Математическое моделирование

1. Постановка задачи и анализ исходных данных

Основная цель фирмы заключается в максимизации прибыли путем рационального распределения затрачиваемых ресурсов.

Данный курсовой проект ставит перед собой цель выяснить насколько эффективна деятельность фирмы в долгосрочном периоде при выборе вектора х=(х1 ,х2 ) затрат из пространства затрат.

Поэтому задача максимизации прибыли в долговременном промежутке имеет следующий вид;

PR=p(x1 ,x2 )* f(x1 ,x2 )-c(x1 ,x2 ) max (х1 ,х2 > 0),где

P(х1 ,х2 ) – функция спроса;

F(х1 ,х2 ) – производственная функция выпуска;

С(х1 ,х2 ) – функция затрат.

Будут использоваться данные:

КАПИТАЛТРУДВЫПУСКЦЕНАЗАТРАТЫ
1,051,031,5025,445,10
2,002,904,2015,1110,20
3,006,007,4310,6019,40
4,009,009,608,5727,00
5,0012,0012,157,3436,00
6,0015,3015,756,4542,60
7,0018,0018,455,8750,00
8,0021,0021,455,3958,00
9,0024,0024,305,0066,00
10,0027,0026,854,6774,00
11,0030,0030,154,4082,00
12,0033,0033,004,1790,00
13,0036,0036,753,9799,00
14,0039,0041,283,79107,00
15,0042,0042,303,63120,00

Зависимые переменные : выпуск, цена, затраты.

Независимые переменные: капитал (х1 ) и труд (х2 ), которые удовлетворяют выше приведенным условиям.

Исходя из заданных данных необходимо определить вид и параметры функций спроса, затрат и производственной функции выпуска.

Определение вида и параметров функции спроса, достоверности параметров, качества регрессии.
Функция спроса – функция цены выпускаемой продукции в зависимости от объемов затрачиваемых ресурсов.
КАПИТАЛТРУДЦЕНАLN x1LN x2LN y
1,051,0325,440,050,033,24
2,002,9015,110,691,062,72
3,006,0010,601,101,792,36
4,009,008,571,392,202,15
5,0012,007,341,612,481,99
6,0015,306,451,792,731,86
7,0018,005,871,952,891,77
8,0021,005,392,083,041,68
9,0024,005,002,203,181,61
10,0027,004,672,303,301,54
11,0030,004,402,403,401,48
12,0033,004,172,483,501,43
13,0036,003,972,563,581,38
14,0039,003,792,643,661,33
15,0042,003,632,713,741,29
12,62-38,5950,48-0,36-0,233,2626,00
3,199,518,900,000,000,001,00
0,832,60#Н/Д1,000,00#Н/Д
29,1412,00#Н/Д8736032,7512,00#Н/Д
393,6181,06#Н/Д4,350,00#Н/Д
Значение распределения СтьюдентаЗначение распределения Стьюдента
3,95-4,065,67-280,59-132,267866,8025,99
Критическое значение СтьюдентаКритич. Знач. Стьюдента=стьюдраспобр
2,182,18
ДостоверенДостоверенДостоверенДостоверенДостоверенДостоверен
Критическое распределение ФишераКритическое распределение Фишера
0,000021,04959E-37
29,14>0,000028736032,75>1,04959Е-37
R2 – достоверенR2 – достоверен
Выбираем степенную ф-ю т. к. у степенной ф-ции три достоверных параметра. Коэф. Детерминации равен 1 (1>0,83), Fстатистика больше, чем у линейной (8736032,75>29,14).
P(x1 ,x2 )=P=b0* x1-b1* x2-b2Параметры:B0B1B2
26,00-0,23-0,36
Определение вида и параметров функции затрат, достоверности параметров, качества регрессии.
Функция затрат – функция от двух переменных – факторов производства – капитала и труда.
КАПИТАЛТРУДЗАТРАТЫ
1,051,035,10
2,002,9010,20
3,006,0019,40
4,009,0027,00
5,0012,0036,00
6,0015,3042,60
7,0018,0050,00
8,0021,0058,00
9,0024,0066,00
10,0027,0074,00
11,0030,0082,00
12,0033,0090,00
13,0036,0099,00
14,0039,00107,00
15,0042,00120,00
1,962,210,00
0,300,82#Н/Д
1,001,54#Н/Д
3818,5613,00#Н/Д
18116,8230,84#Н/Д
Значение распределения Стьюдента
6,542,70#Н/Д
Критическое значение Стьюдента
2,16
ДостоверенДостоверен
Критическое распределение Фишера
9,92626E-19
3818,56>9,92626Е-19
R2 – достоверен
Функция затрат имеет вид линейной функции.C(x1 ,x2 )=C=c1* x1 +c2* x2
Параметры:C1C2
2,211,96
Оптимизация
Общая постановка задачи:
Определив вид и параметры функций спроса, производственной функции и функции затрат, мы можем преобразовать уравнение прибыли соответственно с нашим решением.
A01,54B026,00КАПИТАЛТРУДF(x1 ,x2 )=F
A10,43B1-0,23C12,211,051,031,60
A20,57B2-0,36C21,962,002,903,81
3,006,006,86
PR=p(x1 ,x2 )* f(x1 ,x2 )-c(x1 ,x2 )Прибыль (1)4,009,009,78
Найденные уравнения регрессии:5,0012,0012,68
P(x1 ,x2 )=P=b0* x1-b1* x2-b2Ф-я спроса (5)6,0015,3015,75
F(x1 ,x2 )=F=a0* x1a1* x2a2Произв. ф-я (6)7,0018,0018,47
C(x1 ,x2 )=C=c1* x1 +c2* x2Ф-я затрат (7)8,0021,0021,36
Из этого следует, что9,0024,0024,24
PR=a0* b0* x1(a1+b1)* x2(a2+b2) – c1 x1 – c2 x210,0027,0027,13
Далее решим систему уравнений11,0030,0030,01
QPR/qx1 =0(2)12,0033,0032,89
QPR/qx2 =013,0036,0035,78
14,0039,0038,66
Решение :15,0042,0041,54
A0* b0* (а1 +в1 )* x1(a1+b1-1)* x2(a2+b2) – c1 =0
A0* b0* x1(a1+b1)* (а2 +в2 )* x2(a2+b2-1) – c2 =0
При упрощении выражения получается уравнение вида:
X2 /x1 =(c1* (a2 +b2 ))/(c2 (a1 +b1 ))
Обозначим правую часть уравнения через коэффициент К:
X2 /x1 =KК=1,18
Cледовательно:
X2 /x1 =1,18Х1 =х2 /1,18 , х2 =х1* 1,18
Выразив х1 через х2 и решив систему уравнений получаем оптимальные значения х1опт и х2опт
X1o =9,48
X2o =11,20
Для проверки правильности нахождения экстремума необходимо произвести расчет по формулам ( 3) и ( 4 ):
Q2 PR(x1 ,x2 )/qx12 <0Для оптимальных значений х1 ,х2( 3 )
Подставив свои значения получаю формулу:
А0 *в0 *(а1 +в1 )*(а1 +в1 -1)*х1(а1+в1-2) *х2(а2+в2) <0-0,19<0
(q2 PR(x1 ,x2 )/qx12 )*(q2 PR(x1 ,x2 )/qx22 )-(q2 PR(x1 ,x2 )/qx1 х2 )2 >0( 4 )
Представим формулу в виде:А*В-D2 >0
А=а0 *в0 *(а1 +в1 )*(а1 +в1 -1)*х1(а1+в1-2) *х2(а2+в2)
В=а0 *в0 *(а2 +в2 )*(а2 +в2 -1)*х1(а1+в1) *х2(а2+в2-2)
D=а0 *в0 *(а1 +в1 )*(а2 +в2 )*х1(а1+в1-1) *х2(а2+в2-1)
Найдем значения А, В и D :
А =-0,19
B =-0,14
D =0,04
Подставим эти значения в формулу:0,024>0
Вывод:Найденные значения х1опт и х2опт являются оптимальным решением системы уравнений.
При подстановке этих значений мы получим максимум прибыли(1) и максимум выпуска (5)61,37
6,50
График прибыли от двух переменных
PR=f(х1 ,х2 )

Построение графиков изоквант и изокост.
КапиталТрудИзоквантаИзоклинальИзокостаПараметры
1,051,0358,901,2420,71
2,002,9036,232,3619,63А01,54
3,006,0026,683,5418,51А10,43
4,009,0021,474,7317,38А20,57
5,0012,0018,155,9116,25С12,21
6,0015,3015,827,0915,12С21,96
7,0018,0014,088,2714,0016,05
8,0021,0012,739,4512,87
9,0024,0011,6510,6311,74G опт0,89
10,0027,0010,7611,8110,61
11,0030,0010,0113,009,49С042,90
12,0033,009,3814,188,36
13,0036,008,8315,367,23Х1опт9,48
14,0039,008,3516,546,10Х2 опт11,20
15,0042,007,9217,724,98В026,00
В1-0,23
В2-0,36
Для построения графиков используются расчеты по следующим формулам:
ИзоквантаХ2 (х1 )=(у0 /(а0 *х1a1 )^(1/a2 )
ИзоклинальX2 (x1 )=gопт.*(a2 /a1 )*x1
ИзокостаX2 (x1 )=(c0 – c1 *x1 )/c2
А также:
Оптимальный выпускУ0 =а0 *х1опт. a1 *x2опт. a2
Предельная норма замещенияGопт.=(a1 *x2опт )/(а2 *х1опт )
Затраты оптимального вариантаС0 =с1 *х1опт. +с2 *х2опт.

Анализ свойств производственной функции и возможности замещения ресурсов.
A01,54Капитал x1Труд x2ПЭ по х1ПЭ по х2FЕ х1Е х2ПНЗ g
A10,431,051,030,650,891,600,430,570,74
A20,572,002,900,820,753,810,430,571,09
B026,003,006,000,980,656,860,430,571,51
B1-0,234,009,001,050,629,780,430,571,70
B2-0,365,0012,001,090,6012,680,430,571,81
C12,216,0015,301,130,5915,750,430,571,92
C21,967,0018,001,130,5818,470,430,571,94
8,0021,001,150,5821,360,430,571,98
X1o =9,489,0024,001,160,5824,240,430,572,01
X2o =11,2010,0027,001,170,5727,130,430,572,04
11,0030,001,170,5730,010,430,572,06
12,0033,001,180,5732,890,430,572,07
13,0036,001,180,5735,780,430,572,09
14,0039,001,190,5738,660,430,572,10
15,0042,001,190,5641,540,430,572,11
Оптима9,4811,200,730,8216,050,430,570,89
Оптимальное расчитано для оптимальных значений х1 ,х2
Предельная эффективность характеризует отношение прироста выпуска продукции к малому приросту количества производственного ресурса.
ПЭ1 – Предельная эффективность ресурса х1Qf/qx1 >=0
ПЭ1 =а0 *а1 *х1(а1-1) *х2а2
ПЭ2 – Предельная эффективность ресурса х2Qf/qx2 >=0
ПЭ2 =а0 *а2 *х1а1 *х2(а2-1)
Вывод: Проанализировав расчеты в таблице можно увидеть, что малый прирост капитала ведет к увеличению прироста выпуска, а прирост труда ведет к его уменьшению.
F-Функция выпускаF=а0 *х1а1 *х2а2
Помимо предельной эффективности в качестве характеристики изменения выпуска продукции при увеличении затрат ресурсов используют также отношение этих величин, которое принято называть эластичностью выпуска по отношению изменения затрат i-го ресурса.
Эластичность выпуска показывает на сколько процентов возрастет объем продукции при увеличении затрат ресурсов на 1 % по отношению к изменению затрат.
Еi – Эластичность выпуска по ресурсу хiEi (x)=xi /f(x)*qf/qxi
Е1 – Эластичность выпуска по ресурсу х1E1 =(х1 /F)*а0 *а1 *х1(а1-1) *х2 а2
Е2 – Эластичность выпуска по ресурсу х2E2 =(х2 /F)*а0 *а2 *х1а1 *х2(а2-1)
Вывод: Наша производственная функция характеризуется постоянной эластичностью выпуска по отношению к изменению ресурсов.
Предельная норма замещения одного ресурса другим ( величина g) показывает сколько второго ресурса может быть высвобождено при увеличении затрат первого ресурса, если выпуск продукции остается неизменным.
G-Предельная норма замещенияG=qx2 /qx1 =(qf/qx1 )/(qf/qx2 )
G=(а1 *х2 )/(а2 *х1 )
Производственная функция характеризуется определенной отдачей от расширения масштабов производства. Последняя характеризует изменение выпуска продукции при пропорциональном изменении затрат ресурсов и выражена математически в умножении всех компонентов вектора х на скаляр t. Скалярная функция f(x) является однородной функцией степени d, если для любого вектора х и любого скаляра t она удовлетворяет соотношению :
0<t<1F(tx)=td f(x)
F(x)=а0 *х1а1 *х2а2F(tx)=а0 *(t*х1 )а1 *(t*х2 )а2 =t(a1+a2) *а0 *х1а1* х2а2D=a1 +a2
D=1,00, т. е. d=1
Вывод :Функция характеризуется постоянной отдачей от расширения масштаба производства.
Для характеристики последствий изменения масштаба производства вводят показатель Е(х) , называемый эластичностью производства и определяемый следующим образом:
E(x)=LimTQf(tx)
T 1F(tx)Qt
Этот показатель характеризует процентное изменение выпуска продукции при изменении масштаба производства на 1% при данной структуре ресурсов х.
Т. к. f(tx)=td f(x),тоЕ(х)=d=1

Математическое моделирование