Краткое доказательство гипотезы Биля

Гипотеза Биля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение:

Аx +Вy = Сz /1/

Не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, x, y и z при условии, что x, y и z больше 2.

Суть гипотезы Биля не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:

Аx = Сz – Вy /2/

Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром Aи переменными Bи С.

Уравнение /2/ запишем в следующем виде:

Аx = (С0,5z ) 2 – (В0,5y ) 2 /3/

Обозначим:

В0,5y =V/4/

С0,5z =U/5/

Отсюда:

Вy =V2 /6/

Сz =U2 /7/

В = /8/

С = /9/

Тогда из уравнений /2/, /6/ и /7/ следует:

Аx = Сz – Вy =U2 – V2 /10/

Уравнение /10/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:

Аx = (U-V) ∙ (U+V) /11/

Для доказательства гипотезы Биля используем метод замены переменных. Обозначим:

U-V=X/12/

Из уравнения /12/ имеем:

U=V+X/13/

Из уравнений /11/, /12/ и /13/ имеем:

Аx = X – (V+X+V) =X (2V+X) =2VХ+X2 /14/

Из уравнения /14/ имеем:

Аx – X2 =2VХ/15/

Отсюда:

V=/16/

Из уравнений /13/ и /16/ имеем:

U= /17/

Из уравнений /8/, /9/, /16/ и /17/ имеем:

B= /18/

C = /19/

Из уравнений / 18/ и /19/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа А на число X, т. е. число Xдолжно быть одним из множителей, входящих в состав множителей числа А. Другими словами, число А должно быть равно:

A = N∙ X, /20/

Где N – простое или составное целое положительное число.

Из уравнений / 18/ и /19/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел Aи X: оба числа должны быть четными или оба нечетными.

Из уравнений / 18/, /19/ и /20/ следует:

В= /21/

C= /22/

Обозначим:

P = /23/

Q = /24/

Тогда:

B = /25/

С = /26/

Из уравнений /23/ и /24/ имеем:

Q = /27/

Таким образом, из уравнений /26/ и /27/ следует:

С = /28/

Из анализа уравнений /25/ и /28/ следует, что поскольку разность между числами Pи Qравна всего лишь:

Q – P = P + 1 – P = 1, /29/

То по меньшей мере одно из чисел В или С является дробным числом.

Допустим, что число В – целое число.

ПРИМЕРЫ: X=33 = 27; P = 53 =125; y=6.

По формуле /25/ имеем:

B = =.

Тогда:

При z=6: С = = – дробное число.

При z=5: С = = – дробное число.

При z=4: С = = – дробное число.

При z=3: С = = – дробное число.

При z=7: С = = – дробное число.

Очевидно, что если (am)2 = a2m, то (am + 1)2 ≠ b2m,

Где: a – целое число;

B – целое число.

Таким образом, одно из чисел В или С – дробное число. Следовательно, гипотеза Биля не имеет решения в целых положительных числах.


Краткое доказательство гипотезы Биля