Область определения функции

Федеральное агентство по образованию

Среднего профессионального образования

“Профессиональный лицей №15”

Кафедра: Станочник (металлообработка)

Контрольная работа

По курсу: “Математика”

На тему: “Область определения функции”

Выполнил студент гр. Т 102

Бахирев Я. А.

Проверил: Корнилова Н. Г.

Воткинск

2010

1. Решить неравенство

X 2 – 3 x +5

X -1

Решение.

Для решения неравенств, правая часть которых – нуль, а левая – алгебраическая дробь, т. е., неравенств вида используем метод интервалов.

Обозначим f ( x ) x 2 -3 x +5 и найдем область определения

X-1

D ( f ) функция f ( x ). Для этого определим нули знаменателя функции:

X-1=0, x=1, D(f)=(-; 1) (1;) .

Найдем нули функции f ( x ). Для этого решим уравнение:

X 2 – 3 x +5 x 2 -3 x +5=0 (1)

X -1 x -1=0 (2)

Решая уравнение (1), получим:

X 2 – 3 x +5=0, D = (-3)2 -4 1 5=9-20<0 – уравнение не имеет решений.

Функция f ( x ) непрерывна на множестве D ( f ) и не имеет нулей. Точка 1 разбивает область определения на промежутки знакопостоянства значений функции. Определим знак значения функции f ( x ) на каждом промежутке знакопостоянства.

Для этого достаточно определить знак значения функции в любой точке промежутка:

F(0) 02 -3 0+5 f (2)= 22 -3 2+5

0-1 2-1

Отметим, для наглядности, на рисунке промежутки знакопостоянства значений функции f ( x ) и запишем решения данного неравенства:

F (x) < 0 f ( x)> 0

F (x) > 0, x c (1 😉 .

Ответ: (1;).

2. Решить неравенство

Log 5 (3 x +1)<2

Решение.

Используя свойства логарифмов положительных чисел

Loga a=1
M loga b =loga bm

Преобразуем неравенство к простейшему логарифмическому неравенству вида

Loga f (x) < loga g(x)

Log5 (3x+1)<2, log5 (3x+1)<2log5 5, log5 (3x+1)<log5 52 .

При a >1 функция y = loga t в области определения D ( loga ), задаваемой неравенством t > 0, монотонно возрастает, то есть, если t 1 > t 2 >0, тоloga t 1 > loga t 2. Учитывая это, запишем затем, используем формулу перехода от простейшего логарифмического неравенства к двойному неравенству:

Если a > 1, то

Loga f(x) < loga g(x) – 0 < f(x) < g(x)

Log5 (3x+1) < log5 52, 0 < 3x + 1 < 52 , -1 < 3x < 25 – 1,

11

3 < x < 8, x с 3; 8.

1

Ответ: 3; 8.

3. Найдите все решения уравнения

Sinxcosx – v3cosx = 0, принадлежащие отрезку |0; 2 п|.

Решение.

Разложим на множители левую часть уравнения и, учитывая условие задачи, что x с |0; 2п|, в результате получим следующую систему:

Sinx cosx – v3cosx=0, cosx(sinx-v3)=0.

|cosx=0

|sinx-v3=0

0< x< 2п

Используя формулу решения простейшего тригонометрического уравнения

Cosf (x)=0-f (x)=п +пn, n c Z 2

Решим уравнение (1):

Cosx=0, x=п +пn, n с Z

Подставляя (4) в двойное неравенство (3), получим:

0< п +пn < 2п, п < пn< 2п п

222, п < п n < 3п 1 < n< 3

2 п п 2 п, 2 2.

Так как n с Z, то n =0 и n =1. Подставляя n =0 и n =1

В уравнение (4), получим:

Sinx=v3 – решений нет, так как – 1< sinx< 1 при любых значениях x.

Ответ: п 3п

2, 2.

4. Найдите наименьшее значение функции

F (x)=3×2 -18x+7 на промежутке [-5; -1].

Решение.

Функция непрерывна и дифференцируема в каждой точке промежутка |-5; -1|.

Наименьшее (и наибольшее) значения непрерывной на отрезке функции могут достигаться либо на концах отрезка, либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку.

Найдем производную f ( x ) функции f ( x ), используя свойства производной (теоремы о дифференцировании суммы функций и о вынесении постоянного множителя за знак производной) и формулу дифференцирования степенной функции:

(f (x) +g (x)) =f (x) + g (x)

(xm ) = m xm -1
C=0

F (x)=(3×2 -18x+7) =3 (x2 )-18 x +7=3 2×2-1 -18 x1-1 +0=6x-18.

Для нахождения критических точек составим и решим уравнение:

F (x)=0

6x-18=0, x=3c[-5; -1].

Так как критическая точка не принадлежит отрезку [-5; -1], то вычислим значения функции f (x) только на концах отрезка [-5; -1] и из них выберем наименьшее значение:

F (x)=3×2 -18x+7,

F (-5)=3 (-5)2 -18 (-5)+7=75+90+7=172,

F (-1)=3 (-1)2 -18 (-1)+7=3+18+7=28.

Наименьшим из вычисленных значений функции является число 28:

Min f (x)=f (-1)=28.

[-5; -1]

Ответ : min f (x)=f (-1)=28.

[-5; -1]

5. Найдите все функции, которые имеют одну и ту же производную: f ( x )= x +5 sinx

Решение.

Найдем область определения D ( f ) функции f (x):

D ( f )=(- ~;~).

Все функции, имеющие производную, равную f (x), называют множеством всех первообразных F ( x ) функции f (x) на некотором промежутке (в данном случае, на области определения D ( f )=(- ~;~)) или, как это общепринято в математике, неопределенным интегралом функции f (x) на указанном промежутке и ( общепринято) обозначают:

| f(x)dx=F(x)+C

Используя свойства неопределенного интеграла

|( f ( x ) + g ( x )) dx = |f ( x ) dx + |g ( x ) dx
|af(x) dx=a|f(x)dx

И таблицу неопределенных интегралов

Xm +1

| xm dx =m+1 + C, где m= -1

|sinx dx = – cosx + C

Получим:

F (x)=| f (x)dx = | (x + 5sinx)dx = | xdx + 5| sinxdx = 1+1 + 5 (- cosx) + C= 2 -5cosx + C.

X1+1 x2

Ответ: F (x) = 2 -5cosx + C.


Область определения функции