Комплексные числа и действия над ними

Лекция 10

Комплексные числа и действия над ними

Рассмотрим уравнение

.

Среди действительных чисел решений данного уравнения нет. По этой причине, в частности, квадратные уравнения имеют решения только тогда, когда дискриминант такого уравнения неотрицателен. Расширим множество действительных чисел, формально добавив к ним число (мнимую единицу), которая по определению удовлетворяет уравнению . Поскольку мы желаем, чтобы элементы этого расширенного множества можно было бы умножать и складывать, то вместе с мнимой единицей мы автоматически присоединяем к вещественной прямой все возможные комбинации вида

, , .

Совокупность всех чисел называется множеством комплексных чисел. При этом число называется вещественной частью комплексного числа и обозначается как

,

А число называется мнимой частью комплексного числа и обозначается как

.

Удобно изображать комплексные числа в виде точек двумерной плоскости с декартовыми координатами . В этом случае соответствующая двумерная плоскость называется комплексной.

Операции умножения и деления комплексных чисел.

При умножении комплексных чисел используется обычное соглашение о раскрытии скобок (дистрибутивность умножения):

Пример.

.

При делении следует использовать операцию умножения на сопряженное выражение.

Пример.

Комплексному числу можно приписать понятие модуля и аргумента, используя полярные координаты на комплексной плоскости.

Модуль числа равен .

Аргументом числа называется полярный угол , (аргумент является многозначной функцией).

Тригонометрическая форма записи комплексного числа:

, где .

Теперь умножение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, выполняется по формуле

(то есть при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются).

Следствием формулы умножения является следующая формула.

Формула возведения в степень (формула Муавра)

.

Пример.

, , ,

Формула извлечения корня -й степени

, .

Пример. Вычислить .

Запишем в тригонометрической форме:

.

Тогда получаем

При

При

При

Таким образом, всего имеется три комплексных кубических корня из числа :, , .

Формула Эйлера

.

Пример использования.

Вычислить .

Воспользуемся формулой Эйлера для выражения функции через показательную функцию. Имеем:

Откуда

Û.

Следовательно,

,

Откуда

.

Первообразная является вещественной функцией, записанной в комплексной форме Чтобы получить вещественную запись этой функции, вновь воспользуемся формулой Эйлера.

,

Отсюда следует

Ответ: .

Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Рассмотрим уравнение

Где и константы, а функция в правой части уравнения имеет один из следующих трех видов

, , ,

– произвольный многочлен степени . Решение такого уравнения может быть получено следующим образом. Квадратное уравнение

Назовем характеристическим уравнением для нашего уравнения. Пусть , – корни этого квадратного уравнения. Общее решение однородного уравнения

Имеет вид

,

Если , – два различных вещественных числа; имеет вид

,

Если и, наконец, решение имеет вид

,

Если , – комплексно-сопряженные корни характеристического уравнения.

Общее решение неоднородного уравнения может быть получено как сумма общего решения однородного уравнения и произвольного частного решения неоднородного уравнения . Это частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов по следующему правилу.

Сопоставим функции в правой части исходного уравнения число . Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в том же виде, в каком записана правая часть, то есть

Если , и в виде

Если или . Здесь , многочлены степени , коэффициенты которых можно определить, подставив в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях. Если является корнем характеристического уравнения (эта ситуация называется резонансом), то степень многочленов , увеличивается на 1.

Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.

Решение. Сначала найдем общее решение однородного уравнения. Выпишем характеристическое уравнение

Û

Следовательно, общее решение линейного однородного уравнения имеет вид

.

Поскольку корни характеристического уравнения не совпадают с соответствующим показателем правой части , частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

.

Получаем:

,

Подставляя , , в исходное уравнение, получаем:

Сокращая на и приводя подобные, получим

,

,

Откуда

Û

Общее решение неоднородного уравнения имеет, следовательно, вид

.

Теперь найдем решение задачи Коши. Имеем:

,

Поскольку , второе уравнение имеет вид . Решаем систему линейных уравнений на неизвестные и :

Умножая первое уравнение системы на 2 и вычитая из него второе уравнение, получим:

Û.

Далее,

.

Ответ: .

Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:

,

Откуда

,

Где – мнимая единица. Следовательно, , , и общее решение однородного уравнения есть

.

Правая часть исходного неоднородного уравнения имеет то же собственное число, что и характеристическое уравнение, следовательно, мы имеем дело с резонансом. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде

.

Подставляя в исходное уравнение, с учетом того, что

,

Получим:

Откуда

И, следовательно,

, .

Таким образом, частным решением неоднородного уравнения является функция

.

Общее решение неоднородного уравнения может быть записано в виде

.

Найдем константы и , при которых выполнены краевые условия

, .

Так как

,

Получаем систему линейных уравнений на и :

Откуда .


Комплексные числа и действия над ними