Некоторые линейные операторы

Содержание

Введение

§1. Определение линейного оператора. Примеры

§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора

§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

§4. Оператор умножения на непрерывную функцию

§5. Оператор интегрирования

§6. Оператор дифференцирования

§7. Оператор сдвига

Заключение

Введение

Наиболее доступными для изучения среде операторов, действующих в линейных нормированных пространствах, являются линейные операторы. Они представляют собой достаточно важный класс операторов, так как среди них можно найти операторы алгебры и анализа.

Целью дипломной работы является показать некоторые из линейных операторов, исследовать их на непрерывность и ограниченность, найти норму ограниченного оператора, а также спектр оператора и его резольвенту.

В первом и втором параграфах приведены основные сведения теории операторов: определение линейного оператора, непрерывности и ограниченности линейного оператора, его нормы. Рассмотрены некоторые примеры.

В третьем параграфе даны определения обратного оператора, спектра оператора и его резольвенты. Рассмотрены примеры.

В четвертом параграфе исследуется оператор умножения на непрерывную функцию: Ах(t) = g(t)x(t).

В пятом параграфе приведен пример оператора интегрирования Аf(t)=.

В седьмом параграфе исследуется оператор сдвига Af(x) = f(x+a).

Показана линейность, непрерывность, ограниченность, найдена норма, точки спектра и резольвента всех трех операторов.

В шестом параграфе исследуется оператор дифференцирования Дf(x)=f/ (x), в пространстве дифференцируемых функции D[a, b] . Показана его линейность. Доказано, что Д не является непрерывным оператором, а также как из неограниченности оператора следует его разрывность.

§1. Определение линейного оператора. Примеры

Определение 1. Пусть Ex и Ey[1] – линейные пространства над полем комплексных (или действительных) чисел. Отображение А: Ex ® Ey называется линейным оператором, если для любых элементов х1 и х2 пространства Ex и любого комплексного (действительного) числа выполняются следующие равенства [2] :

1. А(х1 +х2 ) = Ах1 + Ах2 ;

2. А(Х) = А(х);

Примеры линейных операторов:

1) Пусть Е = Е1 – линейное топологическое пространство. Оператор А задан формулой:

Ax = x для всех x Е.

Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя является линейным и называется единичным оператором.

2) Рассмотрим D[a, b] – пространство дифференцируемых функций, оператор дифференцирования Д в пространстве D[a, b] задан формулой:

Дf(x) = f/ (x).

Где f(x) D[a, b] , f/ (x) C[a, b] .

Оператор Д определен не на всем пространстве C[a, b] , а лишь на множестве функций имеющих непрерывную производную. Его линейность, очевидно, следует из свойств производной.

3) Рассмотрим пространство С[-, +] – пространство непрерывных и ограниченных функций, оператор А сдвигает функцию на const a:

Аf(x) = f(x+a).

Проверим линейность оператора А:

1) А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).

Исходя из определения суммы функции, аксиома аддитивности выполняется.

2) A(kf(x)) = kf(x+a) = kA(f(x)).

Верна аксиома однородности.

Можно сделать вывод, что А – линейный оператор.

4) Пусть (пространство непрерывных функций на отрезке [0,1], и дано отображение 1 , заданное формулой:

Так как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является функцией дифференцируемой, а, следовательно, непрерывной, то . В силу линейности определенного интеграла данное отображение является линейным оператором.

§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном

Пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора

Пусть , – нормированные пространства.

Определение 2 . Оператор А: Е Е1 называется непрерывным в точке , если какова бы не была последовательность xn x0 , А(xn ) сходится к А(x0 ). То есть, при p (xn, x0 ) 0, p (А(xn ), А(x0 )) 0.

Известно и другое (равносильное) определение непрерывности линейного оператора.

Определение 3. Отображение А называется непрерывным в точке x0 , если какова бы не была окрестность[3] U точки y0 = А (x0 ) можно указать окрестность V точки x0 такую, что А(V) U.

Иначе >0 >0, что как только p (x, x0 ) < , p (f(x), f(x0 )) < .

Теорема 1.

Если линейный оператор непрерывен в точке х0 = 0, то он непрерывен и в любой другой точке этого пространства.

Доказательство. Линейный оператор А непрерывен в точке х0 =0 тогда и только тогда, когда . Пусть оператор А непрерывен в точке х0 =0. Возьмем последовательность точек пространства хn ®х1 , тогда хn – х1 ®0, отсюда А(хn – х1 )®А(0)=0, т. е. А(хn – х1 )®0.

Так как А – это линейный оператор, то А(хn – х1 )®Ахn – Ах0 , а тогда

Ахn – Ах0 ® 0, или Ахn ®Ах0 .

Таким образом, из того, что линейный оператор А непрерывен в точке х0 =0, следует непрерывность в любой другой точке пространства.

Т. д-на.

Пример.

Пусть задано отображение F(y) = y(1) пространства С[0, 1] в R. Проверим, является ли это отображение непрерывным.

Решение.

Пусть y(x) – произвольный элемент пространства С[0, 1] и yn (x) – произвольная сходящаяся к нему последовательность. Это означает:

p (yn, y) = |yn (x)- y(x))| = 0.

Рассмотрим последовательность образов: F(yn ) = yn (1).

Расстояние в R определено следующим образом:

P (F(yn ), F(y)) = |F(yn ) – F(y))| = | yn (1) – y(1)| |yn (x)- y(x))|=p(yn, y),

То есть p (F(yn ), F(y)) 0.

Таким образом, F непрерывно в любой точке пространства С[a, b] , то есть непрерывно на всем пространстве.

С понятием непрерывности линейного оператора тесно связано понятие ограниченности.

Определение 4. Линейный оператор А: Е Е1 называется ограниченным, если можно указать число K>0 такое, что

||Аx|| K||x||. (1)

Теорема 2.

Среди всех констант K, удовлетворяющих (1), имеется наименьшее.

Доказательство:

Пусть множество S – множество всех констант K, удовлетворяющих (1), будучи ограниченным снизу (числом 0), имеет нижнюю грань k. Достаточно показать, что k S.

По свойству нижней грани в S можно указать последовательность (kn ), сходящуюся к k. Так как kn S, то выполняется неравенство: |А(x)| kn ||x||, (xE). Переходя в этом неравенстве к пределу

Получаем |А(x)| k||x||, где (xE), (k S).

Т. д-на.

Определение 5. Наименьшая из этих констант K, для которых выполняется неравенство (1), называется нормой оператора А и обозначается ||A||[4] .

||А|| K, для K, подходящего для (1), то есть |А(x)| ||А||||x||, где

||А|| = XE.

Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема 3.

Для того, чтобы линейный оператор А действующий из Ex в Ey был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был непрерывен.

Необходимость :

Дано: А – ограничен;

Доказать: А – непрерывен;

Доказательство:

Используя теорему 1 достаточно доказать непрерывность А в нуле.

Дано, что ||Аx|| K||x||.

Докажем, что А непрерывен в нуле, для этого должно выполняться >0, >0 что ||x||< ||Ax|| < .

Выберем так, чтобы K*||x|| < , ||x|| < , (К>0), значит = , тогда если ||x||< , то ||Аx|| K||x|| < K =

Непрерывность в нуле доказана, следовательно доказана непрерывность в точке.

Достаточность :

Дано: А – непрерывен;

Доказать А – ограничен;

Доказательство:

Допустим, что А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы один соответственный вектор x1 такой, что ||A x1 || > 1|| x1 ||.

Числу 2 найдется вектор x2 , что ||A x2 || > 2|| x2 || и т. д.

Числу n найдется вектор xn, что ||A xn || > n|| xn ||.

Теперь рассмотрим последовательность векторов yn = , где

||yn || = .

Следовательно последовательность yn 0 при n .

Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аyn 0, однако

||Аyn || = ||A|| = ||Axn || > n|| xn || = 1, получаем противоречие с Аyn 0, то есть А – ограничен

Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны.

Примеры.

1) Покажем, что норма функционала[5] F(y) = в C[a, b] , где p(x) – непрерывная на [a, b] функция, равна .

По определению 5: ||F|| = |F(x)| = ||.

|| || = |Y(x)||| |y(x)|||;

||F|| = (|y(x)|||) = ||y(x)|||| = || .

Таким образом, норма F(y) = будет ||F|| = ;

2) Найдем норму функционала, определенного на C[0, 2], где p(x)=(x-1)

F(y) = .

По выше доказанному ||F|| = = 1.

§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

Пусть , – нормированные пространства, – линейный оператор, DA – область определения оператора, а RA – область значений.

Определение 6. Оператор А называется обратимым, если для любого элемента у, принадлежащего RA, уравнение Ах=у имеет единственное решение.

Если оператор А обратим, то каждому элементу у, принадлежащему RA, можно поставить в соответствие единственный элемент х, принадлежащий DA и являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным оператором к оператору А и обозначается А-1 .

Теорема 4.

Для того чтобы линейный оператор имел ограниченный обратный оператор необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:

, (m>0).

Доказательство:

Достаточность.

Пусть выполняется данное неравенство. Тогда равенство Ax=0 возможно лишь тогда, когда x – нулевой вектор. Получим 0 m*||x||, отсюда ||x|| 0, но так как норма не может быть <0, то x=0. А обращается в ноль лишь на нулевом векторе. Итак, А-1 существует.

Докажем его ограниченность.

Y=Ax.

X=A-1 y, норма ||A-1 y||=||x||, но ||x|| ||Ax||=||y||.

Отсюда ||A-1 y|| ||y||, то есть обратный оператор существует и он ограничен.

Если за m возьмем наибольшую из возможных, то получим, что ||A-1 ||=.

Необходимость.

Пусть от А имеется ограниченный обратный А-1 на нормированном пространстве.

Итак, ||A-1 y|| М||y||.

Подставляем значение y и значение A-1 y, получим ||x|| M||Ax|| (М всегда можно считать положительным числом).

Отсюда ||Ax|| ||x||.

Положим =m, получим ||Ax|| m||x||.

Т. д-на.

В теории операторов важную роль играет понятие спектра оператора. Рассмотрим это понятие сначала для конечномерного пространства.

Определение 7. Пусть А – линейный оператор в n-мерном пространстве Еn. Число λ называется собственным значением оператора А, если уравнение Ах=λх имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора А, а все остальные значения λ – регулярными. Иначе говоря, λ есть регулярная точка, если оператор , где I – единичный оператор, обратим, При этом оператор (А – λI)-1 , как и всякий оператор в конечномерном пространстве, ограничен. Итак, в конечномерном пространстве существуют две возможности:

1) уравнение Ах=λх имеет ненулевое решение, то есть λ является собственным значением для оператора А; оператор (А – λI)-1 при этом не существует;

2) существует ограниченный оператор (А – λI)-1 , то есть λ есть регулярная точка.

В бесконечном пространстве имеется еще и третья возможность, а именно:

3) оператор (А – λI)-1 существует, то есть уравнение Ах=λх имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не ограничен.

Введем следующую терминологию. Число λ мы назовем регулярным для оператора А, действующего в линейном нормированном пространстве Е, если оператор (А – λI)-1 , называемый резольвентой оператора А, определен на всем пространстве Е и непрерывен. Совокупность всех остальных значений λ называется спектром оператора А. Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как, если (А – λI)х=0 при некотором х≠0, то оператор (А – λI)-1 не существует. Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра, то есть совокупность тех λ, для которых (А – λI)-1 существует, но не непрерывен, называется непрерывным спектром. Итак, каждое значение λ является для оператора А или регулярным, или собственным значением, или точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного спектра – существенное отличие теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.

Определение 8. Оператор , где – регулярная точка оператора А, называется резольвентой[6] оператора А и обозначается (или ).

Теорема 5. Пусть – линейный непрерывный оператор, его регулярные числа. Тогда .

Доказательство. Умножим обе части равенства на : (==. С другой стороны получим . Так как числа – регулярные для оператора А, то оператор имеет обратный. Значит, из равенства следует, что . Значит, утверждение теоремы верно.

Т. д-на.

Примеры.

1) Рассмотрим в пространстве C[0,1] оператор умножения на независимую переменную t: Ax = tx(t).

Уравнение Аx=X принимает в этом случае вид:

Tx(t) – X(t) = y(t),

Решение x(t) этого уравнения есть функция, тождественно ему удовлетворяющая.

Если лежит вне отрезка [0, 1], то уравнение Аx=X имеет при любом y(t) единственное непрерывное решение:

X(t) = Y(t),

Откуда следует, что все такие значения параметра являются регулярными, и резольвента есть оператор умножения на :

R (y) = Y(t).

Все значения параметра, принадлежащие отрезку[0, 1], являются точками спектра. В самом деле, пусть 0 [0, 1]. Возьмем в качестве y(t) какую-нибудь функцию, не обращающуюся в нуль в точке 0 , y(0 ) = a 0. Для такой функции равенство (t – 0 )x(t) = y(t), не может тождественно удовлетворяться ни при какой непрерывной на отрезке [0, 1] функции x(t), ибо в точке t = 0 левая часть его равна нулю, в то время как правая отлична от нуля. Следовательно, при = 0 уравнение Аx=X не имеет решения для произвольной правой части, что и доказывает принадлежность 0 спектру оператора A. Вместе с тем ни одна точка спектра не является собственным значением, так как решение однородного уравнения (t – )x(t) = 0, [0, 1], при любом t, отличном от , а следовательно, в силу непрерывности и при t = , обращается в нуль, т. е. тождественно равно нулю.

2) Пусть оператор А действующий из Е Е, задается матрицей А=.

Аx = = .

Введем обозначения:

= y1

= y2

X1 , x2 , y1 , y2 E;

A – *I = , найдем определитель A – *I:

D(A – *I) = = (2-)*(-2-) – 3 = 2 – 7;

Если определитель отличен от нуля, то есть если не есть корень уравнения 2 – 7 = 0, следовательно, все такие значения параметра регулярные.

Корни уравнения 2 – 7 = 0 образуют спектр:

1 = ; 2 = –;

1 , 2 – собственные значения.

Найдем собственные векторы для собственных значений :

При = получаем:

Откуда x1 = (2+)x2 ; 1-й собственный вектор: ((2+)x, x);

При = – получаем:

Откуда x1 = (2 – )x2 ; 2-й собственный вектор: ((2 – )x, x);

§4. Оператор умножения на непрерывную функцию

Рассмотрим пространство непрерывных на отрезке функций, и оператор А, заданный формулой:

Ах(t) = g(t) x(t).

G(t) – функция, непрерывная на [a, b]; a, bR.

Проверим является ли оператора А линейным, то есть, по определению 1, должны выполняться аксиомы аддитивности и однородности.

1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).

A(f+g) = (g(t)+f(t))x(t) = g(t)x(t)+f(t)x(t) = A(f) + A(g).

2) Аксиома однородности: A(k*f) = k*A(f).

A(k*f) = A(k*x(t)) = k*g(t)x(t) = kA(x(t)) = k*A(f).

По средствам арифметических операции над функциями, аксиомы аддитивность и однородность выполняются. Оператор А является линейным по определению.

3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

P (fn (x), f0 (x)) 0 p (A fn (x), Af0 (x)) 0.

Оператор А, действует в пространстве C[] , в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

P (fn (x), f0 (x)) = | fn (x) – f0 (x)|.

Решение:

P (A xn (t), Ax0 (t)) = |Axn (t) – Ax0 (t)| = |xn (t)g(t) – x0 (t)g(t)| |g(t)| |xn (t) – x0 (t)| = |g(t)|p (xn (t), x0 (t)) 0.

Итак, p (A xn (t), Ax0 (t)) 0. Следовательно по определению 2 оператор А является непрерывным, а по теореме 3 он ограничен.

4) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму.

По определению 5: ||A||=|A(f)|.

Решение.

||A||=|A(f)|=|g(t)x(t)|.

|g(t)x(t)| |g(t) X(t)| = |g(t)| |X(t)| |x(t)| |g(t)|.

||A||=|x(t)| |g(t)| = ||x(t)|| |g(t)| |g(t)|.

Норма оператора А: ||A|| = |g(t)|.

5) Обратимость оператора А, его спектр и резольвента.

Возьмем произвольное число и составим оператор :

(А – l I ) x (t) = (g(t) – l ) х(t).

Чтобы найти обратный оператор, нужно решить уравнение относительно функции . Это возможно, если для любого :

.

Если число не является значение функции g(t), то знаменатель не обращается в 0, и функция непрерывна на данном отрезке, а, значит, ограничена: существует такое число С, что на всем отрезке . Отсюда следует, что оператор является ограниченным.

Если же , то оператор не существует. Следовательно, спектр оператора состоит из всех l = g(t).

Резольвента оператора имеет вид .

Отметим, что точки спектра , , не являются собственными числами. Не существует такой непрерывной функции , для которой , или . Поэтому весь спектр данного оператора является непрерывным.

Вывод:

Оператор A, заданный формулой: Ах(t) = g(t)x(t), где g(t) – функция, непрерывная на [a, b], a, bR:

1. линейный;

2. непрерывный;

3. ограниченный, с нормой ||A|| = |g(t)|;

4. обратим при , для любого ;

5. спектр оператора состоит из всех l = g(t); спектр данного оператора является непрерывным;

6. резольвента имеет вид .

§5. Оператор интегрирования

Рассмотрим оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций – C[a, b] , определенных на отрезке [a, b], заданный следующим образом:

Аf(t) = .

F(t) – функция, непрерывная на [a, b],t [a, x]; x [a, b]; a, bR;

Поскольку – интеграл с переменным верхним пределом, есть функция от верхнего предела – F(x), a x b; Следовательно можно утверждать, что А – оператор.

Проверим оператор A на линейность. По определению 1:

1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).

A(f+g) = = + = A(f) + A(g).

2) Аксиома однородности: A(kf) = kA(f).

A(kf) = = k* = kA(f).

Исходя из свойств интеграла:

1. интеграл от суммы, есть сумма интегралов;

2. вынесение const за знак интеграла.

Можно сделать вывод: оператор А является линейным.

3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

P (fn (t), f0 (t)) 0 p (A fn (t), Af0 (t)) 0.

Оператор А, действует в пространстве C[a, b] , в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

P (fn (t), f0 (t)) = | fn (t) – f0 (t)|.

Решение:

P (A fn (t), Af0 (t)) = ||.

|| = || = p (fn (t), f0 (t)) = p (fn (t), f0 (t)) (x-a) 0

AXB.

Таким образом p (A fn (t), Af0 (t)) 0. следовательно по определению 2 оператор А непрерывен.

4) Непрерывный оператор является ограниченным (теорема 3):

|| || ||

|| = 0; || = |b-a|.

0 || |b-a|.

5) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму. Найдем норму оператора А (используя определение ||A||=|A(f)|):

||A|| = |A(f)| = || = (x-a);

A x b;

Норма оператора А: ||A|| = (b-a);

6) Обратимость интегрального оператора и его спектр.

Возьмем пространство S = {f C[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f|| = |f(x)|.

В пространстве S рассмотрим оператор А:

Аf =

X [0,b], t [0,x];

Найдем оператор обратный к (A – *I), R;

(A – *I)*f = g

*f(x) = g(x) (1)

Пусть функции f и g дифференцируемы;

Продифференцируем уравнение (1), получим:

F – *f/ = g/ (2)

Это уравнение (2) – дифференциальное неоднородное линейное уравнение. Решим это уравнение, используя метод Бернулли.

– f/ =

+ f/ = 0 (3)

Представим решение уравнения в виде: f(x) = U(x)*V(x), тогда уравнение (3) примет вид:

*U*V + U/ *V + U*V/ = 0

U/ *V + U*V/ – *U*V = –

U/ *V + U*(V/ – *V) = – (4)

Решаем однородное линейное уравнение:

V/ – *V = 0

V/ = *V

= *V

=

LnV = + c

V = *, пусть = с1

V = с1 *

Подставим частное решение однородного уравнения в уравнение (4) при условии, что V/ – *V = 0.

Получим уравнение:

U/ * с1 * = –

= –

= – *

U = –*

Подставим U и V в f(x) = U(x)*V(x) и получим:

F(x) = с1 **(-)*

Найдем интеграл Y = , интегрируем по частям:

Dz = g/ (x)dx;

Z = = g(x);

J = ;

Dj = – *Dx;

Y = g(x)* + *

Подставим полученное значение в выражение f(x), которое примет вид:

F(x) = –**;

Получим оператор В:

Bg = –**;

X [0,b], t [0,x], g(x) S, – произвольное число.

Оператор В не существует, если = 0;

Рассмотрим ограниченность оператора В для всех R, 0;

||Bg|| = ||f(x)|| = |f(x)| = |-**| (|| + |**|) || + |**| || + |*|*|g(x)* |*|x| *|g(x)| + *|g(x)|* (||*|x|) |g(x)|*( + ***b);

При > 0

= ;

= 1;

При < 0

=1;

= ;

Эти оба случая можно записать в общем виде: {1, }, тогда

|g(x)|*( + ***b) |g(x)|*( + *{1, }*b) = ||g(x)||*( + *{1, }*b);

Итак:

||Bg|| ||g(x)||*( + *{1, }*b);

То есть В – ограничен.

Осталось проверить, что В – оператор, обратный к (A – *I).

Если это так, то произведение этих операторов равно единичному оператору или же (A – *I)*(Bg) = g(x).

Итак, нужно доказать, что

+ g(x) + * = g(x)

Или

* + ** = 0; (*)

Возьмем производную от левой части (*) и получим:

*g(x) – ** + ** + *** g(x) = –*g(x) + *g(x) – ** + ** = 0;

Следовательно, выражение (*) = const. Но, так как при x=0 выражение (*) (точнее его левая часть) равно 0, то и const=0. Значит В – обратный оператор к (A – *I) в S.

Итак, мы получили ограниченный оператор В, обратный к (A – *I), который существует при R, за исключением =0, то есть все возможные 0 – это регулярные точки оператора А; Сам же оператор В – резольвента оператора А. Спектр оператора А – значение при которых В не существует, то есть =0.

Вывод:

Оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций – C[a, b] , определенных на отрезке [a, b], заданный следующим образом: Аf(t) = , где f(t) – функция, непрерывная на [a, b], t [a, x]; x [a, b]; a, bR:

1. линейный;

2. непрерывный;

3. ограниченный: 0 || |b-a|;

4. норма A: ||A|| = (b-a);

5. резольвента оператора А: R (A) = –**, где

X [0,b], t [0,x], g(x) S, S = {f C[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f||=|f(x)|, g(x) = *f(x), – произвольное число.

6. Спектр оператора А: =0.

§6. Оператор дифференцирования.

Рассмотрим оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D[a, b] , заданный следующим образом:

Дf(x) = f/ (x);

Функция f(x) D[a, b] , f/ (x) C[a, b] ;

Проверим оператор Д на линейность, по определению 1:

1) Аксиома аддитивности: Д(f+g) = Д(f) + Д(g).

Д(f+g) = (f+g)/ = f/ + g/ = Д(f) + Д(g).

2) Аксиома однородности: Д(kf) = kД(f).

Д(kf) = (kf) / = k(f)/ = kД(f).

Исходя из свойств производной:

1. производная от алгебраической суммы нескольких функций равна алгебраической сумме их производных;

2. постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Можно утверждать, что Д – линейный оператор.

3) Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны, это следует из теоремы 3.

3.1) Для начала покажем, что Д не является непрерывным оператором.

Задан оператор Дf(x) = f/ (x) подпространства E C[0, 2] , состоящего из непрерывно дифференцируемых функций, в пространство C[0, 2] .

Рассмотрим f0 (x) = 0 C[0, 2] и последовательность функций fn (x)=.

В пространстве E C[0, 2] : p (f0 , fn ) = || = 0, следовательно fn f0 .

Рассмотрим последовательность образов: Д(fn ) = cos(nx).

Имеем:

P (Дfn, Дf0 ) = |cos(nx)| = 1.

Это означает, что Дfn не может сходиться к Дf0 , то есть отображение Д терпит разрыв в f0 .

Поскольку оператор не является непрерывным, то, следовательно, он и не является ограниченным.

3.2) Теперь покажем, как из неограниченности оператора следует его разрывность.

Пусть оператор Д действует из C[0, 1] в C[0, 1] , оператор Дf(x) = f/ (x);

Этот оператор определен не на всем пространстве непрерывных функций, а лишь на подпространстве непрерывных функций, имеющих непрерывную производную.

В пространстве C[0, 1] норма ||f|| = |f(t)|.

Возьмем из C[0, 1] последовательность fn (t) = tn. Она ограничена в C[0, 1] : ||fn (t)|| = |tn | = 1.

Рассмотрим Д fn (t): Д fn (t) = f/n (t) = n tn-1 ;

||f/n (t)|| = |n tn-1 | = n.

В результате получили, что оператор Д переводит ограниченное множество в неограниченное, значит, по определению этот оператор не является ограниченным, а по теореме 3 не является непрерывным.

Вывод:

Оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D[a, b] , заданный следующим образом: Дf(x)=f/ (x), где функция f(x) D[a, b] , f/ (x) C[a, b] :

1. линейный;

2. не ограниченный;

3. не непрерывный.

§7. Оператор сдвига

Рассмотрим оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций – C[] , заданный следующим образом:

Af(x) = f(x+a).

Функции f(x), f(x+a) C[] , a R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная функция.

Покажем линейность оператора А, по определению 1 должны выполняться следующие аксиомы :

1) Аксиома аддитивности: А(f+g) = А(f) + А(g).

А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).

По определению суммы функции, аксиома верна.

2) Аксиома однородности: А(kf) = kА(f).

A(k*f(x)) = k*f(x+a) = k*A(f(x)).

Аксиомы 1 и 2 верны, следовательно можно сделать вывод, что А – линейный оператор.

3) Проверим является ли оператор A непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

P (fn (x), f0 (x)) 0 p (A fn (x), Af0 (x)) 0.

Оператор А действует в пространстве C[] , в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

P (fn (x), f0 (x)) = | fn (x) – f0 (x)|.

Решение:

P (A fn (x), Af0 (x)) = |Afn (x) – Af0 (x)| = |fn (x+a) – f0 (x+a)| = = |fn (t) – f0 (t)| = p (fn (t), f0 (t)) 0.

Таким образом p (A fn (x), Af0 (x)) 0. Следовательно оператор А непрерывен.

4) Непрерывный оператор является ограниченным, а у ограниченного оператора есть норма, найдем норму оператора А (по определению 5):

||A|| = |Af| = |f(x+a)| 1.

Поскольку ||f|| = |f(x)| 1.

Норма А: ||A|| = 1.

5) Обратимость оператора А: Af(x) = f(x+a)

Такой оператор A сдвигает функцию на const a; обратный к A оператор будет сдвигать функцию на const (-a):

A-1 f(x) = f(x-a).

6) Спектр оператора А.

Рассмотрим пространство непрерывных функций – С[0, +) , имеющих конечный предел на :

Af(x) = f(x+a), a0.

Вопрос о спектре оператора А касается разрешимости в пространствах С[0,b) и С[а,+) .

Введем функцию V(x) = при ||<1, 0, найдем ее предел:

= 0

Следовательно рассмотренная функция входит в пространство С[0,+) .

Теперь рассмотрим V(x+a) = = * = *V(x).

Для =0 подберем непрерывную функцию = 0 при x а и не равную 0 при x [0, a]. Для этой функции A(V(x)) = 0 то есть она является собственным вектором для числа 0; функция V(x) = с, так же удовлетворяет разностному отношению V(x) – V(x+a) = 0. Значит =1 точечному спектру и в том и в другом пространстве. И все точки внутри единичного круга точечному спектру.

Покажем, что остальные точки окружности точечному спектру оператора А в пространстве С[0, +) .

Рассмотрим U(x) = и число = (|| = 1);

U(x+a) = = = U(x);

U(x) = = Cos() + iSin(), принадлежит пространству С[0,b) так как мнимая и действительная части – функции ограниченные, но не принадлежат пространству С[a, +) так как не имеют конечного предела на .

Если точки лежат вне единичного круга, то они регулярные для оператора А в 2-х пространствах.

Покажем, что в пространстве С[0, +) точки = , 2N не будут собственными числами.

Докажем это от противного: пусть найдется = , 2N – собственное число, тогда найдется функция f(x) С[0, +) , что

F(x+a) = F(x).

Применим оператор А n раз: f(x+n*a) = N f(x), тогда

f(x+na) = N f(x), у левой части предел конечен;

Правая часть предела не имеет, так как не имеет предела последовательность N = = Cos(N) + iSin(N).

Следовательно = , 2N собственным числом не является.

Эти точки будут принадлежать спектру оператора А в пространстве С[0,+) , так как спектр замкнутое множество и граница единичного круга должна принадлежать спектру оператора А в пространстве С[0, +) .

Сделаем вывод:

При ||>1 все точки регулярные ;

При ||<1 и =1 – точки спектра;

При = , 2N – точки непрерывного спектра.

Вывод:

Оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций – C[] , заданный следующим образом: Af(x) = f(x+a), где функции f(x), f(x+a) C[] , a R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная функция:

1. линейный;

2. непрерывный и ограниченный;

3. норма А: ||A|| = 1;

4. A-1 f(x) = f(x-a);

5. Спектр оператора А:

– при ||<1 и =1 – точки спектра;

– при = , 2N – точки непрерывного спектра;

– При ||>1 все точки регулярные.

Заключение

В ходе проделанной работы были рассмотрены основные определения теории линейных операторов: непрерывность, ограниченность, норма, спектр оператора и резольвента. Проведено исследование четыре оператора: оператор умножения на непрерывную функцию, оператор интегрирования, оператор дифференцирования, оператор сдвига. Можно сказать, что поставленные цели были достигнуты.

Список литературы

1. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст]/ А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. – М.: Наука; Главная редакция физико-математической литературы, 1972.

2. Соболев, В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа [Текст] / В. И. Соболев. – М.: Наука, 1968.

3. Петров, В. А., Виленкин, Н. Я, Граев, М. И. Элементы функционального анализа в задачах [Текст]/ В. А. Петров, Н. Я. Виленкин, М. И. Граев под ред. О. А. Павлович. – М.: Просвещение, 1978.

4. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория [Текст]/ Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц; под ред. А. Г. Костюченко; пер. с англ. Л. И. Головина, Б. С. Литягина. – М.: Издательство иностранной литературы, 1926.

[1] Ex и Ey – линейные многообразия, то есть если x, y Ex, то X + Y Ey, при , .

Ex – область определения А;

Ey – область значения А;

[2] Равенства 1 и 2 определяются как аксиомы аддитивности и однородности;

[3] Шаром в метрическом пространстве называется совокупность элементов x пространства, удовлетворяющих условию p ( xn, x 0 ) < а.

Шар D ( x 0 , a ).

Если p ( xn, x 0 ) а, то D ( x 0 , a ) – замкнутый шар.

Если p ( xn, x 0 ) = а, то S ( x 0 , a ) – сфера.

Всякий шар метрического пространства, содержащий точку y, называется окрестностью точки y.

[4] Свойства нормы оператора.

1) Если оператор ограничен, , то и оператор ограничен, причем .

2) Если операторы ограничены, то и оператор ограничен, причем и .

[5] Линейный функционал, есть частный случай линейного оператора. Именно, линейный функционал есть линейный оператор, переводящий пространство E в числовую прямую.

[6] Резольвента – это функция комплексного переменного со значениями во множестве операторов, определенная на множестве регулярных чисел данного оператора.


Некоторые линейные операторы