Интересные примеры в метрических пространствах

Интересные примеры

В метрических пространствах:

1. В n – мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром e, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную -сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.

1. Единичная сфера S в пространстве l 2 дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:

Е 1 =(1, 0, 0, …, 0, 0, …),

Е 2 =(0, 1, 0, …, 0, 0, …),

…………………………,

Е n =(0, 0, 0, …, 1, 0, …),

………………………….

Расстояние между любыми двумя точками е n и е м (n ¹ m ) равно Ö2. Поэтому последовательность {е i } и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной e-сети ни при каком e<Ö2/2.

2. Рассмотрим в l 2 множество П точек

X=(x1 , x2 , ¼, xn, …),

Удовлетворяющих условиям:

| x1 |£1, | x2 |£1/2, ¼,| xn |£1/2n-1 , …

Это множество называется фундаментальным параллепипедом (“гильбертовым кирпичем”) пространства l 2 . Оно представляет собой пример бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом.

Пусть e>0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1 <e/2. Каждой точке x=(x1 , x2 , ¼, xn, …)

Из П сопоставим точку x*=(x1 , x2 , ¼, xn, 0, 0, …)

Из того же множества. При этом

R(x, x*)=£<1/2n-1 <e/2.

Множество П* точек вида x*=(x1 , x2 , ¼, xn, 0, 0, …) из П вполне ограничено (как ограниченное множество в n – мерном пространстве). Выберем в П* конечную e/2-сеть. Она будет в то же время e-сетью во всем П. Докажем это.

Доказательство : для “e>0, выберем n так, что 1/2n-1 <e/2.

“xÎП : x=(x1 , x2 , ¼, xn, …) сопоставим

X*=(x1 , x2 , ¼, xn, 0, 0, …) и x*ÎП. При этом r(x, x*)<e/2. Из пространства П выберем x**: r(x*,x**)<e/2.

Тогда: r(x, x**)£r(x, x*)+r(x*,x**)<e/2+e/2=e.

Множество П* содержит точки вида x*=(x1 , x2 , ¼, xn, 0, 0, …), в этом множестве выберем конечную e/2-сеть. Она будет e-сетью в пространстве П, так какr(x, x**)<e.


Интересные примеры в метрических пространствах