператора L, а соответствующие решения – собственными элементами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r, 1 ≤ r ≤ ∞ , линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению λ, называется кратностью этого собственного значения; если кратность r = 1, то λ называется простым собственным значением.

Если кратность r собственного значения λ оператора L конечна и u 1 ,…,и2 – соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация

U 0 = c 1 u 1 + c 2 u 2 + … + cr ur

Также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: если решение уравнения

Lu = λ u + f (6)

Существует, то его общее решение представляется формулой

И = и* +∑с k и k, (7)

Где и* – частное решение (6) и с k, k = l,2,…,r, – произвольные постоянные.

Эрмитовы операторы

Линейный оператор L, переводящий ML СL 2 ( G ) в L2 (G), называется эрмитовым, если его область определения ML плотна в L2 (G) и для любых f и g из Ml справедливо равенство

( Lf, g ) = ( f, Lg ).

Выражения ( Lf, g ) и ( Lf, f ) называются соответственно билинейной и квадратичной формами, порожденными оператором L.

Для того чтобы линейный оператор L был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма ( Lf, f ), f Є Ml, где Ml плотна в L2 (G), принимала только вещественные значения.

Линейный оператор L, переводящий Ml С L2 (G) в L2 (G), называется положительным, если Ml плотна в L2 (G) и

(Lf, f ) ≥ 0, f Є Ml.

В частности, всякий положительный оператор эрмитов.

Теорема. Если оператор L эрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть λ0 – собственное значение, u 0 – соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора L, L u 0 = λ0u 0 . Умножая скалярно это равенство на u 0, получим

( L u 0, u 0) = ( λ0u 0, u 0) = λ0 (u 0 , u 0 ) λ0 || u 0 ||2 = λ0 . (8)

Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма ( Lf, f ) принимает только вещественные (неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу (7) λ0 – вещественное (неотрицательное) число.

Докажем, что любые собственные функции и 1 и и 2, соответствующие различным собственным значениям λ1 и λ2, ортогональны. Действительно, из соотношений

Lu 1 = λ1 и 1, Lu 2 = λ2и 2,

Из вещественности λ1 и λ2 и из эрмитовости оператора L получаем цепочку равенств

λ1(и 1,и 2) = ( λ и 1,и 2) = ( L и 1,и 2) = (и 1, Lu 2) = (и 1,λ 2и 2) = =λ 2(и 1,и 2),

Т. е. λ1(и 1,и 2) = λ 2(и 1,и 2). Отсюда, поскольку λ1 ≠ λ 2, вытекает, что скалярное произведение (и 1,и 2) равно нулю. Теорема доказана.

Предположим, что множество собственных значений эрмитова оператора L не более чем счетно, а каждое собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения: λ1 ,λ2 ,…, повтори λk столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и 1,и 2 ,… так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна собственная функция и k :

Lu k = λk, и k, k = 1,2,…

Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякая ортонормальная система {φ k } состоит из линейно независимых функций. Всякая система ψ 1 ,ψ 2 ,… линейно независимых функций из L2 (G) преобразуется в ортонормальную систему φ 1 ,φ 2 , – следующим процессом ортогонализации Шмидта:

φ 1 = ψ 1 /||ψ 2 || , φ 2 = ψ 2 – (ψ 2, φ 1 ) φ 1 / || ψ 2 – (ψ 2, φ 1 ) φ 1 ||

φ k = ψ k – (ψ k, φ k-1 )φ k-1 – … – (ψ k,φ 1 )φ 1 / || ψ k – (ψ k, φ k-1 )φ k-1 – … – – (ψ k,φ 1 )φ 1 ||

При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Таким образом, если система собственных функций {ик } эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормальной:

( Lu k, u i) = λ k(и k, u i) = λ k δki

Список литературы

1. Владимиров B. C., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. – М.: Физмат-лит, 2000.

2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. – Изд. 5-е. – М.: Наука, 1985.

3. Никольский СМ. Математический анализ.-Изд. 5-е. – М.: Физмат-лит, 2000.


Эрмитовы операторы