Контрольная по теории вероятности

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ

Факультет заочного и послевузовского обучения КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

По дисциплине: “Теория вероятностей и элементы математической статистики”

Воронеж 200 4 г.

Вариант – 9.

Задача № 1.

№№ 1-20. Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью р1 , второй – с вероятностью р2 , третий – с вероятностью р3 . Найти вероятность того, что за время работы: а) все узлы оставались исправными; б) все узлы вышли из строя; в) только один узел стал неисправным; г) хотя бы один узел стал неисправным (см. исходные данные в таблице).

P­ ­1 =0,4 p2 =0,6 p3 =0,9

Решение:

Пусть событие А означает, что первый узел оказался неисправным, В оказался неисправным второй узел и С – оказался неисправным третий узел, тогда – первый узел был исправен в промежуток времени t, – был исправен второй узел, – был исправен третий узел.

А) Пусть событие D означает, что все узлы оставались исправными, тогда . Поэтому, учитывая независимость событий , и , по теореме умножения вероятностей имеем:

Б) Пусть событие Е – все узлы вышли из строя, тогда:

В) Пусть событие F – только один узел стал неисправным, тогда:

События несовместные. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей несовместимых событий, получим:

Г) Пусть событие D1 – хотя бы один узел стал неисправным, тогда:

.

Задача № 2

№39. По линии связи могут быть переданы символы А, В, С. Вероятность передачи символа А равна 0,5; символа В – 0,3; символа С – 0,2. Вероятности искажения при передаче символов А, В, С равны соответственно 0,01; 0,03; 0,07. Установлено, что сигнал из двух символов принят без искажения. Чему равна вероятность, что передавался сигнал АВ?

Решение:

Пусть событие А – передача символа А, событие В – передача символа В, событие С – передача символа С, событие – искажение при передаче символа А, событие и – искажения при передаче символов В и С соответственно.

По условию вероятности этих событий равны:

, , , ,

Если события , и – искажения при передаче символов, то события , и – отсутствие искажений при передаче. Их вероятности:

Обозначим через D событие, состоящее в том, что были переданы два символа без искажений.

Можно выдвинуть следующие гипотезы:

Н1 – переданы символы АА,

Н2 – символы АВ,

Н3 – символы ВА,

Н4 – символы АС,

Н5 – символы СА,

Н6 – символы ВВ,

Н7 – символы ВС,

Н8 – символы СВ,

Н9 – символы СС.

Вероятности этих гипотез:

Условные вероятности события D если имела место одна из гипотез будут:

По формуле Бейеса вычислим условную вероятность с учетом появления события Р :

Задача № 3

№№ 41-60. Найти вероятность того, что в п независимых испытаниях событие появится: а) ровно k раз; б) не менее k раз; в) не более k раз; г) хотя бы один раз, если в каждом испытании вероятность появления этого события равна р (см. исходные данные в таблице).

N=5K=4P=0,8

Решение:

Так как число испытаний невелико, то для вычисления искомой вероятности воспользуемся формулой Бернулли:

, где

Число сочетаний из п элементов по k, q=1- p. В рассматриваемом случае:

А) вероятность появления события ровно 4 раза в 5 испытаниях:

Б) вероятность появления события не менее 4 раз в 5 испытаниях:

В) вероятность появления события не более 4 раз в 5 испытаниях:

Г) вероятность появления события хотя бы один раз в 5 испытаниях:

Задача № 4

№№ 61-80. Дана плотность распределения f( x) случайной величины Х. Найти параметр а, функцию распределения случайной величины, математическое ожидание М[Х], дисперсию D[ X], вероятность выполнения неравенства х1 < x< x2 , построить график функции распределения F( x).

Решение:

Для определения параметра а воспользуемся основным свойством плотности распределения:

, так как при плотность распределения равна нулю, то интеграл примет вид: или , откуда

;

Функция распределения связана с функцией плотности соотношением:

Откуда получим:

Математическое ожидание и дисперсию определим по формулам:

Вероятность выполнения неравенства <x< определим по формуле: Р( < x< )= F( ) – F( )=

Задача №5

№№ 81-100. Найти вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины, если известны ее математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение (см. исходные данные в таблице).

A = 10B = 22A = 8S = 6

Решение:

Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой:

Здесь – функция Ломпаса, значения которой определяются по таблице. Учитывая, что функция Ф(х) нечетная, получим:


Контрольная по теории вероятности