Обработка статистических данных и установление закона распределения случайных величин

ГОУ ВПО

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра

“Управление

Эксплуатационной работой”

Расчетно-графическая работа

“Обработка статистических данных и

Установление закона распределения

Случайных величин”

Выполнил: Роднов Е. А.

Студент 232 группы

Проверил: Виноградова Л. Л.

Хабаровск, 2007

В табл. 1 приведены моменты фактического прибытия поездов на станцию, полученные в результате натурных наблюдений.

Необходимо:

1. Составить статистический ряд интервалов прибытия грузовых поездов на сортировочную станцию.

2. Установить основные временные параметры входящего на станцию поездопотока (среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации).

3. Построить гистограмму распределения вероятностей появления интервалов между поездами.

4. Определить параметр в эрланговском распределении интервалов прибытия поездов в парк приема.

5. По внешнему виду гистограммы подобрать теоретический закон распределения.

6. Проверить по критерию согласия Пирсона и условию Романовского правдоподобность гипотезы о выбранном теоретическом распределении интервалов прибытия поездов в расформирование.

7. Рассчитать число бригад ПТО в парке приема (время на техническое обслуживание t то принять равным 20 мин).

Таблица 1

Моменты фактического прибытия поездов на станцию

№ п/пВремя прибытия (ч, мин)№ п/пВремя прибытия (ч, мин)№ п/пВремя прибытия (ч, мин)№ п/пВремя прибытия (ч, мин)№ п/пВремя прибытия (ч, мин)
10-04196-013712-435520-45734-02
20-10206-263813-005622-45744-20
30-25217-123914-105722-49754-30
40-45227-224014-225822-54764-55
51-15237-404114-245922-59775-08
61-30248-014214-506023-15785-15
72-01258-154314-556123-25795-22
82-26269-354416-256223-47806-15
92-40279-454516-356323-51817-05
102-45289-534616-38640-04827-25
112-502910-054716-50650-35837-35
123-483010-154817-40660-48847-44
133-523110-264918-05671-01858-10
143-583210-345018-10681-48868-21
154-153311-055118-36692-38878-27
164-403411-375218-50703-01888-38
175-093512-045319-58713-128910-00
185-433612-205420-11723-50

Решение

Интервалы прибытия определил путем вычитания предыдущего времени прибытия поезда из последующего и представил в табл. 2.

Таблица 2

Интервалы прибытия поездов

№ п/пИнтервал, мин№ п/пИнтервал, мин№ п/пИнтервал, мин№ п/пИнтервал, мин№ п/пИнтервал, мин№ п/пИнтервал, мин№ п/пИнтервал, мин№ п/пИнтервал, мин№ п/пИнтервал, мин
161158211031841265114612271388120
21512422183231425526862472128210
320136232133324390531363137318839
43014172414342744105434643174108426
51515252580351645355120651375258511
631162926103623461256466137613866
72517342783717475057567477778711
814181828123870482558568507878882
95192529103912495591669237953
105204630114025026601070118050

Группировка происходит по классам (разрядам). Количество классов К определил по формуле:

К = (1 + 3,21 ∙ lgn ), (1)

Где n – общее число наблюдений.

К = (1 + 3,21 ∙ lg88) = 7, 24.

Принимаем количество классов К равным 8.

Величину интервала (шаг класса) группирования Iопределил по формуле:

, (2)

Где хmax, хmin – наибольшее и наименьшее значения случайной величины.

.

Далее произвел группирование интервалов по разрядам. В процессе группирования установил, сколько интервалов mi попало в разряд ti – ti+1 . Последующие расчеты основных параметров статистического ряда выполнил в форме табл. 3, в которую свел все промежуточные результаты вычислений.

Таблица 3

Обработка статистического ряда интервалов между моментами

Прибытия поездов на станцию

№ п/пГраницы разрядов, ti – ti+1Число интервалов в разряде, miЧастостьPiСреднее значение в разряде, tiTi ∙ PTi2 ∙ P
12-16,75460,5239,3754,90145,943
216,75-31,5250,28424,1256,854165,345
331,5-46,2550,05738,8752,20985,867
446,25-6160,06853,6253,656196,066
561-75,7520,02368,3751,554106,253
675,75-90,530,03483,1252,834235,560
790,5-105,250097,87500
8105,25-12010,011112,6251,280144,141
Итого88123,287979,176

Для каждого разряда наблюдаемых величин подсчитал их количество и определил частость.

Математическое ожидание М (х) определил по формуле:

, (3)

Где – среднее значение разряда i.

М (х) = 9,375 ∙ 0,523 + 24,125 ∙ 0,284 + 38,875 ∙ 0,057 + 53,625 ∙ 0,068 + 68,375 ∙ 0,023 + 83,125 ∙ 0,034 + 97,875 ∙ 0 + 112,625 ∙ 0,011 = 23,287.

Дисперсию D ( x ) определил по формуле:

D ( x ) = M 2 ( x ) – ( M [ x ])2 , (4)

Где – второй начальный момент случайной величины.

M 2 ( x ) = 9,3752 ∙ 0,523 + 24,1252 ∙ 0,284 + 38,8752 ∙ 0,057 + 53,6252 ∙ 0,068 + 68,3752 ∙ 0,023 + 83,1252 ∙ 0,034 + 97,8752 ∙ 0 + 112,6252 ∙ 0,011 = 979,176.

D ( x ) = 979,176 – 23,2872 = 436,892.

Среднее квадратическое отклонение – это квадратный корень из дисперсии:

. (5)

= 20,902.

Коэффициент вариации Определяется как отношение среднего квадратического отклонение к математическому ожиданию:

. (6)

.

На основании расчетных характеристик (табл. 3) строится гистограмма распределения интервалов прибытия поездов (рис. 1).

Ординату гистограммы определил по формуле:

, (7)

Где ∆ ti = ti +1 – ti шаг конкретного i – го разряда.

Рис. 1. Гистограмма распределения интервалов прибытия поездов

Параметр Эрланга определил по следующей формуле:

, (8)

.

Исходя из найденного значения параметра Эрланга и внешнего вида гистограммы, сделал предположение, что для данного распределения наиболее близок закон показательного теоретического распределения.

Теоретическая вероятность Р*i интервалов определенной величины в их общей совокупности равна:

Р*i = F(ti ) – F(ti – 1 ), (9)

Где F(ti ) и F(ti – 1 ) – функция показательного распределения.

F(ti ) = 1 – е – λti,

F(ti – 1 ) = 1 – е – λti – 1 ,

Где λ – интенсивность поступления поездов на станцию

. (10)

.

Рассчитанные данные занесены в табл. 4.

Таблица 4

Характеристики распределения интервалов

Между поступающими в переработку поездами

Границы разрядов, ti – ti+1Число интервалов в разряде, miλtЕ – λtF(ti )Р*iNР*iMi – nP*i(mi – nP*i )2(mi – nP*i )2 /nР*i
2-16,75460,0860,9180,0820,42937,7318,26968,3761,8122
16,75-31,5250,7190,4890,5110,22920,1134,88723,8851,1875
31,5-46,2551,3530,2610,7390,12210,721-5,72132,7333,0531
46,25-6161,9860,1390,8610,0655,7150,2850,0810,0142
61-75,7522,6190,0740,9260,0353,046-1,0461,0950,3595
75,75-90,533,2530,0400,9600,0181,6241,3761,8941,1660
90,5-105,2503,8860,0210,9790,0100,866-0,8660,7490,8657
105,25-12014,5200,0110,9890,0050,4610,5390,2900,6286
5,1530,0060,994
889,0867

Как видно из последней графы табл. 4 критерий согласия Пирсона χ2 = 9,0867.

Число степеней свободы rопределил по формуле:

R = R – S, (11)

Где R – число разрядов; S – число наложенных связей.

R = 8 – 2 = 6.

Пользуясь специальной таблицей, определяется вероятность Р(χ2 ) = 0,1736. Значит, гипотеза о показательном распределении интервалов поступления поездов на станцию не совсем правдоподобна.

По условию Романовского, гипотеза о принятом теоретическом законе распределения считается правдоподобной, если соблюдается следующее неравенство:

. (12)

, следовательно, расхождение между теоретическим и эмпирическим распределениями не столь существенно и гипотеза о показательном законе распределения интервала прибытия поездов на станцию правдоподобна.

Число бригад ПТО в парке приема рассчитал, исходя из условия:

, (13)

Где Ip – расчетный интервал прибытия поездов; t ТО – время на техническое обслуживание поезда одной бригадой; Б – число бригад.

, (14)

Где Imin – минимальный интервал между поездами, прибывающими на станцию, Imin = 2 мин.

Icp = M(t) = 23, 287.

= 12,64 мин.

Время на техническое обслуживание t ТО принимается равным 20 мин.

Число бригад рассчитал из формулы (13) и округлил до целого числа, следовательно, принял 2 бригады ПТО.


Обработка статистических данных и установление закона распределения случайных величин