Методы прямоугольников и трапеций

Методы прямоугольников и трапеций. Простейшим методом чис­ленного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосред­ственно использует замену определенного интеграла интегральной сум­мой (3.20). В качестве точек ξ i могут выбираться левые (ξ = x i -1 ) или правые (ξ i = xi ) границы элементарных отрезков. Обозначая f{xi ) = yi, ∆xi = hi, получаем следующие формулы метода прямоугольников соот­ветственно для этих двух случаев:

∫ f(x) dx H1 y0 + h2 y1 + … + hn yn-1 (3.24)

∫ f(x) dx H1 y1 + h2 y2 + … + hn yn (3.25)

Широко распространенным и более точным является вид формулы пря­моугольников, использующий значения функции в средних точках элемен­тарных отрезков (в полуцелых узлах):

∫ f{x)dx , (3.26)

Xi-1/2 = (xi-1 + xi )/2 = xi-1 + hi /2, i = 1,2,… ,n.

В дальнейшем под методом прямоугольников будем понимать последний алгоритм (он еще называется методом средних).

В рассмотренных методах прямоугольников используется кусочно пос­тоянная интерполяция: на каждом элементарном отрезке функция f ( x ) приближается функцией, принимающей постоянные значения (констан­той). При этом площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) при­ближенно складывается из площадей элементарных прямоугольников. На рис. 3.2 верхняя, средняя и нижняя горизонтальные штриховые линии от­носятся к элементарным прямоугольникам, которые соответствуют форму­лам (3.25), (3.26) и (3.24).

Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т. е. график функ­ции у = f ( x ) представляется в виде ломаной, соединяющей точ­ки ( xi, yi ). В этом случае площадь всей фигуры приближенно складывается из площадей элементарных прямолинейных трапеций (рис. 3.2). Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

σi = Hi, i=1,2,…,n.

Складывая все эти равенства, получаем фор­мулу трапеций для численного интегрирова­ния:

∫ f{x)dx (3.27)

y (xi, yi )

(xi-1 ,yi-1 )

yi-1 yi

hiV

x

Xi-1 xi-1/2 xi

Рис. З.2. Вычисление σi в ме­тодах

Прямоугольников и трапеций

Важным частным случаем рассмотрен­ных формул является их применение при численном интегрировании с постоянным шагом hi = h = const ( i = 1,2,…, n ). Формулы прямоугольников и трапеций в этом случае принимают соответственно вид

∫ f{x)dx, (3.28)

∫ f{x)dx(+). (3.29)

Погрешность численного интегрирования определя­ется шагом разбиения. Уменьшая этот шаг, можно добиться большей точ­ности. Правда, увеличивать число точек не всегда возможно. Если функция задана в табличном виде, приходится, как правило, ограничиваться дан­ным множеством точек. Повышение точности может быть в этом случае достигнуто за счет повышения степени используемых интерполяционных многочленов. Рассмотрим два таких способа численного интегрирования: использование квадратичной интерполяции (метод Симпсона) и интерпо­лирование с помощью сплайнов.

Метод Симпсона. Разобьем отрезок интегрирования [а, b ] на чет­ное число п равных частей с шагом h. На каж­дом отрезке [х0 ,х2 ], [х2 ,х4 ],… , [х i -1 ,х i +1 ], … , [х n -2 , xn ] подынтегральную функцию f ( x ) заменим интерполяционным многочленом вто­рой степени:

F(x) φ i (x) = ai x2 +bi x+ci, xi-1 X Xi+1 .

Коэффициенты этих квадратных трехчленов мо­гут быть найдены из условий равенства много­члена в точках хi, соответствующим табличным данным уi. В качестве φ i (х) можно принять ин­терполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки Mi-1 (xi-1 ,yi-1 ), Mi (xi, yi ), Mi+1 (xi+1 , yi+1 ):

φ i (x)= yi-1 + yi + yi+1 .

Сумма элементарных площадей σi и σi +1 (рис. 3.3) может быть вычис­лена с помощью определенного интеграла. Учитывая равенства xi +1 – xi = xi – xi -1 = h, получаем

σi + σi+1 = ∫ φ i (x)dx=1/2h2 ∫ (x-xi )(x-xi+1 )yi-1 -2(x-xi-1 )(x-x+1 )yi +(x-xi-1 )(x-xi )yi+1 ]dx=

= h/3(yi-1 +4yi +yi+1 )

Проведя такие вычисления для каждого элементарного отреза [хi-1 ,хi+1 ], просуммируем полученные выражения:

S = h/3(y0 +4y1 +2y2 +4y3 +2y4 +…+2yn-2 +4yn-1 +yn ).

Данное выражение для S принимается в качестве значения определенного интеграла:

∫ f(x)dx H/3[y0 +4(y1 +y3 +…+yn-1 )+2(y2 +y4 +…+yn-2 )+yn ]. (3.30)

Полученное соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол.

Эту формулу можно получить и другими способами, например двукрат­ным применением метода трапеций при разбиениях отрезка [а, b ] на части с шагами h и 2 h или комбинированием формул прямоугольников и трапеций (см. п. 5).

Иногда формулу Симпсона записывают с применением полуцелых ин­дексов. В этом случае число отрезков разбиения п произвольно (не обяза­тельно четно), и формула Симпсона имеет вид

∫ f(x)dx H/6[y0 +4(y1/2 +y3/2 +…+yn-1/2 )+2(y1 +y2 +…+yn-1 )+yn ]. (3.31)

Легко видеть, что формула (3.31) совпадет с (3.30), если формулу (3.30) применить для числа отрезков разбиения 2п и шага h /2.

Пример. Вычислить по методу Симпсона интеграл I = ∫ .

Значения функции при п = 10, h = 0.1 приведены в табл. 3.3.

Применяя формулу (3.30), находим

I=0.1/3[y0 +4(y1 +y3 +y5 +y7 +y9 )+2(y2 +y4 +y6 +y8 )+y10 ]=…=0.785398.

Результат численного интегрирования с использованием метода Симп­сона оказался совпадающим с точным значением (шесть значащих цифр).

Один из возможных алгоритмов вычисления определенного интеграла по методу Симпсона представлен на рис. 3.4. В качестве исходных данных задаются границы отрезка интегрирования [а, b ], погрешность ε, а также формула для вычисления значений подынтегральной функции у = f (х). Первоначально отрезок [а, b ] разби­вается на две части с шагом h = ( b – а)/2 . Вычисляется значение интеграла 11 . Потом число шагов удваивается, вычисляется значение 12 с шагом h /2. Условие окончание счета принимается в виде | I 1 -12 | < е. Если это условие не выполне­но, происходит новое деление шага пополам и т. д.

Отметим, что представленный на рис. 3.4 алгоритм не являет­ся оптимальным: при вычислении каждого приближения I 2 не исполь­зуются значения функции f (х), уже найденные на предыдущем этапе.


Методы прямоугольников и трапеций