Математика как универсальный язык науки

Ставропольский государственный университет

Кафедра исторических и философских наук

РЕФЕРАТ

На

Тему:

“Математика как универсальный язык науки”

Выполнила: Студентка 1 курса, факультета психологии,

Специальности педагогика и психология, группы А,

Проверила:

Г. Ставрополь 2010г.

Содержание.

1. Введение

2. Математизация наук

3. Математика в естествознании

4. Литература

1.Введение

Вначале вспомогательное средство расчета, математика превратилась в абсолютно необходимого помощника всех крупнейших исследований нашего времени. Более того, оказалось, что на определенных этапах развития знаний математика является единственным средством познания и, подобно скальпелю хирурга, помогает проникать во внутренние свойства изучаемых объектов.

Известный российский математик Б. В. Гнеденко пишет: “В наше время математизация знаний совершает своеобразный победный марш. Многие области науки и практики, до самого последнего времени находившиеся вдали от использования математических средств исследования, теперь усиленно стремятся наверстать упущенное. Причина этого, конечно, заключается не в преходящей моде, а в том, что чисто качественное исследование явлений природы, экономики, врачебного дела, организации производства, как правило, оказывается недостаточным.”

Математика развивается. Она развивается, как пишет А. Тарский, во всех трех направлениях. Она растет в вышину, т. к. на почве старых, насчитывающих века и тысячелетия теорий возникают новые проблемы. Она растет в ширину, потому, что проникает в другие науки, захватывая все новые ряды явлений. Наконец, она растет в глубину, поскольку все прочнее утверждаются ее основы, совершенствуются методы и упрочиваются принципы. Но развитие математики неизбежно влечет развитие всех математизированных наук.

Никто не в состоянии дать однозначный ответ на вопрос, упорядочена ли природа, заложен ли в ее основе некий план. Но можно с полной уверенностью заявить, что самый могущественный из созданных человеком инструмент – математика – позволяет нам достичь определенного понимания сложного и разнообразного мира природных явлений.

2. Математизация наук

Леонардо да Винчи, Иммануил Кант, Карл Маркс и другие философы, пытаясь определить, что же такое наука, пришли к выводу, что в любом учении научного ровно столько, сколько в нем математического. Поэтому процесс математизации неизбежен для преобразования любой отрасли знания в науку.

Есть один расхожий афоризм “Математика – это искусство давать одно и то же имя разным вещам”. Специфика математического знания заключается в том, что математики не изучают непосредственно действительность, они изучают ее с помощью абстрактных объектов, которые являются идеальными моделями, образами реальных предметов и явлений. Более того, многие абстрактные объекты возникают в математике, не имея своего реального прообраза; иногда, уже после того, как объект возник и изучен в математике, находится реальный предмет, который может быть его прообразом. Так, Лобачевский изобрел гиперболическую геометрию “на бумаге” и только после его смерти был найден реальный объект – псевдосфера – на котором выполнялись законы геометрии Лобачевского. В тот момент, когда Эйнштейн предложил теорию относительности, геометрия Лобачевского уже была хорошо разработана, что позволило теории относительности развиться очень быстро.

Изучение математиками абстрактных объектов приводит к тому, что два, казалось бы, совершенно разных явления, можно описать одинаковыми математическими моделями. Возникая в одной практической задаче, абстрактный математический объект живет своей жизнью, изучается, приходит время и он становится нужен в совершенно другой своей ипостаси. Абстрактный объект возвращается в практику, но уже хорошо изученный. Нечто подобное произошло в XX веке, когда одной из главных наук-заказчиц прикладной математики стала экономика. Многие результаты в экономике возникли простой переформулировкой естественнонаучных результатов, полученных с помощью математических методов.

Не надо считать, что математизация – это простое применение каких-нибудь расчетов. Философ, исследователь связи математики с другими науками Сухотин исторически выделяет 3 этапа математизации науки:

1. Описательно-количественная обработка материала наук.

2. Математическое моделирование изучаемого объекта (это позволяет заменить исследование методом проб и ошибок целенаправленным изучением, раскрыть прогнозирующие функции математики).

3. Построение математической теории определенного класса (благодаря чему появились дисциплины типа математическая физика, математическая лингвистика, математическая биология и т. д.)

Как мы видим, количественное описание – лишь ранний этап математизации любой науки. Все естественные и некоторые гуманитарные науки вступили уже во второй этап – этап математического моделирования. Существуют адекватные математические модели, описывающие очень большой класс явлений: от процесса распространения слухов до аэродинамических течений, возникающих под крылом самолета в момент отрыва от земли.

В современном мире математизация науки часто проявляется как компьютеризация. Задачи, которые ставят науки перед математикой так и звучат: “Как эффективно на компьютере просчитать такой-то процесс?”, “Как смоделировать на компьютере поведение такого-то объекта?” Это, как и сама математизация, тоже естественный процесс. С появлением ЭВМ у математиков появилась возможность в считанные минуты проводить вычисления, на которые раньше потребовались бы годы. Кроме того, у всех ученых появилась возможность самые нудные и неинтересные (автоматизируемые) этапы познания “сгрузить” на компьютеры, освободив тем самым время для творческой деятельности.

Конечно же, влияние математики на другие отрасли знания сказывается прежде всего в том, что она поставляет аппарат количественной переработки конкретного материала наук. Методы, возникшие в других дисциплинах, нередко выходят за пределы специальной области, но отличие математических методов состоит в том, что они применяются повсеместно, не зная исключений. Это и делает математику особой наукой, обладающей универсальным назначением, даже не наукой, а, как часто говорят, универсальным языком науки.

3.Математика в естествознании

Нельзя не отметить огромную роль, которую математика играет и играла в различных отраслях естествознания. Развитие современного естествознания, особенно, конечно, физики, немыслимо без применения математического аппарата.

Естествознание – комплекс наук о естественном, реальном мире. Говоря о математизации и о роли математики в познании, нельзя не отметить связь между математикой и естественными науками.

Один из первых ключевых моментов влияния математики на развитие естествознания – признание гелиоцентрической системы мира. Сейчас ни у кого не вызывает удивления утверждение о том, что Земля вращается вокруг Солнца, но во времена Коперника (XVI век) общепринятой была геоцентрическая система. Изучая движение небесных тел, Коперник предложил гелиоцентрическую гипотезу, а основным аргументом в ее пользу было то, что при этом возникают “чудесные математические упрощения”. В средние века одним из основополагающих принципов развития любой науки был принцип, сформулированный Уильямом Оккамом в начале XIV века, “бритва Оккама”, который гласил, что “природа довольствуется простотой и не терпит пышного великолепия излишних причин”. Коперник сам не дожил до признания учеными его гипотезы, но основным аргументом в ее пользу и сейчас является заметное упрощение уравнений движения планет.

Гелиоцентрическая теория восторжествовала, как в дальнейшем и многие другие теории, которые либо противоречили нашему чувственному опыту, либо вынуждали нас признавать физические реалии, не воспринимаемые нашими органами чувств. Важную роль в этом сыграла математика, которая начиная с XVII в. заняла ведущее место в физической науке, что привело к значительным увеличению результативности этой науки. Это произошло благодаря двум “гигантам”: Декарту и Галлилею. Они как бы реформировали саму природу научной деятельности. Они критически пересмотрели понятия, которыми должна оперировать наука, по-новому определили цели и задачи научной деятельности и даже изменили саму методологию науки. “Новые цели и новая методология не только придали естествознанию небывалую силу, но и провозгласили нерасторжимый союз с математикой”. Декарт провозгласил четыре правила, которые гарантируют получение точного знания:

1. Не принимать за истинное что бы то ни было, прежде чем не признал это несомненно истинным (т. е. избегать поспешности суждений и предубеждения).

2. Делить каждую из рассматриваемых трудностей на столько частей, на сколько потребуется, чтобы лучше их разрешить.

3. Руководить ходом своих мыслей, начиная с предметов простейших и легко познаваемых, и восходить мало-помалу до познания наиболее сложных.

4. Делать всюду настолько полные перечни и такие общие обзоры, чтобы быть уверенным, что ничего не пропущено.

Декарт сделал вывод о том, что именно математический метод открывает перед человеком путь к постижению законов природы, и обосновал его. Он писал о математике “Это более мощный инструмент познания, чем все остальные, что дала нам человеческая деятельность, ибо он служит источником всего остального”.

Всесилие человеческого разума, неизменность законов природы, учение о протяженности и движении как сущностях физических объектов, различие между качествами, реально присущими объектам, и качествами, лишь кажущимися, а в действительности рожденными реакцией разума на чувственные данные, – все эти идеи, подробно развитые в сочинениях Декарта, оказали влияние на формирование современного мышления.

Галилей также предложил свою философию естествознания. Она имела немало общего с философией Декарта, но оказалась более радикальным и эффективным руководством к действию. Выдвинутый Галилеем грандиозный план прочтения “книги природы” провозгласил совершенно новую концепцию целей научного исследования и определил роль математики в достижении этих целей. “Именно с предложенного Галилеем плана исследования и постижения природы берет начало современная математическая физика.”

Галилей придерживался мнения о том, что природа сотворена по математическому плану. Он писал: “Философия природы написана в величайшей книге,… но понять ее сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана эта книга на языке математики”.

Дерзкий новаторский подход Галилея, развитый его последователями, состоял в том, чтобы получить количественные описания явлений, представляющих научный интерес, независимо от каких бы то ни было физических объяснений. Т. е. Галилей предлагает выводить формулы, описывающие поведение физических тел, не вдаваясь в причины такого поведения. Сама по себе эта идея поначалу не производит особого впечатления. Много ли проку в математических формулах? Ведь они ничего не объясняют. Они просто описывают происходящее на точном языке. Тем не менее именно эти формулы оказались наиболее ценным знанием, которое людям удалось получить о природе. Поразительные практические и теоретические достижения современной науки стали возможны вследствие того, что человечество накопило количественное описательное знание и научилось пользоваться им, а отнюдь не благодаря метафизическим, теологическим и даже механистическим объяснениям причин наблюдаемых явлений.

Именно на плечах таких гигантов, как Декарт и Галилей и стоял Ньютон. Именно в соответствии с принципом Галилея, Ньютон открыл закон всемирного тяготения – закон количественный, а не качественный. Вопреки широко распространенному мнению о якобы полной “понятности” силы тяготения, никому еще не удалось объяснить ее физическую сущность. Но возможность получения математических следствий из количественного закона принесла столь богатые плоды, что эту процедуру стали считать неотъемлемой частью физики. Понимание физических причин явления было принесено в жертву математическому описанию и математическому предсказанию. Наша неспособность понять природу гравитации еще раз подчеркивает мощь математики.

Со временем влияние математики в науке растет. Если Ньютону пришлось создать дифференциальное исчисление для целей физики, то Максвелл уже чисто умозрительно вывел свои уравнения, показав, что математика может идти впереди эксперимента.

Новый этап в развитии физики начался с открытием Эйнштейном теории относительности. В этом великом физическом открытии тоже в некоторой степени повинна математика. На протяжении долгих лет математики “не доверяли” десятой аксиоме Евклида. Даже сам Евклид сомневался в правильности ее формулировки: уж больно сложно и запутанно она звучала. Около двух тысяч лет математики пытались предложить другую, более простую, формулировку этой аксиомы, либо вывести ее из остальных девяти аксиом (доказав тем самым ее ненужность). Но, наконец, в 1825 году Н. И. Лобачевский публикует свои первые работы по неевклидовой геометрии. В своих работах он строит непротиворечивую геометрию на десяти аксиомах: девять первых аксиом Евклида и десятая аксиома, которая противоположна десятой аксиоме Евклида. Это доказывает, что десятую аксиому Евклида невозможно вывести из первых девяти аксиом. Однако случилось так, что на протяжении примерно тридцати лет после публикации работ Лобачевского и Бойаи математики игнорировали неевклидову геометрию, видя в ней своего рода логический курьез. Некоторые были убеждены. что в неевклидовой геометрии непременно должны быть скрыты какие-то противоречия. Другие, даже не отрицая ее логической непротиворечивости, считали ее бессмысленной. И почти все математики выражали уверенность, что геометрия реального пространства, настоящая геометрия, – это геометрия Евклида. Впрочем, до создания теории относительности их позиция была вполне объяснима.

Позднее были открыты другие неевклидовы геометрии (ведь можно менять не только десятую аксиому). Существование нескольких альтернативных геометрий само по себе явилось для математиков сильнейшим потрясением, но еще большее недоумение охватило их, когда они осознали, что невозможно с абсолютной уверенностью отрицать применимость неевклидовой геометрии к физическому пространству. Вопрос о том, что же нам достоверно известно о физическом пространстве, впервые был поставлен Риманом (1868г.). Тогда же он высказал революционную гипотезу о том, что свойства пространства (например, его кривизна) могут меняться от точки к точке. Риману не удалось развить эту гипотезу, но ее подхватил Клиффорд, который предположил, что некоторые физические явления обусловлены изменениями кривизны пространства, что кривизна пространства меняется не только от точки к точке, но и со временем (вследствие движения материи). Клиффорд уподобил вселенную поверхности в среднем плоской, но с небольшими неровностями. Он предположил также, что гравитационные эффекты обусловлены кривизной пространства. Заметки Гаусса (1855) и работа Римана (1868) убедили некоторых математиков в том, что неевклидова геометрия вполне может отражать реальность. Постепенно неевклидова геометрия и вытекающее из нее следствие относительно физической истинности этой геометрии были признаны всеми математиками, но отнюдь не потому, что ее применимость была подтверждена какими-либо новыми данными. Настоящую причину признаний такого рода указал Макс Планк: “Обычно новые истины побеждают не так, что их противников убеждают и они признают свою неправоту, а большей частью так, что противники эти постепенно вымирают, а подрастающее поколение усваивает истину сразу”. Как уже было написано, Ньютон предложил закон всемирного тяготения и показал, что один и тот же количественный закон охватывает все земные и небесные проявления гравитационного взаимодействия, однако физическая природа гравитации оставалась непонятной. Физики обходили еще одну проблему, появившуюся с введением силы тяготения. Каждый физический объект обладает двумя физическими свойствами: весом и массой. Масса характеризует сопротивление, оказываемое телом любому изменению в скорости как по величине, так и по направлению. Вес – это сила, с которой земля притягивает тело. Хотя на Луне и на Земле масса тела одинакова, вес тела на Луне в 5 раз меньше веса этого же тела на Земле, а в открытом космосе вообще наблюдается невесомость. Хотя эти свойства материи – вес и масса – различны, отношение веса к массе в данной точке всегда одно и то же. Однако до Эйнштейна объяснить это никому не удавалось.

По словам Гете, величайшее искусство как в теории, так и в практической жизни состоит в том, чтобы превратить проблему в постулат. Так и поступил Эйнштейн в 1905г., предложив свою специальную теорию относительности. Одно из принципиально новых положений специальной теории относительности – концепция локальной длины и локального времени. Их необычность не должна скрывать от нас то, что они гораздо лучше согласуются с экспериментом, чем ньютоновские понятия абсолютного пространства и времени. Другое важное следствие из постулатов теории относительности касается массы движущегося тела; оно гласит, что масса любого объекта увеличивается с увеличением скорости. Физически это увеличение сводится к энергии тела. Таким образом Эйнштейн сформулировал еще один принцип: “Масса и энергия сходны по существу – это только различные выражения одного и того же. Масса тела не постоянна; она меняется вместе с его энергией”. Наконец, в 1915 году Эйнштейн опубликовал работы по общей теории относительности, где он описал пространство-время как единое геометрическое пространство. Любая масса “искажает”, или “деформирует”, вокруг себя область пространства-времени так, что все движущиеся в этой области объекты следуют по одним и тем же искривленным траекториям (геодезическим). На языке классической физики можно сказать, что эти объекты движутся ускоренно, так как на них действует некоторая сила – тяготение. Но в общей теории относительности ускорение обусловлено самими свойствами пространства-времени. Другими словами, то, что Исаак Ньютон считал силой, Альберт Эйнштейн определил как геометрическое искривление пространства.

Как мы видим, Эйнштейн начинает новую эру в физике, пользуясь чисто математическими гипотезами и методами. После открытия Эйнштейном сверхматематизированной теории относительности очень много областей физики превратились, фактически, в разделы математики. В XX веке физика в очень большой степени развивается подобно математике.

Характер использования математики в естествознании претерпевает заметную эволюцию. Исследователи отмечают, в частности, следующие особенности.

В классический период математический аппарат создавался одновременно с построением физической теории, сейчас положение иное. Обычно физик использует теперь уже готовые математические структуры, разработанные внутри математики (например, риманова геометрия – в общей теории относительности, теория линейных операторов в гильбертовом пространстве – в квантовой механике). В классический период физические величины отождествлялись с математическими и сразу же получали ясный операционально-измерительный смысл. Теперь же требуется интерпретация, которая находится не сразу. Наконец, налицо отличие и в процедурах разработки математических программ развития новых физических теорий. Ранее была фактически всегда одна программа, ибо математика обслуживала физику, ныне математика способна предложить ряд вариантов, вообще, способна направлять физическое исследование.

Математически (и логически) возможный мир – это мир, который описывается без логического противоречия. Им может быть вымышленный, фантастический мир или даже мир сказки, но важно одно: его описание не должно противоречить себе. Ситуации, запрещенные физически, вполне могут быть предметом математического обсуждения. Таким образом, если физика, как и другие естественные науки, ставит вопрос, каков мир, то математика задается целью знать, каким бы он мог быть во всей бесконечности возможных вариантов. Физик решает проблему, является ли геометрия нашей Вселенной действительно евклидовой, с точки же зрения математика возможны и другие геометрии. С этой позиции теория Лобачевского – не результат решения практической задачи, а плод усилий выявить логически возможные варианты геометрических систем, проникнуть в структуру окружающего геометрического пространства. Чтобы прийти к открытию, Лобачевский должен был опираться не на существующие (физические) а только на логически возможные отклонения от геометрии.

Выступая, по выражению Г. Вейля, “теоретическим изображением бытия на фоне возможного”, математика несет естествознанию глубокие эвристические стимулы. То, что ныне считается физически невозможным (противоречит знанию), может оказаться завтра реальным в свете новых научных открытий. Сила математики заключена в том, что она уже сейчас допускает существование запрещенных, но не противоречивых логически ситуаций. Тем самым она оказывается источником и вместилищем новых представлений в естествознании, побуждая ум исследователя к поискам неизвестных, но прогнозируемых математикой явлений.

По-видимому, можно говорить о трех линиях, по которым осуществляется процесс математизации естествознания:

1. Использование конкретными науками математики в качестве аппарата вычислений.

2. Применение методов исследования, выработанных математикой (математическое моделирование, математическая гипотеза и др.)

3. Влияние математики как источника новых идей и концепций.

4.Литература

Основные источники:

1. Гнеденко Б. В. Введение в специальность математика, М.: Наука, 1991.

2. Клайн М. Математика. Поиск истины, М.: Мир, 1988.

3. Сухотин А. К. Философия в математическом познании, Томск: Издательство томского университета, 1977.

Другие источники:

4. Бурбаки Н. Очерки по истории математики, М.: ИЛ, 1963.

5. Вейль Г. Математическое мышление, М.: Наука, 1989.

6. Клайн М. Математика: Утрата определенности, М.: Мир, 1984.

7. Курант Р. Математика в современном мире. – В сб.: Математика в современном мире. М.: Мир, 1967.

8. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук, М.: Наука, 1948.

9. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т.2. Работы по теории относительности 1921- 1925гг, М.: Наука, 1966.


Математика как универсальный язык науки