Геометрия в пространстве

Введение.

В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул. Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется стереометрией (от греческого “стереос”- объемный, пространственный).

Может показаться парадоксальным, но фактически понятие “плоскость” в планиметрии – геометрии на плоскости – не нужно. Ведь если мы, например, говорим, что в плоскости многоугольника дана точка, мы тем самым подразумеваем, что такие точки существуют и вне этой плоскости. В планиметрии такое предположение излишние: все происходит в одной и той же единственной плоскости. В стереометрии нам приходится иметь дело уже с несколькими плоскостями. В каждой из них сохраняют свою силу все известные из планиметрии определения и теоремы, относящиеся к точкам, прямым, расстояниям и т. д., но свойства самих плоскостей необходимо описывать отдельно.

План.

I. Основные аксиомы стереометрии————— 4 II. Прямые, плоскости, параллельность———— 6

III. Изображение пространственных фигур—— 7 IV. Перпендикулярность. Углы. Расстояния—– 12 V. Несколько задач на построение, воображение, изображение и соображение———————— 17

I. Основные аксиомы стереометрии

Итак, в стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется еще одно – плоскость, а вместе с ним – аксиомы, регулирующие “взаимоотношения” плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.

Первая – аксиома выхода в пространство – придает “театру геометрических действий” новое, третье измерение:

– Имеется четыре точки, не лежащие в одной плоскости (рис. 1)

Рис. 1

Таким образом, не все точки находятся в одной плоскости. Но этого недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно много. Это обеспечивается второй аксиомой – аксиомой плоскости :

– Через любые три точки проходит плоскость.

С третьей аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из бумаги: все знают, что, образующиеся при этом линии сгиба – прямые.

Аксиома пересечения плоскостей звучит так:

Рис. 2

Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.

– (рис.2)

Отсюда следует: если три точки лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость единственная.

Действительно, если через какие – то три точки проходят две разные плоскости, то через эти точки можно провести прямую, а именно прямую, по которой плоскости пересекаются. Отметим, что последнее свойство само нередко включается в аксиомы.

Третья аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным, потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут пересекаться по одной точке. К трем указанным так же присоединяются планометрические аксиомы, переосмысленные и подправленные с учетом того, что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями. Например, аксиому прямой – через две различные точки можно провести одну и только одну прямую – переносят в стереометрию дословно, но только она уже распространяется на две точки пространства.

В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие: прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой плоскости.

β
α
Рис. 3
B
A
.
.
.C
L

Пусть прямая l проходит через точки А и В плоскости α (рис. 3). Вне плоскости α есть хотя бы одна точка С (по аксиоме выхода в пространство). В соответствии с аксиомой плоскости через А, В и С можно провести плоскостьβ . Она отлична от плоскости α , так как содержит С и имеет с α две общие точки. Значит,β пересекается сα по прямой, которой, как и l, принадлежат А, В. По аксиоме прямой, линия пересечения плоскостей совпадает с l. Но эта линия лежит в плоскости α , что и требовалось доказать.

Путем несложных доказательств мы находим, что:

– На каждой плоскости выполняются все утвержде-ния планиметрии.

II. Прямые, плоскости, параллельность.

Уже такое основное понятие, как параллель­ность прямых, нуждается в новом определении:

Две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадай­тесь в одну из излюбленных экзаменаторами ловушек – не пытайтесь “доказывать”, что через две параллельные прямые можно про­вести плоскость: это верно по определению параллельности прямых! Знаменитую плани­метрическую аксиому о единственности парал­лельной включают и в аксиомы стереометрии, а с ее помощью доказывают главное свойство параллельных прямых в пространстве:

– Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельно данной.

Сохраняется и другое важное свойство па­раллельных прямых, называемое транзитив­ностью параллельности:

– Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллель­ны друг другу.

Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В про­странстве существуют непараллельные и при­том непересекающиеся прямые – если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они скрещиваются.

D
А

На рис. 4 изображен куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD – параллельны, а АВ и В¹С¹ – скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем прибегать к помощи куба, чтобы иллюс­трировать понятия и факты стереометрии. Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ параллельна C¹D¹, потому что обе они параллельны общей стороне CD со­держащих их квадратов.

С
В
Рис. 4

В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для плоскостей: две пло­скости или прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том случае, когда лежит в плоскости. Для плоскостей и прямых справедливы теоремы о транзитивности:

– Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой.

– Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой( или плоскости), то они параллельны друг другу.

Наиболее важный частный случай второй теоремы – признак параллельности прямой и плоскости:

– Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой в этой плоскости.

А вот признак параллельности плоскостей:

– Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то и плоскости параллельны.

Часто используется и такая простая теорема:

– Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей, параллельны друг другу.

Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности прямой и плоскости следует, например, что прямая А¹В¹ параллельна плоскости АВСD (так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а противоположные грани куба, в частности А¹В¹С¹D¹ и ABCD, параллельны по признаку параллельности плоскостей: прямые A¹B¹ и B¹С¹ в одной грани соответственно параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой пример. Плоскость, содержащая параллельные прямые AA¹ и СС¹, пересекают параллельные плоскости АВСD и A¹B¹C¹D¹ по прямым АС и А¹С¹, значит, эти прямые параллельны: аналогично, параллельные прямые В¹С и А¹D. Следовательно, параллельные плоскости АВ¹С и А¹DC, пересекающие куб по треугольникам.

III. Изображение пространственных фигур.

Есть такой афоризм “Геометрия – это искус­ство правильно рассуждать на неправильном чертеже”. Действительно, если вернуться к из­ложенным выше рассуждениям, то окажется:

Единственная польза, которую мы извлекли из сопровождавшего их рисунка куба, состоит в том, что он сэкономил нам место на объясне­нии обозначений. С тем же успехом можно было изобразить его, как тело на рис. 4, я, хотя, очевидно, представленное на нем “нечто” не только не куб, но и не многогранник. И все же в приведенном афоризме заключена лишь часть правды. Ведь прежде, чем “рассуждать” – излагать готовое доказательство, надо его при­думать. А для этого нужно ясно представлять себе заданную фигуру, соотношения между ее элементами. Выработать такое представление помогает хороший чертеж. Более того, как мы увидим, в стереометрии удачный чертеж мо­жет стать не просто иллюстрацией, а основой решения задачи.

А

Рис. 5
Б

Художник (вернее, художник-реалист) на­рисует наш куб таким, каким мы его видим (рис. 5, б), т. е. в перспективе, или централь­ной проекции. При центральной проекции из точки О (центр проекции) на плоскость а про­извольная точка Х изображается точкой X’, в которой а пересекается с прямой ОХ (рис. 6). Центральная проекция сохраняет прямоли­нейное расположение точек, но, как правило, переводит параллельные прямые в пересека­ющиеся, не говоря уже о том, что изменяет расстояния и углы. Изучение ее свойств при­вело к появлению важного раздела геометрии (см. статью “Проективная геометрия”).

Рис. 6

Но в геометри-ческих чертежах исполь-зуется другая проекция. Можно сказать, что она получается из централь-ной когда центр О уда-ляется в бесконечность и прямые ОХ становятся па­раллельными.

Выберем плоскость а и пересекающую ее прямую l. Проведем через точку Х прямую, па­раллельную l. Точка X’, в которой эта прямая встречается с а, и есть параллельная проекция Х на плоскость, а вдоль прямой l (рис. 7). Про­екция фигуры состоит из проекций всех ее точек. В геометрии под

α
D
C
B
A
L

Рис. 7

Изображением фигуры понимают ее параллельную проекцию.

В частности, изображение прямой линии – это прямая линия или (в исключительном слу­чае, когда прямая параллельна направлению проекции) точка. На изображении параллель­ные прямые так и остаются параллельными, сохраняется здесь и отношение длин парал­лельных отрезков, хотя сами длины и изменя­ются. Все вышесказанное можно уложить в одну короткую формулировку основного свой­ства параллельной проекции:

– Если АВ = k CD, а A¹, B¹, C¹ и D¹- проекции точек A, B, C и D, то A¹ B¹= k C¹ D¹.

Черта здесь означает направленные отрезки (векторы), а равенство – совпадение не толь­ко длин, но и направлений (рис. 7). Таким об­разом, если задать изображения точек А и В, то будут однозначно определены и изображения всех точек Х прямой АВ, поскольку множитель k в равенстве AX = kAB на параллельной про­екции и оригинале одинаков. Аналогично, по изображениям трех точек, не лежащих на од­ной прямой, однозначно восстанавливаются изображения всех точек проходящей через них плоскости, а задав изображения четырех точек, не находящихся в одной плоскости, мы предопределяем изображения всех точек про­странства.

В то же время изображением данной трой­ки точек, т. е. треугольника, может служить тре­угольник любой заданной формы. В этом легко убедиться: проведем через сторону Поданного треугольника

Рис. 8

ЛВС любую плоскость а, постро­им в ней треу-гольник АВС нужной формы и спроектируем треугольник АВС на α вдоль пря­мой l = СС¹ (рис. 8). Взяв в качестве А В С равно­бедренный прямоу-гольный треугольник и до­строив его до квадрата ABCD, увидим, что в параллельной проекции квадрат легко превращае-тся в любой параллело-грамм. Более того, можно доказать, что изображе-нием любой данной треу-гольной пирамиды могуг быть лю­бые четыре точки, не лежащие на одной пря­мой, вместе с соединяющими их отрезками.

Правильно выбранное изображение помо­гает решать задачи. Найдем, например, отно­шения, в которых треугольное сечение A¹BD нашего куба (рис. 9, а) делит отрезок, соединяющий середины Р и Q ребер AD и В¹С¹. По­смотрим на куб со стороны бокового ребра ВВ¹, а точнее говоря, спроектируем куб вдоль прямой BD па плоскость АА¹С¹С. Понятно, чтопроекцией будет сам прямоугольник АА¹С¹С с проведенным в нем отрезком, соединяющим середины оснований (точки В и D совпадут;

Р(=К’) B (= D )
М
А
А¹
С
С¹

B¹(=D¹) Q
Рис. 9

Рис. 9, б); рассматриваемое сечение превра­тится в отрезок (рис. 9, б), а точки Р и Q станут серединами отрезковА1)и В iCi. Очевидно, что на нашем рисунке A ¹ Q = 3 PB, а значит, РМ: MQ = 1 : 3. В силу основного свойства параллельной проекции, эторавенство верно и в пространстве. Та же про­екция позволяет найти отношение между ча­стями любого проведенного в кубе отрезка, накоторые он рассекается плоскостью A ¹ BD : в частности, отрезок KQ, где К – середина АВ. вновь делится ею в отношении 1 : 3, а диаго­наль АС, – в отношении 1:2.

Еще эффектнее решения планиметриче­ских задач, которые получают, “выходя в про­странство”, т. е. представляя данную плоскую фигуру в виде изображения некоего пространственного объекта. Вот одна из таких задач, требуется построить треугольник с вершина­ми на трех данных лучах ОА, 0В и ОС с общим началом О так, чтобы его стороны проходили через три данные внутри углов АОВ, ВОСк СОАточки Р, Q и R.

R
R
Рис. 10
E
M

Q
С
О
А
В
Р

Q
С
О
А
В
Р

Это очень трудная задача. Но если мы дога­даемся посмотреть на ее чертеж (рис. 10, а) как на изображение трехгранного угла с тремя точками на его гранях, то, конечно, поймем, что имеем дело с задачей на построение сечения этого угла плоскостью PQR. Решение задачи приводится на рис 10, б; кстати сказать, оно поясняет и основной прием построения сечений. Из произвольной точки Е луча ОС проектируем данные точки R и Q на плоскость ОАВ; получаем точки R¹ и Q¹. Плоскость искомого сечения пересекает плоскость ОАВ по прямой МР. Дальнейшее очевидно.

IV. Перпендикулярность. Углы. Расстояния.

До сих пор мы, по существу, нигде не пользовались такими важными геометрическими понятиями, как расстояния и углы. Даже в нашем кубе нам достаточно было только того, что его грани – параллелограммы, равенства всех их сторон и углов на самом деле не требовалось. Чтобы иметь возможность изучать свойства куба и других пространственных фигур во всей полноте, нужны соответствующие определения. Прежде всего, расширим понятие перпендикулярности, известное из планиметрии.

Если прямая пересекает плоскость в этой плоскости, проходящей через точку Р, то говорят, что данные прямая и плоскость перпендикулярны.

Например, ясно, что ребро АА¹ нашего куба перпендикулярно основанию АВСD. Но как проверить, что это ребро действительно перпендикулярно любой прямой, лежащей в основе и проходящей через А? Оказывается, достаточно того, что АА¹ составляет прямые углы с двумя из них – АВ и АD: согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости,

– Если прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и b, то она перпендикулярна плоскости, содержащей a и b.

Причем здесь не обязательно предполагать, что прямые a и b пересекают l: считают, что скрещивающиеся прямые перпендикулярны, если перпендикулярны параллельные им пря­мые, проходящие через произвольно взятую точку, в частности через точку пересечения l с плоскостью. Так что теперь можно сказать, что прямая, перпендикулярная плоскости, перпен­дикулярна любой лежащей в этой плоскости прямой. Справедлива такая теорема:

– Через данную точку в пространстве можно провести одну и только одну плоскость, перпендикулярную дан­ной прямой, а также одну и только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.

Параллельная проекция на плоскость вдоль перпендикулярной ей прямой называется ортогональной (т. е. прямоугольной) проекцией на данную плоскость. Обычно, когда говорят просто “проекция”, имеют в виду именно ор­тогональную проекцию. Она обладает всеми общими свойствами параллельной проекции. Но у нее есть и специфические свойства, их можно использовать при решении задач о расстояниях и углах в пространстве.

Из признака перпендикулярности прямой и плоскости выводится очень простая, но важная теорема о трех перпендикулярах (рис. 11):

A

Наклонная a к плоскости перпендикулярна к прямой l в этой плоскости тогда, когда ее проекция а¹ на плоскость перпендикулярна l.

Наклонной к плоскости называют любую пересекающую ее, но не перпендикулярную ей прямую. Оба условия в этой теореме равно­сильны тому, что плоскость, содержащая а и а’, перпендикулярна прямой /.

Применим обе теоремы к кубу (рис. 11). Проекция АС его диагонали А C ¹ на основание перпендикулярна диагонали основания BD ; по теореме о трех перпендикулярах, и сама диаго­наль АС¹ перпендикулярна BD. По такой же причине перпендикулярны АС¹ и А¹В. Отсюда следует, что диагональ перпендикулярна “тре­угольному сечению” A ¹ BD. В стереометрии помимо обычных плоских

D
C
B
A

Углов приходится иметь дело еще с тремя ви­дами углов. Угол между скрещи-вающимися прямыми, по определению, равен углу между пе­ресекающимися прямыми, которые им парал­лельны. Угол между прямой а и плоскостью о. равен углу между прямой а и ее проекцией а’ на плоскость (рис. 10), а если прямая и пло­скость перпендикулярны, его принимают рав­ным 90°. Это наименьший из углов между пря­мой а и любой прямой в плоскости а. Угол между пересекающимися плоскостями измеря­ется углом между перпендикулярами, проведен­ными в этих плоскостях к линии их пересече­ния (рис. 13). Все названные углы принимают значения в промежутке от 0 До 90°.

Найдем, например, угол между диагоналями А¹В и В¹С граней нашего куба (рис. 14). Заме­ним прямую В¹С на параллельную ей диагональ A ¹ D противоположной грани; искомый угол равен углу BA ¹ D, т. е. 60° (треугольник BA ¹ D равносторонний). Угол между диагональю АС¹ и основанием куба равен углу САС¹ между прл* мой ас¹ и ее проекцией АС на основание, т. е. arctg ( C ¹ C / AC ) = arctg (1/√2]. А угол между пло­скостями BDA ¹ и BDC ¹ (рис. 14) равен углу А¹МС¹, где М – середина BD, так как прямые МА¹ и МС¹ лежат в этих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения BD (несложное вычисление дает arccos (1/3)).

Расстоянием между двумя любыми фигура­ми называют наименьшую длину отрезка, концы которого принадлежат данным фигу­рам. Значит, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенно­го из точки на плоскость, – он короче любой наклонной, так как гипотенуза прямоугольно­го треугольника короче катета. Расстояние между параллельными плоскостями, очевидно, равно расстоянию от любой точки в одной из них до другой плоскости (рис. 15, а).

Более интересен вопрос о расстоянии между двумя скрещивающимися прямыми а и b. Проведем через прямую а плоскость α, параллельную прямой b (рис. 15, б), найдем точку пересечения А ортогональной проекции b¹ прямой b на α и точку В прямой b, которая проектируется в точку А. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости а и потому является общим перпендикуляром к прямым а и b. Его длина и

Б
А
B

Равна расстоянию между нашими скрещивающимися прямыми.

A
α

A

Вместо того чтобы вычислять расстояния и углы в пространстве, часто можно находить соответствующие величины на ортогональной проекции данной фигуры. На рис. 15 показаны. те интересные ортогональные проекции куба ‘”‘ ребром длины и: прямоугольник размером

А * а√2 (проекция на диагональную плоскость АСС¹А¹ или, что то же, вдоль диагонали BD ос­нования): и правильный шестиугольник со сто­роной а√2/3 (проекция вдоль диагонали куба АС¹; мы видели, что прямая АС¹ перпендику­лярна плоскости BDA ¹, а потому правильный треугольник BDA, со стороной а√2 в такой проекции не искажается). С помощью первой проекции можно найти, например, угол между плоскостями BDA ¹ и BDC ¹ – он равен углу меж­ду красными прямыми, в которые проектиру­ются эти плоскости. А расстояние r между двумя скрещивающимися диагоналями граней BD и В¹С равно расстоянию на рис. 16, а от точки В до прямой В¹С (В и B ¹ C – изображения первой и второй диагоналей соответственно). Поду­майте почему. (Здесь важно, что общий перпендикуляр диагоналей параллелен плоскости про­екции.) Легко найти, что r = а/√3. Нетрудно вычислить на той же проекции и расстояние между прямыми BD и АС¹ Еще проще найти его с помощью рис. 16, б, на котором АС¹ превра­щается в точку: расстояние от последней – центра шестиугольника – до BD равно половине стороны шестиугольника, т. е. а/√6.

Б
B
C
D
A(=C¹)

А
R
B¹( = D¹)
B(=D)
A
C

Отметим интересное соотношение, связы­вающее площадь фигуры, площадь ее проекции и угол между плоскостями:

– Площадь Sпр ортогональной проекцией многоугольника равна площади S многоугольника, умноженной на cos φ, где φ- угол между его плоскостью и плоскостью проекции:

φ
H

Это очевидно для треугольника, одна из сто­рон которого совпадает с линией пересечения двух плоскостей (рис. 17) или параллельна ей. А любой многоугольник можно разбить на та­кие треугольники. Приближая криволинейные фигуры многоу-гольниками, получим, что фор­мула площади проекции справедлива и для них.

V. Несколько задач на построение, вооброжение, изображение и соображение.

ЗАДАЧА 1.

По правилам черчения принято изображать пунктиром ребра многоугольника, расположенные на его обратной стороне. Некоторый многоугольник спереди и сверху выглядит одинаково, как показано на рис 18. Пунктиров на изображении нет – значит нет и невидимых ребер. Как предмет выглядит сбоку?

ЗАДАЧА 2.

?

E

D
F

C
A

B

Может ли рисунок 19 служить изображением многогранника с тремя четырехугольными гранями и двумя треугольными?

ЗАДАЧА 3.

На рисунке 20 изображена треугольная пирамида, в которой проведены два отрезка, соединяющие точку на противоположных ребрах. Можно ли по рисунку определить, пересекаются эти отрезки в пространстве или нет? А если можно, то как?

ОТВЕТЫ.

1.

2. Нет. Прямые AD, BE, CF должны пересекаться в одной точке.

?

3. Можно. Отрезки пересекаются (т. е. лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда либо точка пересечения синих прямых лежит на прямой АВ, либо они параллельны.


Геометрия в пространстве