Многоугольники. Площади многоугольников в школьном курсе математики

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

“АЗОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ МУЗЫКАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ”

Курсовая работа

Тема: “Многоугольники. Площади многоугольников

В школьном курсе математики”

Специальность: 050201 Математика

Выполнила:

Студентка 4 курса

Школьного отделения

Мешкова Анастасия

Научный руководитель:

Куйдина Е. И.

Г. Азов

2007г.

Содержание

Введение……………………………………………………………………….. 3

Глава I Многоугольник. Понятие площади многоугольника в высшей

Школе……………………………………………………………………………..7

§1 Понятие многоугольника и его площади……………………………………7

§2 Вывод формул для вычисления площадей треугольников и

Четырехугольников………………………………………………………………11

2.1 Площадь квадрата……………………………………………………….11

2.2 Площадь прямоугольника………………………………………………13

2.3 Площадь треугольника………………………………………………….14

2.4 Площадь параллелограмма……………………………………………..16

2.5 Площадь трапеции………………………………………………………17

2.6 Площадь произвольного многоугольника……………………………..18

Глава II Изучение геометрии в 7-9 классах……………………………………19

§1 Психолого-педагогическая характеристика подросткового

Возраста…………………………………………………………………………..19

§2 Сравнительный анализ учебных пособий по данной теме авторов

Л. С. Атанасяна и А. В. Погорелова……………………………………………..21

§3 Компьютер на уроках геометрии……………………………………………27

Заключение………………………………………………………………………28

Список используемой литературы………………………………………………29

Приложение

Введение

Геометрия возникла еще в глубокой древности в связи с практическими потребностями человека: измерение расстояний, изготовление орудий труда определенных размеров, нахождение площади земельных участков и вместимости сосудов, вычисление объемов различных сооружений и т. д. Слово “геометрия” греческого происхождения (“ге” – земля, “метрео” – мерю) и означает “землемерие”. Отвлекаясь от физических свойств предметов, изучая лишь их размеры, форму и положение, человек пришел к отвлеченным понятиям геометрического тела и геометрической фигуры, поверхности, линии, точки, прямой, плоскости, отрезка и т. д. Геометрические фигуры встречаются в самых древних до нас математических документах: в “Московском” папирусе, в “папирусе Ахмеса” и в древневавилонских клинописных текстах, написанных около 4000 лет назад. В этих документах содержатся задачи, в которых выступает на первый план вычисление площадей и объемов отдельных фигур. В древних египетских и вавилонских математических документах упоминаются как треугольники, так и основные четырехугольники: параллелограммы, прямоугольники, квадраты, равнобедренные и прямоугольные трапеции.

Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий. Еще 4-5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служит эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам. [8]

Древние египтяне 4000 лет назад использовали почти те же приемы, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам и умножалось на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту и т. п. Для вычисления площади S прямоугольника со сторонами a, b, c, d (рис.01) применялась формула , т. е. умножались полусуммы противоположных сторон. Эта формула верна только для прямоугольника. С ее помощью можно вычислить приближенно площадь таких четырехугольников, у которых Углы близки к прямым.

Для определения площади S равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=AC, египтяне пользовались приближенной формулой: . Совершаемая при этом ошибка тем меньше, чем меньше разность между стороной AB и высотой AD треугольника, иными словами, чем ближе вершина В (и С ) к основанию D высоты из А. Вот почему данная формула применима лишь для треугольников со сравнительно малым углом при вершине.[8]

Благодаря многим ученым древности, было положено основание для выведения формул, точно определяющих площадь любого многоугольника.

Нахождение площадей многоугольников используется в планиметрии и стереометрии при решении задач. В курсе математического анализа площадь плоских фигур находится с использованием определенного интеграла. Помимо геометрии площади используются во многих смежных с геометрией науках, таких как физика, география, астрономия, геология, что объясняет актуальность данной темы.

Тема “Площади фигур” изучается в основной школе в 8-9 классах.

Практика преподавания в школе по различным учебникам, сменяющим друг друга, убеждает в том, что, несмотря на напряженные поиски и безусловные достижения методики преподавания, степень усвоения материала учениками невысока.[9] При подготовке к экзаменам в 9 классе, а также подготовке к единому государственному экзамену в 11 классе, очень ярко видны проблемы изучения геометрии в школе. Окончив девять классов и изучив планиметрию, ученик должен, казалось бы, решать любую задачу в данном курсе. Однако учащиеся не только не умеют решать задачи, но даже боятся за них браться, т. к. на экзаменах по математике задачи по геометрии являются самым сложным заданием.

Таким образом, в настоящее время вопрос о рациональном построении процесса обучения с более глубоким изучением геометрии в курсе математики основной школы стоит наиболее остро.

Немаловажное значение в современном образовании стало отводиться современным средствам обучения и компьютерным технологиям. Применение компьютерных программных средств на уроках математики позволяет учителю не только разнообразить традиционные формы обучения, но и решать самые разные задачи:

– за­метно повысить наглядность обучения, обеспе­чить его дифференциацию;

– облегчить контроль знаний учащихся;

– повысить интерес к предмету и познавательную активность школьников и т. д.

С помощью компьютера можно организовать про­цесс обучения по индивидуальной программе (ученик может сам выбрать наиболее приемлемую для себя скорость подачи и усвоения материала), что способствует эффективному психологическо­му развитию и возникновению у школьника про­фессиональных интересов, повышает уровень са­мообразования и расширяет возможности для творчества.

Компьютер способен реализовать многие пре­имущества технических средств обучения.

Совре­менные компьютерные программы позволяют со­здавать тексты, различные виды графики, муль­типликацию со звуковым сопровождением, видеоизображения. С их помощью можно модели­ровать исследуемые объекты и проводить экспе­рименты по изучению их свойств, имитировать процессы и явления и т. д.

Кроме того, применение компьютерных технологий способствует созданию на уроке положительного эмоционального фронта. Можно утверждать, что оно дало что-то ученику, если тот издает довольные звуки, гордо показывая свои творения товарищам или участвуя в “мультипликационных” объяснениях учителя; если его трудно отправить на перемену.[16]

Гипотеза: при целенаправленном и грамотном использовании методик и современных ТСО, в том числе электронных презентаций, развивается интерес к изучению рассматриваемой темы и более глубокому и качественному усвоению материала.

Объект исследования: организация учебно-воспитательного процесса в период изучения темы “Многоугольники. Площади многоугольников”.

Предмет исследования: обучение учащихся основной школы приемам нахождения площади многоугольников.

Цель: определить эффективную систему мер, способствующих усвоению данной темы.

Задачи:

А) изучить научную и педагогическую литературу по данному вопросу;

Б) изучить опыт работы учителей по данной теме;

В) провести сравнительный анализ методик преподавания темы по двум учебным пособиям;

Г) разработать электронную презентацию по изучению площадей многоугольников.

При исследовании применялись следующие методы:

– Классификация

– Обобщение

– Теоретический анализ и синтез

– Сравнение

– Аналогия

Глава I “Многоугольник. Понятие площади многоугольника в высшей школе”

§1 Понятие многоугольника и его площади.

В курсе элементарной геометрии понятие многоугольника рассматривается через понятие ломаной. Ломаная – система отрезков А1 А2 ,А2 А3 ,… ,Аn-1 ,Аn, где n≥2, соединяющей точки А1 и Аn и обозначается А1 ,А2 ,…,Аn (рис. 1)

Отрезки А1 А2 , А2 А3 ,…,Аn-1 Аn называют звеньями (или сторонами) ломаной, а точки А1 ,А2 ,…,Аnвершинами ломаной, причем точки А1 и Аn называются концами ломаной. Звенья А1 А2 и А2 А3 , А2 А3 и А3 А4 ,…,Аn-2 Аn-1 , Аn-1 Аn называются смежными. Ломаная А1 А2 А3 …Аn называется замкнутой, если ее концы совпадают, тогда Аn-1 Аn и А1 А2 – смежные звенья.

Замкнутая ломаная называется простым многоугольником, если ее смежные звенья не лежат на одной прямой, а несмежные звенья не имеют общих точек. Вершины и стороны ломаной называют вершинами и сторонами многоугольника. Сумма сторон многоугольника называется его периметром. Многоугольник, имеющий n вершин, а значит и n сторон, называется n – угольником. В частности, при n =3 получаем треугольник, при n =4 получаем четырехугольник.

На рисунке 2а изображен простой шестиугольник. Замкнутая ломаная А1 А2 …А5 , изображенная на рисунке 2б, не является простым многоугольником, так как несмежные звенья А2 А3 и А4 А5 пересекаются.

Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседние. Отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины, называют диагональю многоугольника. Из каждой вершины n – угольника при n >3 выходят n -3 диагонали, поэтому общее число диагоналей n – угольника равно N ( n -3). Так четырехугольник имеет две диагонали, пятиугольник – пять, шестиугольник – девять и т. д.

Многоугольник разбивает множество всех точек плоскости, не принадлежащих многоугольнику, на два множества, одно из которых называется внутренней, а другое внешней областью многоугольника. Точки внутренней области многоугольника называются внутренними точками многоугольника. На ниже данных рисунках внутренняя область многоугольника заштрихована.

Многоугольник называется выпуклым, если каждая прямая, проходящая через две соседние вершины, является границей полуплоскости, в которой лежат остальные вершины многоугольника. На рисунке 3а изображен невыпуклый многоугольник, а на рисунке 3б – выпуклый.

Фигура, являющаяся объединением многоугольника F и его внутренней области, также называется многоугольником. Ее будем обозначать через F.

Будем говорить, что многоугольник F разложен на многоугольники F 1 , F 2 ,…, Fk, если никакие из многоугольников F1 ,F2 ,…,Fk не имеют общих внутренних точек. И тогда F = F 1 F 2 Fk. На рисунке 3б многоугольник F разложен на треугольники F 1 , F 2 , F 3 , F 4 , F 5 . [1]

Введем понятие площади многоугольника. Пусть дан многоугольник и две точки М1 и М2 , принадлежащие F. Допустим, что точка М1 лежит на стороне А1 А2 , а М2 – на стороне Аm Am+1 , где 2≤m ≤n (здесь предполагается, что при m = n точка Am+1 совпадет с точкой A1 ). Рассмотрим простую ломанную L=M1 N1 N2 …Nk M2 с концами М1 и М2 , все точки которой, кроме М1 и М2 являются внутренними точками многоугольника . Можно доказать, что ломанная L разлагает многоугольник на два многоугольника и (рис. 4)

Сформулируем задачу измерения площадей многоугольников.

Введем на плоскости измерение отрезков, задав некоторый единичный отрезок EF.

Пусть каждому многоугольнику соответствует определенное действительное положительное число так, что:

А1 . Равным многоугольникам соответствует одно и то же число.

А2 . Если простая ломанная L разлагает многоугольник на два многоугольника F1 и F2 , и многоугольникам F, F1 и F2 соответствуют числа a, b, c, то a = b + c.

A3 . Квадрату 0 , построенному на единичном отрезке EF как на стороне, соответствует число, равное единице. Число, указанным образом соответствующее каждому простому многоугольнику , называется площадью многоугольника или F и обозначается так: S() или S(F ). Квадрат 0 называется единичным квадратом. Имеет место следующая теорема. Ее мы принимаем без доказательства.

Теорема 1 . Если выбран единичный отрезок EF, то существует одно и только одно соответствие между множеством многоугольников и множеством действительных положительных чисел, для которого выполняется условия А1, А2, A 3 площадей. [1]

§2 Вывод формул для вычисления площадей треугольников и

Четырехугольников.

Самыми распространенными видами многоугольников являются треугольник, параллелограмм, прямоугольник, квадрат и трапеция. Для выведения их площадей будем использовать две леммы:

Лемма 1 . Каковы бы ни были положительные числа a и b, существует прямоугольник, смежные стороны которого соответственно равны a и b.

Лемма 2. Если через точку, лежащую на стороне прямоугольника, проведена прямая, перпендикулярная к этой стороне, то эта прямая пересекает противоположную сторону прямоугольника и разлагает прямоугольник на два прямоугольника.

2.1 Площадь квадрата

Пусть стороны AB и AD квадрата точками Р1 , Р2 ,…,Рn-1 и Q1 , Q2 ,…, Qn-1 разделены на n равных частей. Проведем через точки Р1 , Р2 ,…,Рn-1 прямые, перпендикулярные к прямой AB, тогда, согласно лемме 2, данный квадрат разлагается на n прямоугольников. (рис. 5а).

Далее проведем через точки Q1 , Q2 ,…, Qn-1 прямые, перпендикулярные к прямой AD. Тогда каждый из этих прямоугольников разлагается на n квадратов. В результате квадрат разлагается на n 2 равных друг другу квадратов. (рис. 5б). Если площадь каждого из этих квадратов равна s, а плоЩадь квадрата равна S, то согласно условию А2 имеем:

Отсюда, в частности, следует, что если сторона квадрата Равна n, где n – натуральное число, n >1, то квадраты, на которые разлагается этот квадрат, построены на единичном отрезке, поэтому s=1 и, следовательно,

Теорема 2 . Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

○ Пусть S – площадь данного квадрата , и a – длина его стороны. Докажем, что

Рассмотрим сначала случай, когда а – рациональное число, т. е. , где p и q – натуральные числа. Если q = 1, то утверждение теоремы непосредственно следует из формулы ( ***) , поэтому предположим, что q > 1. Рассмотрим квадрат 1, сторона которого равна p, и разобьем его на q 2 равных друг другу квадратов так, как было показано выше. Так как p = а q, то сторона каждого из этих маленьких квадратов равна а, поэтому эти квадраты равны квадрату . Следовательно, их площадь равна S. По формуле ( **) S =р2 , а по формуле ( *)

S ( 1 ) = p 2 = q 2 s. Отсюда следует, что

Рассмотрим теперь случай, когда а – иррациональное число. Допустим, что формула ( ***) неверна, т. е. S≠ a 2 и, следовательно, .

Пусть для определенности Подберем рациональные числа α1 и α2 так, чтобы α1 < а < α2 и α2 – α1 < ε.

Ясно, что площадь данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной α1 и площадью квадрата со стороной α2 (рис. 6).

Согласно сказанному α12 < S < α22 или α1 < < α2 . Отсюда, учитывая, что α1 < а < α2 , получаем: – а < α2 – α1 , т. е. ε < α2 – α1 . Это неравенство противоречит неравенству α2 – α1 < ε, следовательно, наше предположение неверно, т. е. S=a2 ●

2.2 Площадь прямоугольника

Условимся одну из сторон параллелограмма, в частности прямоугольника, называть основанием, а перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, высотой параллелограмма.

Теорема 3 . Площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту.

○ Пусть S – площадь прямоугольника (рис. 7а). Примем сторону AB за основание, а AD – за высоту и докажем, что S = ab, где a = AB, b = AD.

Рассмотрим квадрат со стороной a + b. На стороне GH возьмем точку N так, чтобы GH = b и проведем через точки M и N прямые, перпендикулярные соответственно к сторонам GH и GL (рис. 7б). По лемме 2 эти прямые разлагают квадрат на четыре прямоугольника, которые на рисунке 7б обозначены через F 1 , F 2 , F 3 , F 4 .

Прямоугольники F 1 , F 3 равны прямоугольнику , поэтому площадь каждого из них равна S. Четырехугольники F 2 и F 4 являются квадратами со сторонами b и a соответственно, поэтому по теореме 2 (пункт 2.1) их площади равны b 2 и a 2 . По той же теореме, площадь квадрата равна ( a + b )2 . По условию А2 измерения площадей площадь квадрата равна сумме площадей прямоугольников F 1 , F 2 , F 3 , F 4 . Отсюда получаем (a + b)2 = S + b2 + S + a2 , т. е. S = ab. ●

Следствие. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов S = ab.

2.3 Площадь треугольника

Одну из сторон треугольника часто называют основанием. Если основание выбрано, то под “высотой” подразумевают ту из высот треугольника, которая проведена к основанию.

Теорема 4 . Площадь треугольника равна половине произведение его основания на высоту.

○ Пусть S – площадь треугольника ABC (рис. 8). Примем сторону AB за основание треугольника и проведем высоту СН. Докажем, что .

Если точка Н совпадает с одной из точек А или В (рис. 8а), то утверждение теоремы непосредственно из следствия теоремы 3, поэтому допустим, что А, В и Н – попарно различные точки. Возможны два случая:

А) Точка Н лежит на отрезке АВ (рис. 8б). В этом случае высота СН разлагает треугольник ABC на два прямоугольных треугольника АНС и ВНС, поэтому S = S (АНС) + S (ВСН) . Используя следствие теоремы 3, получим

Б) Точка Н лежит вне отрезка АВ. Пусть, например, В – А – Н (рис. 8в). В этом случае отрезок АС разлагает треугольник BC Н на два треугольника ABC и АСН, поэтому S ( BCH ) = S (АВС) + S ( ACH ) . Аналогично предыдущему получаем:

Следствие. Если высоты двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований.

Теорема 5 . Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

○ Пусть S – площадь треугольника ABC, AB =с, АС= b, CH = h, где CH – высота треугольника. Докажем, что

Если = 90°, то формула (2.4) вытекает из следствия теоремы 3, поэтому рассмотрим два случая:

А) Угол А – острый (рис. 8б). В прямоугольном треугольнике АСН . Поэтому .

Б) Угол А – тупой (рис. 8в). В прямоугольном треугольнике АСН . Следовательно,

Следствие. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.

Площадь треугольника можно вычислить, зная длины сторон треугольника a, b, c, по формуле , где . Эта формула называется формулой Герона.

Также треугольник со сторонами a, b, c и площадью S имеет следующие свойства:

А) , где р – полупериметр треугольника;

Б) .

2.4 Площадь параллелограмма

Теорема 6 . Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

○ Пусть S – площадь параллелограмма ABCD. Примем сторону АВ за основание параллелограмма и проведем высоту DH. Докажем, что (рис. 9)

Диагональ BD разлагает параллелограмм на два равных треугольника ABD и CDB. Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников. По условиям А1 и А2 измерения площадей (п.1 §1) имеем: . Отсюда, используя теорему 4, получаем: .●

Докажем еще одну теорему о площади параллелограмма, которой часто пользуются при решении задач.

Теорема 7. Площадь параллелограмма равна: а) произведению смежных сторон на синус угла между ними; б) половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

○ Пусть S – площадь параллелограмма ABCD, диагонали AC и BD которого пересекаются в точке О.

А) Треугольники ABD и CBD имеют равные основания AB и CD, и равные высоты, поэтому их площади равны (рис. 9). Следовательно, . По теореме 5 площадь треугольника ABD равна , следовательно, .

Б) Треугольники AOB, AOD, BOC и COD имеют равные площади, так как любые два из этих треугольников, которые имеют общую сторону, имеют равные основания и общую высоту, следовательно, . По теореме 5 , поэтому .●

2.5 Площадь трапеции

Условимся высотой трапеции называть перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Теорема 8 . Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

○ Пусть S – площадь трапеции ABCD с основаниями AD и DC и высотой ВН. (рис. 10). Докажем, что . Диагональ BD разлагает трапецию На два треугольника И . Примем отрезки А D и ВС за основания этих треугольников, тогда ВН и DH 1 – их высоты. Так как отрезки ВН и DH 1 являются высотами трапеции ABCD, то BH = DH 1 .

Из условия А2 измерения площадей и теоремы 4 получаем:

.●

2.6 Площадь произвольного многоугольника

Для вычисления площади произвольного многоугольника обычно разлагают данный многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника. Используем этот метод для решения задачи (см. Приложение 1)

Для вычисления площади произвольного многоугольника можно применять также другой метод, основанный на понятии равносоставленности двух многоугольников. Два многоугольника называются равносоставленными, если их можно разложить на одно и то же число соответственно равных многоугольников. Очевидно, два равносоставленных многоугольника равновелики, т. е. имеют равные площади. На этом свойстве основан следующий метод вычисления площади многоугольника: данный многоугольник разлагают на конечное множество многоугольников таких, чтобы из них можно было “сложить” многоугольник ‘, площадь которого известна. Именно таким способом в школьном курсе геометрии находят формулу вычисления площади параллелограмма. [2]

Глава II “Изучение геометрии в 7-9 классах”

§1 Психологические особенности подросткового возраста.

Подростковый возраст – трудный период полового созревания и психологического взросления ребенка.

В самосознании подростка происхо­дят значительные изменения: появляется чувство взрослости – ощущение себя взрослым человеком; возникает страстное жела­ние если не быть, то хотя бы казаться и считаться взрослым.

От­стаивая свои новые права, подросток ограждает многие сферы своей жизни от контроля родителей и часто идет на конфликты с ними. Кроме стремления к независимости, подростку присуща сильная потребность в общении со сверстниками. Появляются подростковая дружба и объединение в нефор­мальные группы. Подростки стремятся во всем походить на сверстников и пытаются выделиться в группе, хотят заслужить уважение и бравируют недостатками, требуют верности и меняют друзей.

Возникают яркие, но обычно сменяющие друг друга увлечения. Благо­даря интенсивному интеллектуальному развитию появляется склонность к самоанализу; впервые становится возможным само­воспитание. У подростка складываются разнообразные образы своего “Я”, однако изменчивые и подверженные внешним влияниям. [10]

Подростковый возраст традиционно считается самым трудным в воспитательном отно­шении. Известный отечественный педагог А. П. Краковский, сравнивая особенности поведения младших школьников и младших подростков, у которых разница в возрасте составляет всего один год, констатирует следующее: “Подростки в сравнении со своими младшими товарищами в 6 раз чаще проявляют упрямство, в 9 раз чаще бравируют своими недостатками, в 10 раз чаще противопоставляют себя родителям. В целом количество немотивированных отрицатель­ных поступков подростков отмечается в 42 раза(!) боль­ше, чем у младших школьников”. [11]

Наибольшее количество детей с так называемой школьной дезадаптацией, т. е. не умеющих приспособиться к школе (что может проявляться в низкой успеваемости, плохой дисциплине, расстройстве взаимоотношений со взрослыми и сверстниками, появлении негативных черт в личности и поведении и т. п.), приходится на средние классы.

Так, по данным исследователей, если в младших классах школьная дезадаптация встречается в 5-8% случаев, то у подростков-в 18- 20%. В старших классах ситуация вновь несколько стабилизиру­ется, хотя бы уже потому, что многие “трудные” дети покидают школу.

Возникают трудности во взаимоотношениях между мальчиками и девочками в школе в период полового созревания и зрелости. В одном классе учатся мальчики и девочки одного возраста, но между 11 и 15 годами девочка практически на 2 года старше мальчика того же возраста. Она опережает мальчика по развитию, она выше ростом, у нее более “взрослые” интересы. Ей хочется принимать ухаживания, а он еще маленький дикарь, который считает постыдным обращать внимание на девчонок. [12]

Границы подросткового периода значительно варьируются. Одни дети вступают в подростковый возраст раньше, другие – позже, подростковый кризис может возникнуть и в 11, и в 13 лет. Начинаясь с кризиса, весь период обычно протекает трудно и для ребенка, и для близких ему взрос­лых. Поэтому подростковый возраст иногда называют затянувшимся кризисом.

Учитывая все вышеизложенные особенности, проанализируем изучение темы “Многоугольники. Площади многоугольников” в учебниках геометрии под редакцией авторов Атанасяна и Погорелова с целью выявления наиболее оптимальной методики формирования знаний, умений и навыков по данной теме, необходимых для успешного обучения в ВУЗах.

§2 Сравнительный анализ учебных пособий

Учебное пособие под редакцией

Л. С. Атанасяна

Учебное пособие под редакцией

А. В. Погорелова

8

Класс

На изучение темы “Четырехугольники” отводится 14 часов. Вводятся понятия многоугольника (это фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек ), параллелограмма, трапеции, прямоугольника, ромба, квадрата и их свойств. Ряд теоретических положений формулируется и доказывается в ходе решения задач. Понятие многоугольника вводится на основе наглядного представления. [3]

На изучение темы отводится 20 часов. Вводятся понятия параллелограмма, трапеции, прямоугольника, ромба, квадрата и их свойств.

Основная цель – дать учащимся систематические сведения о четырехугольниках и их свойствах.

На изучение темы “Площади фигур” отводится 14 часов. В данной теме изучаются следующие понятия:

1. Площадь многоугольника. Это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Так же рассматриваются свойства площадей:

А) равные многоугольники имеют равные площади

Б) если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников

В) площадь квадрата равна квадрату его стороны

2. Площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. S = a ∙ b

Доказательство. Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b. По свойству площадь квадрата равна (а+ b )2 . с другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника c площадью S, из равного ему c площадью S и двух квадратов c площадями а2 и b 2 . По свойству имеем, (а+ b )2 = S + S +а2 + b 2 , или а2 +2 ab + b 2 =2 S + а2 + b 2 . отсюда получаем: S = ab.

3. Площадь параллелограмма. Площадь параллелограмма равна произведению его основания a на высоту h.

4. Площадь треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения основания а на высоту h.

5. Площадь трапеции. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований a и b на высоту h.

Основная цель – сформировать у учащихся понятие площади многоугольника, развить умение вычислять площади фигур, применяя изученные свойства и формулы. [4]

В данном учебном пособии эта тема в 8 классе не изучается.

9

Класс

В данном учебном пособии к 9 классу эта тема уже полностью изучена.

В данном учебном пособии темы “Многоугольники” и “Площади фигур” изучаются в разных параграфах.

На изучение темы “Многоугольники” отводится 12 часов. Определение вводится на основе термина “ломанная”. Многоугольник – это простая замкнутая ломаная. Данная тема, помимо изучения многоугольников и их свойств, включает в себя ряд параграфов, не относящихся к теме “Многоугольники”.

На изучение темы “Площади фигур” отводится 12 часов. Изучаемые понятия:

1. Площадь многоугольника. Это положительная величина, численное значение которой обладает свойствами (они указаны ранее в рассмотрении учебника под ред. Атанасяна)

2. Площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника со сторонами a и b вычисляется по формуле

Доказательство.

○Для этого сначала докажем, что площади двух прямоугольников с равными основаниями относятся как их высоты.

Пусть ABCD и AB 1 C 1 D – два прямоугольника с общим основанием AD (см. Приложение 2а). Пусть S и S 1 – их площади. Докажем, что . Разобьем сторону AB прямоугольника на большое число n равных частей, каждая из них равна . Пусть m – число точек деления, которые лежат на стороне AB 1 . Тогда

. Отсюда, разделив на AB, получим: . (1)

Проведем через точки деления прямые, параллельные основанию AD. Они разобьют прямоугольник ABCD на n равных прямоугольников. Каждый из них имеет площадь . Прямоугольник AB 1 C 1 D содержит первые m прямоугольников, считая снизу, и содержаться в m +1 прямоугольниках. Поэтому . Отсюда . (2)

Из неравенств (1) и (2) мы видим, что оба числа и заключены между и . Поэтому они отличаются не более чем на . А так как n можно взять сколь угодно большим числом, то это может быть только при .●

Возьмем теперь квадрат, являющийся единицей площади, прямоугольник со сторонами 1, а и прямоугольник со сторонами a, b (см. Приложение 2б). Сравнивая их площади, по доказанному будем иметь:

и . Перемножая эти неравенства почленно, получим:

3. Площадь параллелограмма. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны а на высоту h, проведенную к этой стороне.

4. Площадь треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны а на проведенную к ней высоту h.

5. Площадь трапеции. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований a и b на высоту h : [5]

Основная цель аналогична той, которая ставится в учебном пособии под редакцией Атанасяна.

Доказательства теорем в обоих учебных пособиях приводятся в готовом виде. В задачи доказательства теорем ни в одном из пособий не введены.

Итак, совершенно ясно, что данные учебные пособия имеют значительные различия. В учебном пособии под редакцией А. В. Погорелова на изучение в 8 классе темы “Четырехугольники” отводится 20 часов, и понятие многоугольника не рассматривается. В учебном же пособии Л. С. Атанасяна на изучение в 8 классе этой темы отводится всего 14 часов, причем понятие многоугольников изучается в этом параграфе.

Изучение темы “Площади многоугольников” данные учебные пособия изучают в разное время: в учебном пособии Л. С. Атанасяна данная тема изучается в 8 классе, и на нее отводится 14 часов, а в учебном пособии А. В. Погорелова тема изучается в 9 классе, и на нее отводится 12 часов. Так же в этом параграфе дети знакомятся с понятием многоугольника.

Практические задания темы “Площади многоугольников”, предлагаемые в учебном пособии Л. С. Атанасяна, в отличие от учебного пособия под редакцией А. В. Погорелова, дифференцированы, т. е. в конце каждого пункта следует перечень практических задач по изученному материалу. В конце главы “Площади многоугольников” имеется список заданий, предлагаемых с целью обобщения темы. Он включает задания повышенной сложности, а также интересные задания для детей, интересующихся математикой. В учебном же пособии под редакцией А. В. Погорелова сначала изучается весь теоретический материал по теме “Площади многоугольников”, и только в конце главы представлен список практических заданий по изученной теме.

Еще одним различием учебных пособий является наличие заданий, проверяющих не только знание формул, но также знание основных определений и свойств по теме “Площади многоугольников”. В учебнике, предложенном А. В. Погореловым, количество таких заданий не превышает и четверти от общего объема практического материала. В основном, все задачи направлены на проверку знания учениками формул вычисления площадей фигур. Задания повышенной сложности также представлены в небольшом количестве. Одним словом, учебное пособие под редакцией А. В. Погорелова рассчитано на “среднего” ученика и мало ориентировано на учащихся, уровень знаний которых выше среднего. В учебном пособии, предлагаемом Л. С. Атанасяном, такого рода заданиям уделяется большее количество внимания. Это способствует развитию у детей логического мышления, смекалки и интереса к предмету.

Что касается оформления, то учебник под редакцией Л. С. Атанасяна отличается достаточной красочностью и количеством наглядностей. Однако, сравнивая с учебником А. В. Погорелова, наглядности в учебном пособии Л. С. Атанасяна меньшего масштаба, что порой доставляет неудобства.

Проанализировав методики подачи материала в учебных пособиях, можно сделать вывод, что учебное пособие под редакцией А. В. Погорелова изучает рассматриваемые темы более глубоко, однако многие из них написаны непонятным для подростков языком, что вызывает затруднения при их изучении. Более легкая трактовка определений и доказательств теорем представлена в учебном пособии под редакцией Л. С. Атанасяна. Материал усваивается легче, несмотря на то, что объем часов, отведенных на изучение данных тем, меньше, чем в учебном пособии А. В. Погорелова.

Таким образом, я считаю, что для лучшего усвоения учебного материала по темам “Многоугольники” и “Площади многоугольников”, наиболее подходящей является методика изучения, предложенная Л. С. Атанасяном, которую я приму за основу при подготовке урока по теме “Многоугольники и площади многоугольников”.

§3 Компьютер на уроках геометрии

Наглядность – “золотое правило дидактики” (Я. А. Коменский) составляет содержание одного из ведущих дидактических принципов.

Компьютер обладает большими возможностями в реализации принципа наглядности на уроках геометрии. С его помощью можно изобразить плоские, объемные фигуры, представить фигуры в статичном и динамичном режиме. К компьютерным изображениям могут быть приложены определенные задания для выполнения их учащимися, что дает возможность отойти от обычной созерцательности и вовлечь учащихся в активную работу по изучению учебного материала. [14]

В настоящее время все большее распространение на уроках геометрии стали получать электронные презентации. Они имеют ряд преимуществ, позволяющих сделать изучение материала более успешным:

– Необычное оформление урока вызывает у учащихся повышенный интерес к работе и усиливает мотивацию учения;

– Цвет, мультипликация, музыка, звуковая речь расширяют возможности представления информации;

– Презентации включают учащихся в учебный процесс, позволяют им сосредоточить внимание на наиболее важных аспектах изучаемого материала, не торопят с решением. [15]

Принимая во внимание положительные характеристики данного типа программ, я разработала электронную презентацию к уроку по теме “Многоугольники и их площади” (см. Приложение 3) с целью применения на уроках геометрии. Презентация позволит обобщить и закрепить знания по изученной теме. Также в презентации присутствует контрольный тест, который поможет выяснить, насколько прочно ученики усвоили материал.

Заключение

Человек постоянно сталкивается с необходимостью измерить площадь чего-либо. Именно поэтому, тема “Площади многоугольников” важна в курсе математики основной школы. Заканчивая изучение данного раздела, ученики должны знать понятия многоугольника, треугольника, прямоугольника, трапеции, квадрата, параллелограмма, должны знать формулы вычисления площадей данных фигур и должны уметь применять их при решении задач и в повседневной жизни.

В настоящее время, как показывает практика, геометрии уделяется недостаточное количество внимания. Это сказывается на уровне подготовки учеников к выпускным экзаменам. Неспособность многих школьников решить задачу среднего уровня по геометрии говорит о несовершенстве системы образования. Однако, постоянное совершенствование учебных программ, методик и пособий, подает надежду на изменение данной ситуации. [13]

Немало важную роль сегодня отводят современным техническим средствам обучения. С компьютеризацией обучения во всем мире связаны надежды на повышение эффективности учебного процесса. Умелое использование различ­ных компьютерных технологий приобретает в наши дни общегосударственное значение, и одна из важнейших задач школы – вооружать учащих­ся навыками их использования.

Компьютерные технологии, обладая широкими динамическими возможностями, не только повы­шают наглядность обучения, но и позволяют при­менять на уроке проблемно-поисковые методы, организовать самостоятельную работу учащихся и приобщить их к исследовательской деятельно­сти. Все это положительно сказывается на инте­ресе ребят к математике, а учителю позволяет подготовить и провести урок так, чтобы ученики не только поняли суть излагаемого материала, но хорошо усвоили его. [14]

Список используемой литературы:

1. Атанасян Л. С., “Планиметрия. Курс элементарной геометрии”, ч.1, М., Сантакс-Пресс, 1997г.

2. Ефимов Н. В. “Высшая геометрия”, М., Наука 1971г.

3. Программа по математике 5-11 классы, М., Дрофа, 2004г.

4. Атанасян Л. С., “Геометрия 7-9”, М., Просвещение, 2003г.

5. Погорелов А. В., “Геометрия 7-11”, М., Просвещение, 1992г.

6. Атанасян Л. С., “Изучение геометрии в 7-9 классах”, М., Просвещение, 2002г.

7. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. пособие для 6 – 10 кл., М., Просвещение, 1998г.

8. Глейзер Г. И., “История математики в школе”, М., Просвещение, 1964г.

9. Совайленко В. К., “Система обучения математике”, М., Просвещение, 1991г.

10. Дубровина И. В., “Рабочая книга школьного психолога”, М., Просвещение, 1991г.

11. Аверин В. А. “Психология детей и подростков: Учеб. Пособие” – 2-е изд., перераб. – СПб, Изд-во Михайлова В. А., 1998г.

12. Спок Бенджамин “Ребенок и уход за ним”, пер. с англ. Н. А. Перовой., Архангельск, Сев.-Зап. кн. изд-во, 1990г.

13. Кудрявцев Л. Д. Мысли о современной математике и ее изучении., М., Наука, 1977г.

14. Марюков М. Н. Компьютерные обучающие системы в геометрии // Математика в школе. – 1997г., №2

15. Новые информационные технологии и обучение математики. “Математика в школе”. 1990г., №5

16. Компьютер на уроке. “Математика в школе”. 2007г., №5

17. Киселева А. П. Элементарная геометрия., М., Просвещение, 1980г.


Многоугольники. Площади многоугольников в школьном курсе математики