Интеграл и его применение

Реферат

Владимир 2002 год

Владимирский государственный университет, Кафедра общей и прикладной физики

Вступление

Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые-математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решила исследовать интеграл и его применение.

История интегрального исчисления

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: “Построить квадрат, равновеликий данному кругу”. (Эта классическая задача “о квадратуре круга” круга” не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)

Символ ò введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summ a). Само слово интеграл придумал Я. Б е р н у л л и (1690 г.). Вероятн о, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводит ь в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования ” восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина инте грал иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласил ись с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики-интегральное исчисление (calculusintegralis ), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные ермины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило бол ее раннее “примитивная функция”, которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское сл ово primitivus переводится как “начальный”: F(x) = òf(x)dx – начальная (или первоначальная, или первообразная) для f (x), которая получается из F(x) дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что вс е первообразные функции отличаются на произвольну ю постоянну ю. b

А òf(x)dx

A

Называют определенным интегралом (обоз начение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эй лер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 – ок. 355 до н. э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объема цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольн иков стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа p (3.10/71<p<3.1/7), нашел объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т. д. Сам Архимед высоко ценил эти результаты: согласно его желанию на могиле Архимеда высечен шар, вписанный в цилиндр (Архимед показал, что объем такого шара равен 2/3 объема цилиндра).

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод – метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертикал ьных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равну ю бесконечно малой величине f(х)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

S = af(x)dx

A<x<b

Бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме – нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571-1630) в своих сочинениях “Новая астрономия”.

Рис 1.

(1609 г.) и “Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на 6ecконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598-1647) и Э. Торричелли (1608-1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях.

Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 1,б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения y = f(x) и y=f(x)+c.

Представляя фигуру составленной из “неделимых”, по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину с. Передвигая их в вертикальном направлении, можем составить из них прямоугольник с основанием b-а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т. е.

S = S1 = c ( b – а ).

Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины (рис. 1,в). Тогда площади фигур Ф1 и Ф2 равны.

Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезны м при нахождении объемов.

В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = хn, где п – целое (т. е по существу вывел формулу ò хndx = (1/n+1)хn+1), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630-1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известным под названием формулы Ньютона – Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научится находить первообразные многих функций, дать логические нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801-1862), В. Я. Буняковский (1804-1889), П. Л. Че бышев (1821-1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б. Римана (1826-1866), французского математика Г. Дарбу (1842-1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838-1922) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875-1941) и А. Данжуа (188 4-1974), со ветским математиком А. Я. Х инчинчин ым (1894-1959).

Определение и свойства интеграла

Если F(x) – одна из первообразных функции f(x) на промежутке J, то первообразная на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где CÎR.

Определение. Множество всех первообразных функции f(x) на промежутке J называется определенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается òf(x)dx.

òf(x)dx = F(x)+C, где F(x) – некоторая первообразная на промежутке J.

F – подынтегральная функция, f(x) – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования, C – постоянная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла.

(òf(x)dx) ¢ = òf(x)dx,

òf(x)dx = F(x)+C, где F¢(x) = f(x)

(òf(x)dx) ¢= (F(x)+C) ¢= f(x)

òf¢(x)dx = f(x)+C – из определения.

ò k f (x)dx = k ò f¢(x)dx

Если k – постоянная и F¢(x)=f(x),

ò k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C1)= k ò f¢(x)dx

ò ( f(x)+g(x)+…+h(x) )dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx +…+ ò h(x)dx

ò ( f(x)+g(x)+…+h(x) )dx = ò [F ¢(x)+G ¢(x)+…+H ¢(x)]dx =

= ò [F(x)+G(x)+…+H(x)] ¢dx = F(x)+G(x)+…+H(x)+C=

= òf(x)dx + òg(x)dx +…+ òh(x)dx, где C=C1+C2+C3+…+Cn.

Интегрирование

Табличный способ.

Способ подстановки.

Если подынтегральная функция не является табличным интегралом, то возможно (не всегда) применить этот способ. Для этого надо:

Разбить подынтегральную функцию на два множителя;

Обозначить один из множителей новой переменной;

Выразить второй множитель через новую переменную;

Составить интеграл, найти его значение и выполнить обратную подстановку.

Примечание: за новую переменную лучше обозначить ту функцию, которая связана с оставшимся выражением.

Примеры:

1. òxÖ(3×2-1)dx;

Пусть 3×2-1=t (t³0), возьмем производную от обеих частей:

6xdx = dt

Xdx=dt/6

3

Odt 1 1 o 1 1 t 2 2 1 —Ø

ô- t 2 = – ô t 2dt = – — + C = -Ö 3×2-1 +C

õ 6 6 õ 6 3 9

2. t

ò sin x cos 3x dx = ò – t3dt = – – + C

4

Пусть cos x = t

-sin x dx = dt

Метод преобразования подынтегральной функции в сумму или разность:

Примеры :

ò sin 3x cos x dx = 1/2 ò (sin 4x + sin 2x) dx = 1/8 cos 4x – ¼ cos 2x + C

O x4+3×2+1 o 1 1

ô—- dx = ô( x2+2 – — ) dx = – x2 + 2x – arctg x + C

õx2+1 õx2+1 3

Примечание: при решении этого примера хорошо делать многочлены “углом”.

По частям

Если в заданном виде взять интеграл невозможно, а в то же время, очень легко находится первообразная одного множителя и производная другого, то можно использовать формулу.

(u(x)v(x))’=u'(x)v(x)+u(x)v(x)

U'(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v'(x)

Проинтегрируем обе части

òu'(x)v(x)dx=ò (u(x)v(x))’dx – òu(x)v'(x)dx

ò u'(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx – ò u(x)v'(x)dx

Примеры:

ò x cos (x) dx = ò x dsin x = x sin x – ò sin x dx = x sin x + cos x + C

X = u(x)

Cos x = v'(x)

Криволинейная трапеция

Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абцисс и прямыми x=a, x=b, называется криволинейной трапецией.

Способы нахождения площади криволинейной трапеции

Теорема. Если f(x) непрерывная и неотрицательная функция на отрезке [a;b], то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразных.

Дано: f(x)- непрерывная неопр. функция, xÎ[a;b].

Доказать: S = F(b) – F(a), где F(x) – первообразная f(x).

Доказательство:

1) Рассмотрим вспомогательную функцию S(x). Каждому xÎ[a;b] поставим в соответствие ту часть криволинейной трапеции, которая лежит левее прямой, проходящей через точку с этой абциссой и параллельно оси ординат.

Следовательно S(a)=0 и S(b)=Sтр

Докажем, что S(a) – первообразная f(x).

D( f ) = D(S) = [a;b]

S'(x0)= lim( S(x0+Dx) – S(x0) / Dx ), при Dx®0 DS – прямоугольник

Dx®0 со сторонами Dx и f(x0)

S'(x0) = lim(Dxf(x0) /Dx) = limf(x0)=f(x0): т. к. x0 точка, то S(x) –

Dx®0 Dx®0 первообразная f(x).

Следовательно по теореме об общем виде первообразной S(x)=F(x)+C.

Т. к. S(a)=0, то S(a) = F(a)+C

C = – Fa

S = S(b)=F(b)+C = F(b)-F(a)

II.

1). Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей. Шаг разбиения

Dx=(b-a)/n. При этом Sтр=lim(f(x0)Dx+f(x1)Dx+…+f(xn))Dx=

N®¥

= lim Dx(f(x0)+f(x1)+…+f(xn))

При n®¥ получим, что Sтр= Dx(f(x0)+f(x1)+…+f(xn))

Предел этой суммы называют определенным интегралом.

B

Sтр=òf(x)dx

A

Сумма стоящая под пределом, называется интегральной суммой.

Определенный интеграл это предел интегральной суммы на отрезке [a;b] при n®¥. Интегральная сумма получается как предел суммы произведений длины отрезка, полученного при разбиении области определения функции в какой либо точке этого интервала.

A – нижний предел интегрирования;

B – верхний.

Формула Ньютона-Лейбница.

Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции делаем вывод:

Если F – первообразная для b на [a;b], то

B

ò f(x)dx = F(b)-F(a)

A

B b

ò f(x)dx = F(x) ô = F(b) – F(a)

Aa

Свойства определенного интеграла.

1.

B b

ò f(x)dx = ò f(z)dz

A a

2.

A

ò f(x)dx = 0

A

A

ò f(x)dx = F(a) – F(a) = 0

A

3.

B a

ò f(x)dx = – ò f(x)dx

A b

B a

ò f(x)dx = F(a) – F(b) ò f(x)dx = F(b) – F(a) = – (F(a) – F(b))

Ab

Если a, b и c любые точки промежутка I, на котором непрерывная функция f(x) имеет первообразную, то

B c b

ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx

A a c

F(b) – F(a) = F(c) – F(a) + F(b) – F(c) = F(b) – F(a)

(это свойство аддитивности определенного интеграла)

Если l и m постоянные величины, то

Bbb

ò (lf(x) +mj(x))dx = lò f(x)dx + mòj(x))dx –

Aac

– это свойство линейности определенного интеграла.

6.

B b b b

ò (f(x)+g(x)+…+h(x))dx = ò f(x)dx+ ò g(x)dx+…+ ò h(x)dx

A a a a

B

ò (f(x)+g(x)+…+h(x))dx = (F(b) + G(b) +…+ H(b)) –

A

– (F(a) + G(a) +…+ H(a)) +C =

= F(b)-F(a)+C1 +G(b)-G(a)+C2+…+H(b)-H(a)+Cn=

B b b

= ò f(x)dx+ ò g(x)dx+…+ ò h(x)dx

Aaa

Набор стандартных картинок

Т. к. f(x)<0, то формулу Ньютона-Лейбница составить нельзя, теорема верна только для f(x)³0.

Надо:

Рассмотреть симметрию функции относительно оси OX. ABCD®A’B’CD b

S(ABCD)=S(A’B’CD) = ò – f(x)dx

A

B b

S= ò f(x)dx = ò g(x)dx

A a

C b

S = ò (f(x)-g(x))dx+ò(g(x)-f(x))dx

A c

F(x)® f(x)+m

G(x)®g(x)+m

B

S= ò (f(x)+m-g(x)-m)dx =

A

B

= ò (f(x)- g(x))dx

A

Если на отрезке [a;b] f(x)³g(x), то площадь между этими графиками равна

B

ò ((f(x)-g(x))dx

A

Функции f(x) и g(x) произвольные и неотрицательные

B b b

S=ò f(x)dx – ò g(x)dx = ò (f(x)-g(x))dx

A a a

B b

S=ò f(x)dx + ò g(x)dx

A a

Применение интеграла

I. В физике.

Работа силы (A=FScosa, cosa¹ 1)

Если на частицу действует сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно

D(mu2/2) = Fds

Приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению Fds, где ds – перемещение частицы за время dt. Величина

DA=Fds

Называется работой, совершаемой силой F.

Пусть точка движется по оси ОХ под действием силы, проекция которой на ось ОХ есть функция f(x) (f-непрерывная функция). Под действием силы точка переместилась из точки S1(a) в S2(b). Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков, одинаковой длины Dx = (b – a)/n. Работа силы будет равна сумме работ силы на полученных отрезках. Т. к. f(x) – непрерывна, то при малом [a;x1] работа силы на этом отрезке равна f(a)(x1-a). Аналогично на втором отрезке f(x1)(x2-x1), на n-ом отрезке – f(xn-1)(b-xn-1). Следовательно работа на [a;b] равна:

А “An = f(a)Dx +f(x1)Dx+…+f(xn-1)Dx=

= ((b-a)/n)(f(a)+f(x1)+…+f(xn-1))

Приблизительное равенство переходит в точное при n®¥

B

А = lim [(b-a)/n] ( f(a)+…+f(xn-1))= òf(x)dx (по определению)

N®¥a

Пример.

Пусть пружина жесткости С и длины l сжата на половину свой длины. Определить величину потенциальной энергии Ер равна работе A, совершаемой силой – F(s) упругость пружины при ее сжатии, то

L/2

Eп = A= – ò (-F(s)) dx

0

Из курса механики известно, что F(s)= – Cs.

Отсюда находим

L/2 l/2

Еп= – ò (-Cs)ds = CS2/2 | = C/2 l2/4

0 0

Ответ: Cl2/8.

Координаты центра масс

Центр масс – точка через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела.

Пусть материальная однородная пластина о имеет форму криволинейной трапеции {x;y |a£x£b; 0£y£f(x)} и функция y=f(x) непрерывна на [a;b], а площадь этойкриволинейной трапеции равна S, тогда координаты центра масс пластины о находят по формулам:

B b

X0 = (1/S) ò x f(x) dx; y0 = (1/2S) ò f 2(x) dx;

Aa

Примеры.

Центр масс.

Найти центр масс однородного полукруга радиуса R.

Изобразим полукруг в системе координат OXY.

Из соображений симметрии и однородности замечаем, что абсцисса точки M

Xm=0

Функция, описывающая полукруг имеет вид:

Y = Ö(R2-x2)

Пусть S = pR2/2 – площадь полукруга, тогда

R R

Y = (1/2S) òÖ(R2-x2)dx = (1/pR2) òÖ(R2-x2)dx =

-R – R

R

= (1/pR2)(R2x-x3/3)|= 4R/3p

-R

Ответ: M(0; 4R/3p )

Путь, пройденный материальной точкой

Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью u=u(t) и за время T= t2-t1 (t2>t1) прошла путь S, то

T2

S=òu(t)dt.

T1

В геометрии

Объем – количественная характеристика пространственного тела. За единицу измерения объема принимают куб с ребром 1мм(1ди, 1м и т. д.).

Количество кубов единичного объема размещенных в данном теле – объем тела.

Аксиомы объема:

Объем – это неотрицательная величина.

Объем тела равен сумме объемов тел, его составляющих.

Найдем формулу для вычисления объема:

Выберем ось ОХ по направлению расположения этого тела;

Определим границы расположения тела относительно ОХ;

Введем вспомогательную функцию S(x) задающую следующее соответствие: каждому x из отрезка [a;b] поставим в соответствие площадь сечения данной фигуры плоскостью, проходящей через заданную точку x перпендикулярно оси ОХ.

Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей и через каждую точку разбиения проведем плоскость перпендикулярную оси ОХ, при этом наше тело разобьется на части. По аксиоме

V=V1+V2+…+Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+…+S(xn)Dx

N®¥

Dx®0, а Sk®Sk+1, а объем части, заключенной между двумя соседними плоскостями равна объему цилиндра Vц=SоснH.

Имеем сумму произведений значений функций в точках разбиения на шаг разбиения, т. е. интегральную сумму. По определению определенного интеграла, предел этой суммы при n®¥ называется интегралом a

òS(x)dx

B

A

V= òS(x)dx, где S(x) – сечение плоскости, проходящей через

Bвыбранную точку перпендикулярно оси ОХ.

Для нахождения объема надо:

1). Выбрать удобным способом ось ОХ.

2). Определить границы расположения этого тела относительно оси.

3). Построить сечение данного тела плоскостью перпендикулярно оси ОХ и проходящей через соответственную точку.

4). Выразить через известные величины функцию, выражающую площадь данного сечения.

5). Составить интеграл.

6). Вычислив интеграл, найти объем.

Объем фигур вращения

Тело, полученное в результате вращения плоской фигуры, относительно какой-то оси, называют фигурой вращения.

Функция S(x) у фигуры вращения есть круг.

Sсеч = pr2

Sсеч(x)=p f 2(x)

B

V= ò f 2(x)

A

Длина дуги плоской кривой

Пусть на отрезке [a;b] функция y = f(x) имеет непрерывную производную y’ = f ‘(x). В этом случае длину дуги l “куска” графика функции y = f(x), xÎ[a;b] можно найти по формуле

B

L = òÖ(1+f'(x)2)dx

A

Список литературы

М. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд, “Алгебра и математический анализ”, Москва,1993г.

“Сборник задач по математическому анализу”, Москва,1996г.

И. В. Савельев, “Курс общей физики”, том 1, Москва, 1982г.


Интеграл и его применение