Неопределенные уравнения первой степени

Введение в неопределенные уравнения

Когда мы обдумываем решение той или иной задачи, необходимо обращать внимание на то, какие в ней используются величины. Целые или дробные? Положительные или отрицательные? Ведь незначительная деталь помогает не только устранить ошибку в решении той или иной задачи, но и найти само решение. Разберем это на примере.

Пусть у Миши (заранее извиняюсь, если посетитель сайта Михаил) есть пятирублевые и, допустим, восьмирублевые монеты. Всего их на сумму тридцать девять рублей. Сколько монет по пять рублей и сколько по восемь у Миши.

Кажется, что тут не хватает данных, если, например, через x обозначить кол-во 5-рублевых монет, а за y – 8-рублевых монет, то условие самой задачи позволяет написать одно единственное уравнение:

Эти и другие уравнения и их системы, в которых число неизвестных превышает число уравнений, называют неопределенными.

Из условия видно, что кол-во монет не может измеряться нецелыми или отрицательными числами. Значит, если x – целое неотрицательное число, то и:

Должно быть неотрицательным и целым. А значит, нужно, чтобы выражение 39 – 5x без остатка делилось на 8. С помощью подбора можно убедится, что это возможно при x = 3. Отсюда, y = 3.

Перебор вариантов не удобен, когда мы работаем с большими числами. Гораздо лучше воспользоваться методом рассевания или методом спуска, который придумали древнеиндийские математики. О методе спуска будет сказано чуть ниже.

Метод спуска (материал взят из энциклопедии Аванта+ “Математика”)

Продолжим рассмотрение неопределенного уравнения вида:

Где a, b, c – известные целые коэффициенты.

Разберем это все на знакомом примере:

Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент, и выразим его через другое неизвестное:

Теперь выделим целую часть:

Все число будет целым, если целым окажется значение (4 – 3у)/5. Это возможно лишь тогда когда число (4 – 3у) без остатка делится на 5. Вводя дополнительную целочисленную переменную z, последнее условие запишем в виде

Мы пришли к уравнению такого же типа, как и исходное, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его теперь нужно относительно переменных y и z.

Продолжаем действовать все по тому же принципу:

Для того чтобы у оказалось целым, необходимо, чтобы число 1 – 2z без остатка делилось на 3: 1 – 2z = 3u (вновь введена дополнительная переменная u, принимающая только целые значения). Отсюда по уже отработанной схеме получаем:

Продолжим… Число z будет целым, если число 1 – u без остатка делится на 2: 1 – u = 2v, где v – произвольное целое. Отсюда u =1 – 2v. Дробей больше нет, спуск закончен.

Осталось теперь благополучно “подняться вверх”. Выразим через переменную v сначала z, потом у и, наконец, х:

Формулы х = 3 + 8v, y = 3 – 5v представляют общее решение исходного уравнения в целых числах. А если нас интересуют только неотрицательные целые числа, то среди всех целых решений нужно выбрать такие, для которых

И, стало быть,

Совместно эти неравенства могут выполняться лишь при v = 0. В этом случае x = 3, y = 3. То есть у Миши было 3 5-рублевые монеты и 3 8-рублевые монеты.

Вообще, целые решения у уравнения вида

Могут быть не всегда. Более того, если на НОД (наибольший общий делитель) a и b делится c, тогда и только тогда, уравнение разрешимо в целых числах.


Неопределенные уравнения первой степени