Коэффициент детерминации. Значимость уравнения регрессии

Федеральное агентство по образованию

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Кафедра экономико-математических методов и моделей

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине “Эконометрика”

Вариант № 3

Исполнитель: Глушакова Т. И.

Специальность: Финансы и кредит

Курс: 3

Группа: 6

№ зачетной книжки: 07ффд41853

Руководитель: Денисов В. П.

Г. Омск 2009г.

Задачи

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.). Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

– уравнение линейной регрессии, где – параметры уравнения.

, где , – средние значения признаков.

, где n – число наблюдений.

Представим вычисления в таблице 1:

Таблица 1. Промежуточные расчеты.

TXiYiYi* xiXi*xi
1386926221444
228521456784
327461242729
4376323311369
5467333582116
627481296729
7416727471681
8396224181521
928471316784
10446729481936
Средн. знач.35,559,4
2108,7
1260,25
21734
13093
N10
1,319
12,573

Таким образом, уравнение линейной регрессии имеет вид:

Коэффициент регрессии равен 1,319>0, значит связь между объемом капиталовложений и выпуском продукции прямая, увеличение объема капиталовложений на 1 млн. руб. ведет к увеличению объема выпуска продукции в среднем на 1,319 млн. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятий.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

Вычислим прогнозное значение Y по формуле:

Остатки вычисляются по формуле:

.

Представим промежуточные вычисления в таблице 2.

Таблица 2. Вычисление остатков.

6962,6956,30539,75303
5249,5052,4956,225025
4648,186-2,1864,778596
6361,3761,6242,637376
7373,247-0,2470,061009
4848,186-0,1860,034596
6766,6520,3480,121104
6264,014-2,0144,056196
4749,505-2,5056,275025
6770,609-3,60913,02488

Дисперсия остатков вычисляется по формуле:

.

Построим график остатков с помощью MSExcel.

Рис. 1. График остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК

Проверим независимость остатков с помощью критерия Дарбина-Уотсона.

Вычислим коэффициент Дарбина-Уотсона по формуле:

.

Данные для расчета возьмем из таблицы 2.

Dw = 0,803

Сравним полученное значение коэффициента Дарбина-Уотсона с табличными значениями границ и для уровня значимости 0,05 при k=1 и n=10. =0,88, =1,32, dw < d, значит, остатки содержат автокорреляцию. Наличие автокорреляции нарушает одну из предпосылок нормальной линейной модели регрессии.

Проверим наличие гетероскедастичности. Т. к. у нас малый объем выборки (n=10) используем метод Голдфельда-Квандта.

– упорядочим значения n наблюдений по мере возрастания переменной x и разделим на две группы с малыми и большими значениями фактора x соответственно.

– рассчитаем остаточную сумму квадратов для каждой группы.

Вычисления представим в таблицах 3 и 4.

Таблица 3. Промежуточные вычисления для 1-го уравнения регрессии.

TXiYiYi* xiXi*xi
12746124272947-11
2274812967294711
32847131678449,5-2,56,25
42852145678449,52,56,25
Средн. знач.27,548,25
1326,875
756,25
5310,00
3026,00
N4
2,5
– 20,5
14,5

Таблица 4. Промежуточные вычисления для 2-го уравнения регрессии.

TXiYiYi* xiXi*xi
137632331136963,789-0,7890,623
238692622144464,5824,41819,519
339622418152165,375-3,37511,391
441672747168166,9610,0390,002
544672948193669,340-2,3405,476
646733358211670,9262,0744,301
Средн. знач.40,83366,833
2729,028
1667,361
16424
10067
N6
0,793
34,448
41,310

= =2,849

Где – остаточная сумма квадратов 1-ой регрессии, – остаточная сумма квадратов 2-ой регрессии.

Полученное значение сравним с табличным значением F распределения для уровня значимости , со степенями свободы и ( – число наблюдений в первой группе, m – число оцениваемых параметров в уравнении регрессии).

, , m=1.

Если > , то имеет место гетероскедастичность.

= 5,41

< ,

Значит, гетероскедастичность отсутствует и предпосылка о том, что дисперсия остаточных величин постоянна для всех наблюдений выполняется.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента .

Расчетные значения t-критерия можно вычислить по формулам:

,

,

,

=35,5

Промежуточные расчеты представим в таблице:

Таблица 5. Промежуточные вычисления для расчета t – критерия

Xi
386,25
2856,25
2772,25
372,25
46110,25
2772,25
4130,25
3912,25
2856,25
4472,25

=490,50

для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы n-2=8

Так как и можно сделать вывод, что оба коэффициента регрессии значимые.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент детерминации определяется по формуле:

Из расчетов нам известно, что

; .

Рассчитаем :

Таблица 6. Промежуточные вычисления для расчета коэффициента детерминации.

699,692,16
52-7,454,76
46-13,4179,56
633,612,96
7313,6184,96
48-11,4129,96
677,657,76
622,66,76
47-12,4153,76
677,657,76

=930,4

=0,917.

Т. к. значение коэффициента детерминации близко к единице, качество модели считается высоким.

Теперь проверим значимость уравнения регрессии. Рассчитаем значение F-критерия Фишера по формуле:

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. >.

Средняя относительная ошибка аппроксимации находится по формуле:

Таблица 7. Промежуточные вычисления для расчета средней относительной ошибки аппроксимации.

Yi
696,3050,091377
522,4950,047981
46-2,1860,047522
631,6240,025778
73-0,2470,003384
48-0,1860,003875
670,3480,005194
62-2,0140,032484
47-2,5050,053298
67-3,6090,053866

,

Значит модель имеет хорошее качество.

Рассчитаем коэффициент эластичности по формуле:

6. осуществить прогнозирование среднего значения показателя Yпри уровне значимости , если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

Рассчитаем стандартную ошибку прогноза

,

Где

=930,4 ;

, Для уровня значимости 0,1 и числа степеней свободы n-2=8

Доверительный интервал прогноза:

Таким образом, =61,112 , будет находиться между верхней границей, равной 82,176 и нижней границей, равной 40,048.

7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.

Воспользуемся данными из таблицы 2 для построения графиков с помощью MS Excel.

Рис. 2. Фактические и модельные значения Y точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической, степенной, показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии.

Построение степенной модели.

Уравнение степенной модели имеет вид:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим .

Тогда уравнение примет вид – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1:

Таблица 8. Расчет параметров уравнения степенной модели регрессии.

TXiXYYXX*X
1381,5798691,8392,9052,49662,3476,6539,64244,26
2281,447521,7162,4832,09450,4781,5222,9262,315
3271,431461,6632,3792,04849,225-3,2257,01010,399
4371,568631,7992,8212,45961,2081,7922,8453,212
5461,663731,8633,0982,76571,1531,8472,5303,411
6271,431481,6812,4062,04949,225-1,2252,5521,5
7411,613671,8262,9452,60165,7711,2891,9241,66
8391,591621,7932,8532,53163,477-1,4772,3822,182
9281,447471,6722,4192,09450,478-3,4787,412,099
10441,644671,8263,0012,70168,999-1,9992,9843,997

Уравнение регрессии будет иметь вид:

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

Вычислим коэффициент детерминации :

=930,4;

(1)

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации А:

%

(2)

Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

(3)

Рис. 3. График степенного уравнения регрессии.

Построение показательной функции.

Уравнение показательной кривой:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим

Получим линейное уравнение регрессии:

Рассчитаем его параметры, используя данные таблиц 1 и 8.

Промежуточные расчеты представим в таблице 9.

Таблица 9. Промежуточные расчеты для показательной функции.

TXiYY
1381,83969,8826962,6326,36810,16740,552
2281,71648,0485249,8932,1074,2234,44
3271,66344,9014648,771-2,7715,6827,68
4371,79966,5636361,2241,7762,9013,155
5461,86385,6987375,128-2,1282,8324,528
6271,68145,3874848,771-0,7711,5810,595
7411,82674,8666767,054-0,0540,080,003
8391,79369,9276264,072-2,0723,2354,295
9281,67246,8164749,893-2,8935,7988,369
10441,82680,3446771,788-4,7886,66922,921

=63,2432

Уравнение будет иметь вид:

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (1).

=930,4;

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации А по формуле (2):

А=0,1*43,170=4,317%

Коэффициент эластичности рассчитаем по формуле (3):

%

Построим график функции с помощью MSExcel.

Рис. 4. График показательного уравнения регрессии.

Построение гиперболической функции.

Уравнение гиперболической функции

Произведем линеаризацию модели путем замены Х=1/х.

В результате получим линейное уравнение:

Рассчитаем параметры уравнения, промежуточные вычисления представим в таблице 10.

Таблица 10. Расчет параметров для гиперболической модели.

TXiYiX=1/xiY*X
138690,026321,815790,0006963,56485,43527,87729,5409
228520,035711,857140,0012850,5781,4222,73462,0221
327460,037041,70370,0013748,7502-2,75025,97877,5637
437630,027031,70270,0007362,58210,41790,66340,1747
546730,021741,586960,0004769,88893,11114,26189,6791
627480,037041,777780,0013748,7502-0,75021,5630,5628
741670,024391,634150,0005966,22560,77441,15590,5998
839620,025641,589740,0006664,4972-2,49724,02786,2362
928470,035711,678570,0012850,578-3,5787,612812,8021
1044670,022731,522730,0005268,5235-1,52352,27382,3209

Уравнение гиперболической модели:

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (1).

=930,4;

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации А по формуле (2):

А=0,1*38,1488=3,81488%

Коэффициент эластичности рассчитаем по формуле (3):

%

Построим график функции с помощью MSExcel.

Рис. 5 График гиперболического уравнения регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать выводы.

Коэффициенты были рассчитаны в задании 8. Для сравнения моделей составим сводную таблицу 11:

Таблица11. Сводная таблица характеристик моделей.

Параметры

Модель

Коэффициент детерминации, RКоэффициент эластичности,(%)Средняя относительная ошибка аппроксимации, А (%)
Линейная0,9170,7883,648
Степенная0,9090,6924,22
Показательная0,8960,8174,317
Гиперболическая0,9230,6383,815

Для всех моделей средняя относительная ошибка аппроксимации не превышает 7%, значит, качество всех моделей хорошее. Коэффициент детерминации более приближен к 1 у гиперболической модели, таким образом, эту модель можно взять в качестве лучшей для построения прогноза. Для гиперболической модели степень связи между факторным и результативным признаком самая низкая, т. к. Имеет наименьшее значение, а для показательной модели самая высокая, т. к. коэффициент эластичности наибольший.


Коэффициент детерминации. Значимость уравнения регрессии