Метризуемость топологических пространств

Министерство образования и науки Российской Федерации

Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и МПМ

Дипломная работа

Метризуемость топологических пространств

Выполнила

Студентка 5 курса

Математического факультета

Побединская Татьяна Викторовна

_______________________________

(подпись)

Научный руководитель

К. ф.-м. н., доцент кафедры математического анализа и МПМ Варанкина Вера Ивановна

_______________________________

(подпись)

Рецензент

_______________________________

(подпись)

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой______________________________к. п. н., доцент Крутихина М. В.

(подпись)

“_____” _______________2004 г.

Декан факультета_________________________к. ф.-м. н., доцент Варанкина В. И.

(подпись)

“_____” _______________2004 г.

КИРОВ

2004

Содержание

Введение. 3

Глава I. Основные понятия и теоремы.. 4

Глава II. Свойства метризуемых пространств. 10

Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств. 21

Библиографический список. 24

Введение

Тема дипломной работы – “Метризуемость топологических пространств”.

В первой главе работы вводятся основные определения, связанные с понятиями метрического и топологического пространств.

Во второй главе рассматриваются и доказываются следующие свойства метризуемых пространств:

1. Метризуемое пространство хаусдорфово.

2. Метризуемое пространство нормально.

3. В метризуемом пространстве выполняется первая аксиома счетности.

4. Метризуемое пространство совершенно нормально.

5. Для метризуемого пространства следующие условия эквивалентны:

1) сепарабельно,

2) имеет счетную базу,

3) финально компактно.

6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.

7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.

В третьей главе рассматриваются примеры метризуемых и неметризуемых пространств.

Глава I. Основные понятия и теоремы

Определение. Метрическим пространством называется пара , состоящая из некоторого множества (пространства) элементов (точек) и расстояния, то есть однозначной неотрицательной действительной функции , определенной для любых и из И удовлетворяющей трем условиям:

1) (аксиома тождества);

2) (аксиома симметрии);

3) (аксиома треугольника).

Определение. Пусть – некоторое множество. Топологией в называется любая система его подмножеств , удовлетворяющая двум требованиям:

1. Само множество и пустое множество принадлежат .

2. Объединение любого (конечного или бесконечного) и пересечение любого конечного числа множеств из принадлежат .

Множество С заданной в нем топологией , то есть пара , называется топологическим пространством.

Множества, принадлежащие системе , называются открытыми.

Множества , дополнительные к открытым, называются замкнутыми множествами топологического пространства .

Определение. Совокупность открытых множеств топологического пространства называется базой топологического пространства , если всякое открытое множество в может быть представлено как объединение некоторого числа множеств из .

Теорема 1. Всякая база в топологическом пространстве Обладает следующими двумя свойствами:

1) любая точка Содержится хотя бы в одном ;

2) если содержится в пересечении двух множеств и из , то существует такое , что .

Определение. Открытым шаром или окрестностью точки радиуса в метрическом пространстве называется совокупность точек , удовлетворяющих условию . При этом – центр шара, – радиус шара.

Утверждение 1. Для любого , принадлежащего -окрестности точки , существует окрестность радиуса , включенная в -окрестность точки .

Доказательство. Выберем в качестве :.

Достаточно доказать для произвольного импликацию . Действительно, если , то

Получаем, что , что и требовалось доказать.

Теорема 2. Совокупность всех открытых шаров образуют базу некоторой топологии.

Доказательство. Проверим свойства базы (теорема 1).

– Свойство первое очевидно, так как для любого выполняется для любого .

– Проверим второе свойство.

Пусть , и , тогда, воспользовавшись утверждением 1, найдем такое , что Теорема доказана.

Определение. Топологическое пространство метризуемо, если существует такая метрика на множестве , что порожденная этой метрикой топология совпадает с исходной топологией пространства .

Аксиомы отделимости

Аксиома . Для любых двух различных точек топологического пространства окрестность хотя бы одной из них не содержит другую.

Аксиома . Каждая из двух произвольных точек пространства имеет окрестность, не содержащую вторую точку.

Предложение. является – пространством тогда и только тогда, когда для любого множество замкнуто.

Доказательство.

Необходимость. Пусть . Так как является -пространством, то существует окрестность , не содержащая .

Рассмотрим

Докажем, что . Применим метод двойного включения:

– Очевидно, что по построению множества .

.

Пусть отсюда для любого отличного от существует окрестность , значит , тогда .

Множество – открыто, как объединение открытых множеств.

Тогда множество – замкнуто, как дополнение открытого множества.

Достаточность. Рассмотрим . По условию Замкнутые множества. Так как , то . Множество -открыто как дополнение замкнутого и не содержит . Аналогично доказывается существование окрестности точки , не содержащей точку

Что и требовалось доказать.

Аксиома ( аксиома Хаусдорфа). Любые две точки пространства имеют непересекающиеся окрестности.

Аксиома . Любая точка и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.

Определение. Пространства, удовлетворяющие аксиомам () называются -пространствами (-пространства называют также хаусдорфовыми пространствами ).

Определение. Пространство называется нормальным или -пространством, если оно удовлетворяет аксиоме , и всякие его два непустые непересекающиеся замкнутые множества имеют непересекающиеся окрестности.

Определение. Система окрестностей называется определяющей системой окрестностей точки , если для любой окрестности точки найдется окрестность из этой системы, содержащаяся в .

Определение. Если точка топологического пространства имеет счетную определяющую систему окрестностей, то говорят, что в этой точке выполняется первая аксиома счетности. Если это верно для каждой точки пространства, то пространство называется пространством с первой аксиомой счетности.

Определение. Две метрики и на множестве называются эквивалентными, если они порождают на нем одну и ту же топологию.

Пример. На плоскости для точек и определим расстояние тремя различными способами:

1. ,

2. ,

3. .

– Введенные расстояния являются метриками. Проверим выполнимость аксиом метрики для введенных расстояний.

1. 1)

2) так как и , то вторая аксиома очевидна:

3) рассмотрим точки ,, и докажем следующее неравенство:

Возведем это неравенство в квадрат:

.

Так как и (поскольку ) и выражение есть величина неотрицательная, то неравенство является верным.

2. 1)

2) так как и , то вторая аксиома очевидна: .

3) рассмотрим точки ,, и докажем следующее неравенство: .

Тогда и .

3. 1)

2) так как и , то вторая аксиома очевидна:

.

3) рассмотрим точки ,,.

Неравенство: – очевидно.

– Введенные метрики и эквивалентны, то есть задают одну и ту же топологию.

Пусть метрика порождает топологию , – топологию и – топологию . Достаточно показать два равенства.

Покажем, что .

Рассмотрим множество, открытое в и покажем, что открыто в . Возьмем некоторую точку и изобразим шар с центром в этой точке, который целиком лежит в . Шар в – квадрат, шар в – круг. А квадрат всегда можно заключить в круг. Тогда открыто и в .

Аналогично доказывается, что . А тогда и .

Глава II. Свойства метризуемых пространств

Свойство 1. Метризуемое пространство хаусдорфово.

Доказательство. Пусть . Возьмем . Докажем, что .

Предположим, что , тогда существует , т. е. и . Тогда, . Получили противоречие. Следовательно, .

Следствие. Метризуемое пространство является – пространством.

Определение. Расстоянием от точки до множества в метрическом пространстве называется .

Утверждение 2. Пусть множество фиксировано; тогда функция , сопоставляющая каждой точке расстояние , непрерывна на пространстве .

Доказательство. Воспользуемся определением непрерывности: функция называется непрерывной в точке , если .

Из неравенства , где , получаем . Аналогично . Из полученных неравенств следует .

Для произвольного возьмем . Тогда из неравенства следует . Непрерывность доказана.

Лемма. – замкнутое множество в метрическом пространстве . Для любого расстояние от до множества положительно.

Доказательство.

Множество замкнуто, отсюда следует, что множество – открыто. Так как точка принадлежит открытому множеству , то существует такое, что . Так как , то для некоторого . Поэтому для любого . Следовательно, , что и требовалось доказать.

Свойство 2. Метризуемое пространство нормально.

Доказательство. По доказанному метризуемое пространство является

-пространством. Остается доказать, что любые непустые непересекающиеся замкнутые множества и имеют непересекающиеся окрестности.

Так как и множество замкнуто по условию, то для любого по лемме .

Обозначим и для произвольных и .

Множества И открыты как объединения открытых шаров в и содержат соответственно множества и .

Следовательно, – окрестность множества , – окрестность множества .

Докажем, что .

Предположим, что , то есть . Тогда из условия следует, что для некоторого . Отсюда .

Аналогично получаем для некоторого . Для определенности пусть . Тогда .

Получаем , для некоторой точки , что невозможно в силу определения расстояния от точки до множества.

Следовательно . Таким образом, является -пространством, а, значит, нормальным пространством. Теорема доказана.

Свойство 3. В метризуемом пространстве выполняется первая аксиома счетности.

Доказательство. Пусть – произвольное открытое множество, содержащее точку . Так как открытые шары образуют базу топологии метрического пространства, то содержится в вместе с некоторым открытым шаром, то есть для некоторых и . По утверждению 1 найдется такое , что .

Возьмем , для которого . Тогда . Таким образом открытые шары , образуют определяющую систему окрестностей точки . Очевидно, что множество этих окрестностей счетно. Что и требовалось доказать.

Определение. Множеством типа или просто – множеством пространства называется всякое множество , являющееся объединением счетного числа замкнутых (в ) множеств.

Определение. Множеством типа или просто – множеством пространства называется всякое множество , являющееся пересечением счетного числа открытых (в ) множеств.

Очевидно, что множества типа и являются взаимно дополнительными друг для друга.

Определение. Нормальное пространство, в котором всякое замкнутое множество является множеством типа , называется совершенно нормальным.

Утверждение 3. Нормальное пространство является совершенно нормальным тогда и только тогда, когда всякое открытое множество, принадлежащее этому пространству, является множеством типа .

Свойство 4. Метризуемое пространство совершенно нормально.

Доказательство. Пусть – непустое замкнутое множество в . Тогда для непрерывной функции (непрерывность ее установлена в утверждении 2). Обозначим , множества открыты в как прообразы открытых множеств при непрерывном отображении. Докажем, что .

Пусть , тогда . Так как для любого , то для любого . Отсюда .

Обратно. Пусть , тогда для любого . Отсюда для любого , поэтому для любого , тогда , значит . Таким образом множество является множеством типа .

Определение. Множество Всюду плотно в , если любое непустое открытое в множество содержит точки из .

Определение. Топологическое пространство называется сепарабельным, если оно имеет счетное всюду плотное подмножество.

Определение. Семейство γ открытых в множеств образуют покрытие пространства , если содержится в объединении множеств этого семейства.

Определение. Топологическое пространство называется финально компактным, если из любого его открытого покрытия можно выделить счетное подпокрытие.

Свойство 5. Для метризуемого пространства следующие условия эквивалентны:

1) сепарабельно,

2) имеет счетную базу,

3) финально компактно.

Доказательство.

Пусть – счетное всюду плотное множество в , – метрика в . Множество окрестностей счетно. Докажем, что – база топологии в . Пусть – произвольное открытое в множество, . Тогда для некоторого . Рассмотрим рациональное число , для которого и точку , для которой .

Докажем, что . Пусть . Так как , то . Тогда . Таким образом, для произвольного и открытого множества нашелся элемент из , такой, что . Следовательно – база топологии.

Пусть – счетная база в . Рассмотрим произвольное открытое покрытие множества , – открыты для любого (– индексное множество). Для любого существует , для которого . Так как – база, то найдется такое , что . Тогда . Поскольку база счетна, то покрывается счетным числом соответствующих множеств . Таким образом, – финально компактно.

Для каждой точки рассмотрим окрестности , которые образуют покрытие пространства . В силу финальной компактности из этого покрытия можно выделить счетное подпокрытие . В каждом из этих множеств выберем точку . Множество точек счетно, докажем, что оно плотно в . Пусть – произвольное открытое множество в , , тогда для некоторого . Существует элемент подпокрытия . Тогда , то есть любое непустое открытое множество в содержит точку этого множества. Что и требовалось доказать.

Определение. Диаметром непустого множества в метрическом пространстве называется точная верхняя грань множества всех расстояний между точками множества и обозначается .

.

Если , то множество называют неограниченным.

Определение. Метрика метрического пространства называется ограниченной, если .

Свойство 6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.

Доказательство. Пусть метрика порождает топологию топологического пространства . Положим для любых .

Докажем следующее:

1. -метрика на ;

2. метрики и эквивалентны;

3. .

1. Проверим выполнимость аксиом.

1) ;

2);

: Докажем, что .

Известно, что .

– Если и , то и , тогда . Так как , то .

– Если или , то , а , тогда .

2. Пусть – топология, порожденная метрикой , а – топология, порожденная метрикой . Докажем, что .

Пусть – открытое множество в , докажем, что множество открыто в . Для любого существует такое, что . Можно считать, что . Тогда является окрестностью в того же радиуса . Следовательно, открыто в топологии .

В обратную сторону доказательство проводится аналогично.

Из всего выше сказанного следует, что метрики и эквивалентны.

3. Из формулы следует, что для любых . Отсюда .

Определение. – топологические пространства, . Тихоновским произведением топологических пространств называется топологическое пространство , в котором базу топологии образуют множества , где открыто в для любого и для всех индексов кроме конечного их числа.

Свойство 7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.

Доказательство. Пусть – метризуемые топологические пространства. По лемме на каждом множестве существует ограниченная метрика соответственно.

Рассмотрим .

Покажем:

1. является метрикой на и .

2. топология, порожденная метрикой , совпадает с топологией произведения пространств .

1. Проверим выполнимость аксиом метрики.

1) (так как – метрика по условию).

2) , .

Так как (-метрика по условию), то , тогда .

3) Докажем, что .

, , . Но так как выполняется неравенство , то будет выполняться неравенство:

, тогда .

Теперь докажем, что .

, где геометрическая прогрессия, а , тогда .

2. 1) Покажем, что каждое множество , открытое в топологии, индуцированной метрикой , открыто и в топологии произведения.

Рассмотрим произвольную точку . Существует такое , что . Далее достаточно найти положительное число и открытые множества , такие, что .

Пусть – положительное целое число, удовлетворяющее условию:

.

Для положим и для .

Для каждой точки . Рассмотрим полученные суммы. Так как , где , то . Так как для любых , то . Тогда , т. е. . Таким образом . Следовательно, множество открыто в тихоновской топологии произведения.

2) Пусть множество открыто в топологии произведения. Докажем, что оно открыто в топологии, порожденной метрикой .

Требуется доказать, что для любой точки найдется такое , что .

Так как множество открыто в топологии произведении, то для некоторого множества , где – открыто в и для любого и для всех индексов кроме конечного их числа. Поскольку и открыто в , то для конечного числа индексов, для которых . Пусть – наименьший из этих значений . Докажем, что . Возьмем произвольное . Тогда . Отсюда для любого . Это означает, что для любого . Получили . Следовательно, множество открыто в топологии, индуцируемой метрикой . Теорема доказана.

Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств

1. Дискретное топологическое пространство.

– произвольное непустое множество. Открытым назовем любое подмножество в . Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Рассмотрим Для любого множество открыто, так как . Следовательно, открыто и любое подмножество в как объединение одноэлементных множеств. Вывод: дискретное топологическое пространство – метризуемо.

2. Двоеточия.

. Рассмотрим топологии на .

1) – простое двоеточие.

2) – связное двоеточие.

3) – слипшееся двоеточие.

– метризуемо, так как топология – дискретная.

, – неметризуемы, так как не являются хаусдорфовыми.

3. Стрелка ().

В открытыми назовем и множества вида , где . Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Топологическое пространство не является хаусдорфовым, а значит неметризуемо.

4. Окружности Александрова (пространство ).

Открытые множества в :

Первого рода : интервал на малой окружности плюс его проекция на большую окружность , из которой выброшено конечное число точек.

Второго рода : каждая точка на большой окружности открыта.

1. Множество замкнуто в тогда и только тогда, когда – конечно.

Доказательство. Очевидно, что любое конечное множество замкнуто как дополнение открытого. Пусть и – бесконечно. Докажем, что – незамкнуто.

Так как – бесконечно, то оно содержит счетное подмножество, которое можно рассмотреть как последовательность точек, принадлежащих . Эта последовательность ограничена в , по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Так как замкнуто в , то предел этой последовательности . Пусть – точка, для которой является проекцией на . Возьмем произвольное открытое в множество , содержащее точку . Тогда исходя из структуры открытых множеств первого рода получаем, что содержит бесконечно много точек множества , т. е. является предельной точкой множества . При этом . Следовательно, – незамкнуто.

2. Множество не совершенно нормально.

Доказательство. Пусть дуга . Множество открыто, как объединение открытых одноэлементных множеств. Замкнутыми в являются по доказанному лишь конечные множества. Но счетное объединение конечных множеств счетно. Следовательно открыто и не является множеством типа . Таким образом множество неметризуемо.

Библиографический список

1. Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. – М.: Наука, 1973.

2. Энгелькинг Р. Общая топология – М.: Мир, 1986.

3. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М. Наука, 1989.


Метризуемость топологических пространств