Математические методы исследования экономики системы массового обслуживания

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Кафедра “Высшей математики”

Расчетно-графическая работа по теме:

Математические методы исследования экономики.

(системы массового обслуживания)

Выполнила: ХХХХХХХХ. Проверил: ХХХХХХ Дата

Студент групп ХХХХ Оценка:

Данная работа представляет собой анализ системы массового обслуживания. В ней проводится расчет основных показателей СМО, которые непосредственно влияют на ее работу.

Целью данной расчетно-графической работы является получение теоретических и практических знаний и навыков по анализу систем массового обслуживания (на примере продуктового магазина).

При проведении анализа были использованы элементы теории массового обслуживания, а так же элементы теории вероятностей и математической статистики.

Визитная карточка организации

Информация о рассматриваемой системе массового обслуживания (СМО).

Наименование организации:

Род деятельности: продуктовый магазин

Место расположения:

Время работы: с 8.00 до 23.00, без обеда и выходных

Необходимые данные для анализа системы:

Рассматриваемый промежуток времени:

Рассматриваемое количество обслуживающих приборов:

2

Рассматриваемые дни:

Дни с понедельника по воскресенье включительно.

Рассматриваемый промежуток времени:

17.00 – 19.00

(период наибольшей загруженности системы)

Рассматриваемая единица времени: t = 7,1 минут

X1 , X2 , …, Xn – число поступивших клиентов в единицу времени.

Y1 , Y2 , …, Yn – количество обслуженных клиентов в течение единицы времени.

XY
106
74
54
86
75
54
65
86
74
54
54
86
44
76
55
96
54
76
85
55
86
55
75
86
64
64
86
76
55
76

Проверив данные выборки на подтверждение гипотезы о том, что они из распределения Пуассона, получаем результат: По Х и по У гипотеза подтверждается.

Согласно проверенным выше гипотезам, мы описываем систему массового обслуживания вида:

<М│М│2> (с очередью).

Где: <М│ – функция распределения промежутка времени между приходами вызовов (т. е. характеристика входного потока);

│М│ – функция распределения времени обслуживания (т. е. характеристика времени обслуживания);

│2> – число приборов в системе;

(с очередью) – дисциплина обслуживания.

λк = λ

μк =

λк = 6,6

μк =

Проанализируем полученные выборки как выборки из распределения Пуассона.

Пусть X (t ) – число клиентов в системе в момент t с характеристиками:

Где λ k – интенсивность поступления клиентов :

– среднее число клиентов, поступивших в систему, когда система находится в состоянии k в единицу времени.

µ k – интенсивность обслуживания клиентов :

– характеризует среднее число обслуженных клиентов в системе, когда система находится в состоянии k в единицу времени.

Следовательно:

– интенсивность поступления клиентов в систему.

– интенсивность обслуживания клиентов.

Определим основные характеристики системы:

Определим коэффициент загруженности системы :

, следовательно, условие стационарности выполняется, так как

В условиях существования стационарного режима

S = 3.3

– доля времени простоя

(1.29k / k!) * 0.23, 0≤ к≤ 2

Pk = (1.29k / 2*2k-2 ) * 0.23, к > 2

– вероятность того, что в системе k клиентов

Рз = рm / (m-1)!(1+S)(m-p) = 1,292 /( 2-1)!(1+3,3)(2-1,29) = 0,545

– вероятность, что все приборы заняты

Eq = Рз / µ( m – p) = 0,545 /5,1*( 2-1,29) = 0,151 единицы времени,

Т. е 0,151*7,1 =1,072 минуты в среднем клиент проводит в очереди

Ev = Eq +1/µ = 0.151 * 1/5.1 = 0.229 единицы времени.

Т. е. 0,229*7,1 = 1,626 минуты клиент в среднем пребывает в системе

Ex = λ* Ev = 6,6*0,229 = 1,51- среднее число клиентов в системе в единицу времени (7,1 минут).

Для того чтобы система массового обслуживания работала эффективно, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

P0 ≤ 0,1

Для рассматриваемой системы P0 = 0,23 > 0,1 , это означает, что система работает с чрезмерным простоем и несет тем самым финансовые потери.

Следующее условие, которое должно выполняться:

,

То есть должно выполняться: Eq ≤ 0,392, а в нашем случае Eq = 0,151 единицы времени, то есть условие выполняется.

Рассчитаем значение μ, необходимое для снижения времени простоя системы.

; ; ; ; µ ( 3,3; 4,02]

Прежде чем заново рассчитывать характеристики системы, решим неравенство

µ ( – оо;4,02][4,02;+оо)

И посмотрим пересечение интервалов значения , при фиксированном значении. Решением системы неравенств является единственное значение µ=4,02.

Теперь рассчитаем основные характеристики системы при λ = 6,6 и скорректированном значении µ=4,02.

Р = 6,6/4,02 = 1,64

S = 15.1

P0 = 1/1+S = 0.061 доля временипростоя

(1.64k / k!) * 0.061, 0≤ к≤ 2

Pk = (1.64k / 2*2k-2 ) * 0.061, к > 2

– вероятность того, что в системе k клиентов

Рз = рm / (m-1)!(1+S)(m-p) = 1,642 /( 2-1)!(1+15,1)(2-1,64) = 0,46

– вероятность, что все приборы заняты

Eq = Рз / µ( m – p) = 0,46 /4,02*( 2-1,64) = 0,32 единицы времени

Т. е 0,32*7,1 =2,25 минуты в среднем клиент проводит в очереди

Ev = Eq +1/µ = 0.32 * ¼,02 = 0.569 единицы времени.

Т. е. 0,569*7,1=4,04 минуты клиент в среднем пребывает в системе

Ex = λ* Ev = 6,6*0,569 = 3,75

– среднее число клиентов в системе.

Теперь поставленные условия выполняются:

P0 ≤ 0,1 ( Р0 = 0,061)

( Eq =0,32< 2/4,02; Eq = 0,32<0,497

Уменьшение интенсивности обслуживания клиентов приводит к увеличению качества обслуживания клиентов за счет уменьшения доли простоя системы. При времени, проводимом клиентом в очереди – 2.25 минуты это должно привести к привлечению клиентов. Следует учесть, что качество обслуживания влияет на спрос отпускаемой продукции исследуемой системы, что приведет к увеличению прибыли предприятия.

Надо уменьшить интенсивность обслуживания клиентов, что поможет привлечь новых клиентов и получить прибыль.


Математические методы исследования экономики системы массового обслуживания