Контрольная работа

№385. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

По определению несобственного интеграла имеем:

Интеграл сходится.

№301. Найти неопределенный интеграл.

Представим подинтегральную функцию в виде слагаемых

№522. Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Понизим порядок дифференциального уравнения, т. е. введем новую функцию, тогда

И получаем уравнение

Это линейное уравнение первого порядка.

Введем новые функции u=u(x) и v=v(x).

Пусть, тогда, т. е.

(1)

Предположим, что функция такова, что она обращает в тождественный нуль выражение, стоящее в круглых скобках уравнения (1) т. е., что она является решением дифференциального уравнения.

Это уравнение с разделяющимися переменными

Здесь

Подставляем значение v в уравнение (1), получаем

Следовательно,

а т. к. , то

Решим отдельно интеграл

, тогда

общее решение данного дифференциального уравнения.

Найдем частное решение при заданных условиях

Т. к. , то

Т. к. , то

– частное решение при заданных условиях.

№543. Даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Составим характеристическое уравнение

Т. к. , то общее решение запишется в виде

Найдем частное решение т. к. в правой части стоит, то

Найдем и

Подставим значение и в данное уравнение, получим:

Общее решение данного дифференциального уравнения.

Найдем частное решение при заданных начальных условиях

, т. к. , то

, т. к. , то

Решаем систему

И

– частное решение при заданных начальных условиях.


Контрольная работа