Обратимые матрицы над кольцом целых чисел

Министерство образования Российской Федерации

Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Обратимые матрицы над кольцом Zn

Выполнила:

Студентка V курса

Математического факультета

Сычева О. Г.

Научный руководитель:

Д. ф.-м. н., профессор

Вечтомов Е. М.

Рецензент:

К. ф.-м. н., доцент

Чермных В. В.

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой Вечтомов Е М.

” ”

Декан факультета Варанкина В. И.

” “Киров 2003 Содержание:

Введение………………………………………………………………..2 стр.

§1 Основные понятия………………………………………………….3 стр.

§2 Обратимые матрицы над полем Zp

П.1 формула для подсчета обратимых матриц порядка 2 ……….10 стр.

П.2 формула для подсчета обратимых матриц порядка 3 ……….11 стр.

П.3 общая формула подсчета обратимых матриц над полем Zp..16 стр.

§3 Обратимые матрицы над Z n………………………………………17 стр.

Литература…………………………………………………………….27 стр.

Введение

Теория матриц является одним из основных вопросов линейной алгебры.

Цель данной работы: подсчитать количество обратимых матриц над кольцом вычетов и по возможности получить формулу для их вычисления. Для вычисления количества обратимых матриц воспользовались теорией определителей и полным перебором всех возможных вариантов получения элементов в кольцах вычетов.

Вся работа разбита на два этапа:

В §2 показан метод построения обратимых матриц второго и третьего порядков над полем Zp. В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц n-го порядка над полем Zp.

В §3 приведен алгоритм построения обратимых матриц второго порядка над некоторыми кольцами вычетов (приведены конкретные примеры). В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц второго порядка над кольцом классов вычетов Z n.

§1. Основные определения.

Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами. Чаще всего рассматриваются матрицы, заполненные элементами из некоторого поля P.

Элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, указывающими “адрес” элемента – первый индекс дает номер строки, содержащий элемент, второй – номер столбца. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят, что матрица имеет размерность (или – размеров ). Мы будем обозначать матрицы заглавными латинскими буквами, а ее элементы – такими же буквами, но строчными. Таким образом, матрица (размеров ) записывается в форме:

.

Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой. Будем обозначать ее 0 .

Матрица, имеющая одно и то же число n строк и столбцов, называется квадратной. Число n называется порядком квадратной матрицы.

Элементы матрицы, у которых оба индекса равны (i = j ) называются диагональными, а воображаемая прямая, соединяющая все диагональные элементы матрицы называется главной диагональю.

Квадратная матрица, у которой все элементы, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается Е. :

Две матрицы считаются равными, если они одного размера и у них совпадают соответствующие элементы.

Две матрицыA =(a ij ) и B =(b ij ) одного и того же размера Можно складывать, их суммой будет матрица того же размера C =(c ij ), , т. е. чтобы получить сумму двух матрицы достаточно сложить соответственные элементы этих матриц.

Произведение элемента c из поля на матрицу A =(a ij ) определяется следующим образом: cA = (caij ).

Для любой матрицы A существует противоположная – A такая, что A + (- A )=0 .

Все перечисленные свойства непосредственно следуют из определений и свойств операций в поле.

Рассмотрим матрицу A =(a ij ) размером и матрицу B =(b ij ) размером (т. к. произведение матриц определено лишь в том случае, когда число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй). Для таких матриц введем действие умножения матрицы на матрицу, в результате чего получается матрица C = (cij ) размером , где .

Итак, матрицы можно складывать, умножать их на скаляр, а также умножать матрицу на матрицу. Эти действия обладают свойствами:

По сложению:

1. (A + B )+ C = A + (B + C ) – ассоциативность;

2. A + B = B + A – коммутативность;

3. Существует нейтральный элемент – матрица 0: A + 0 = 0 + A = A ;

4. Для матрицы A существует обратный элемент – A : A + (- A )=0 ;

По умножению матриц на скаляр:

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

По умножению матриц:

9. Произведение матриц в общем случае не коммутативно, т. е. AB ВА ;

10. (AB )C = A (BC ) – ассоциативность;

11. (cA )B = A (cB )= cAB ;

12. Дистрибутивность умножения относительно сложения (правая и левая)(A 1 + A 2 )B = A 1 B + A 2 B, A (B 1 + B 2 )= AB 1 + AB 2 ;

13. Существует единственный нейтральный элемент E (если A – квадратная): EA = AE = A. Если же A размером , то Em A = AEn = A.

14. Произведение матрицы А на нулевую матрицу дает в результате так же нулевую матрицу (существуют случаи, когда нулевая матрица получается в результате перемножения ненулевых матриц).

Для квадратных матриц фиксированного порядка n действия сложения и умножения определены всегда, и их результатами являются квадратные матрицы того же порядка. Таким образом, квадратные матрицы фиксированного порядка образуют кольцо.

Определителем n – го порядка квадратной матрицы А, называется алгебраическая сумма n! членов, которыми являются всевозможные произведения по n элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, причем член берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную перестановку, и со знаком минус – если нечетную перестановку.

,

Где (a 1 , a 2 , …, a n ) пробегает все перестановки чисел 1, 2, …, n ; множитель равен +1, если (a 1 , a 2 , …, a n ) – четная перестановка, и равен -1, если нечетная.

Минором элемента aij называется определитель (n -1) – порядка, полученный из данного определителя n – го порядка, путем вычеркивания i – й строки и j – го столбца.

Минор aij элемента обозначается М ij.

Алгебраическим дополнением элемента aij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)i + j.

Алгебраическое дополнение элемента обозначается А ij = (-1)i + j × М ij.

Матрица B называется обратной для матрицы A, если AB = BA = E, где E – единичная матрица. Равенство AB = BA показывает (нетрудно видеть, используя правило умножения матриц), что число строк и столбцов матрицы A должно быть одинаково.

Таким образом, обратная матрица имеет смысл только для квадратных матриц. Далее мы будем рассматривать только квадратные матрицы.

Если матрица А имеет обратную, то она единственна.

Покажем это. Пусть АВ=СА=Е и СВ, тогда заметим: С=СЕ=С (АВ )= (СА )В=ЕВ=В. Что противоречить условию.

Определитель произведения любых двух матриц n – го порядка равен произведению их определителей.

Докажем. Рассмотрим единичные столбцы n – го порядка:

, , …,

Возьмем произведение матрицы АВ на столбец единичных столбцов (т. е. столбец из n n – мерных столбцов)

Тогда =×1=×==

====. Что требовалось доказать.

Заключение данной теоремы также выполняется и для случая, когда элементы матриц взяты из кольца вычетов Zn.

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю и не вырожденной в противном случае.

Для всякой невырожденной матрицы существует обратная матрица.

Покажем это. ПустьA =(a ij ) – невырожденная квадратная матрица (). Рассмотрим матрицу А * = , где Аij – алгебраическое дополнение элементов определителя , причем алгебраические дополнения i – й сроки стоят в i – ом столбце.

Найдем произведение С=АА * , где С= (с ij )

И т. д.

Найдя все элементы матрицы С по описанному выше алгоритму, в итоге, получим следующее:, т. е. . Значит матрица А * – обратная к невырожденной матрице А.

Для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует. Иначе если вырожденная матрица А () имеет обратную А * , тогда верными будут следующие равенства: А – А * =Е,, , . Что в принципе не верно.

Нужно отметить, что невырожденной матрицей над Zn называется матрица, определитель которой является обратимым элементом в Zn.

§2 . Обратимые матрицы над полем Z p

В данном параграфе попытаемся вывести формулу для подсчета количества обратимых матриц в поле Zp, где p – простое.

1. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 2.

Будем рассматривать матрицы .

Алгебраическое дополнение к элементу есть определитель матрицы порядка 1, т. е. . Алгебраическое дополнение к элементу есть определитель матрицы Порядка 1, т. е. .

Нужно найти количество всех невырожденных матриц (когда ). При этом

(1.1)

Формулу выведем в 2 этапа.

1) Пусть (р-1 штук), (р-1 штук),

(по р штук) (1.2) .

Тогда количество матриц, удовлетворяющих данным условиям, вычисляется по формуле

(р-1)2 р2 (1.3)

Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , .

В условии (1.2) не учитываются матрицы вида с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.

Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково.

А) (р-1 штук), и . Из (1.1) получаем равенство . Значит . При заданном (где =1,2…р-1) элемент однозначно выражается через и (количество невырожденных матриц – р-1). Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)3 штук.

Б) , и . Значит . Отсюда . Элемент однозначно выражается через , , , которые принимаю не нулевые значения. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)3 штук

Значит формула (1.3) при условии (1.2) верна.

2) Пусть . Тогда , а из (1.1) получаем что и (как в первом этапе, случае а). Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)2 ×р (1.4)

Этими этапами мы перебрали все случаи невырожденных матриц.

Складывая формулы (1.3) и (1.4) полученные в этапах 1) и 2) получаем формулу для нахождения количества обратимых матриц порядка 2 над полем Zp

(р-1)2 ×р×(р+1) (1.5)

2. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 3.

Будем рассматривать матрицы .

Алгебраические дополнения к элементам , и есть определители матриц , и соответственно, порядка 2, при чем , и .

Нужно найти количество всех невырожденных матриц (). При этом

(2.1)

Формулу выведем в 3 этапа.

1) Пусть (р-1 штук), (их количество по формуле (1.5) ), (по р штук) (2.2) .

Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)3 р5 (р+1) (2.3)

Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , .

При условии (2.2) не учитываются матрицы вида с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.

Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково:

А) (р-1 штук), и . Из (2.1) получаем равенство .

А1) Пусть =0. Тогда и. Значит элементов всего р-1 штук, количество невырожденных матриц – (р-1)2 р(р+1). Т. к то из выражения получаем равенство , т. е. хотя бы один из этих элементов не равен нулю. Пусть . Из того, что получаем .Элементом , принимающим любое значение, можем однозначно задать элемент . Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)4 ×р2 ×(р+1) штук.

А2) Если ¹0, .Тогда и . Значит элементов всего р-1 штук, количество невырожденных матриц – (р-1)2 р(р+1). Т. к , то, из выражения получаем . Пусть . Домножим равенство () на . Заменим на (из того, что ). Получим равенство . Вынесем за скобки и т. к. делаем вывод, что . Значит и (). Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)5 ×р×(р+1) штук.

А3) Если ¹0, и получаем (р-1)4 ×р2 ×(р+1) штук матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждение как в пункте а1)

А4) Если ¹0, , и получаем (р-1)5 ×р×(р+1) штук матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждение как в пункте а2)

А5) Если ¹0, , и . Из того, что получаем . Пусть . Равенство () умножим на и заменим на (). Получим равенство . Вынося за скобки (), замечаем, что элемент однозначно выражается через ( – р-1 штук). Но тогда тоже выражается через эти элементы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)6 ×р×(р+1)штук.

Таким образом, общее количество матриц удовлетворяющих условию пункта а) подсчитывается по формуле (р-1)4 ×р×(р+1)×(р2 +2р-1) (получается суммированием формул полученных в пунктах а1-а5).

Б) (р-1 штук), ((р-1)2 ×р×(р+1)) штук). Т. к. , значит (2.4)

Б1) Пусть =0. Тогда из (2.4) выводится равенство

(2.5)

А из (2.5) получим . Распишем (2.5) : . Т. е. однозначно выражается через элемент , которых может быть р штук, и через элементы , , , , . Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)4 ×р2 ×(р+1).

Б2) Если ¹0, .Тогда получим опять равенство (2.5) и из него. Элементов всего р-1 штук. Т. к , то получаем что . Пусть . Умножив равенство (2.5) на , выражая и произведя замену на получим равенство . А т. к. и делаем вывод, что и выражаются через все остальные элементы матрицы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)5 ×р×(р+1) штук.

Б3) Если ¹0, и получаем (р-1)4 ×р2 ×(р+1) матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждения как в пункте б1)

Б4) Если ¹0, , и получаем (р-1)5 ×р×(р+1) матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждения как в пункте б2)

Б5) Пусть ¹0, , и . Из того, что , получаем . Пусть . Тогда преобразовывая (2.4) получаем, что однозначно выражается через и все остальные элементы.

Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)6 ×р×(р+1) штук.

Таким образом, общее количество матриц удовлетворяющих условию пункта б) подсчитывается по формуле (р-1)4 ×р×(р+1)×(р2 +2р-1) (получается суммированием формул полученных в пунктах б1-б5).

Значит формула (р-1)3 р5 (р+1) для случая 1) при условии (2.2) верна.

2) Пусть , (количество их р-1), (количество высчитывается по формуле (1.5) ) и (по р штук). Тогда из (2.1) получаем

.

Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)3 р4 (р+1) (2.6)

Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , и .

Но при этих условиях не учитываются матрицы вида с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.

Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково:

А) , и . Из (2.1) получаем равенство , , а из того что получаем что, например, элемент однозначно выражается через элемент (р штук) и все остальные элементы. А значит количество матриц с данными условиями (р-1)4 р2 (р+1).

Б) , и . Из (2.1) получаем равенство , . А из можем однозначно выразить, например, элемент через элемент (р штук) и все остальные элементы. А значит количество матриц с данными условиями (р-1)4 р2 (р+1).

3) Пусть , , (количество их p-1), (количество высчитывается по формуле (1.5)) и (по р штук).

Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)[(р-1)2 р(р+1)]×р×р×р (2.7)

Этими этапами мы перебрали все случаи невырожденных матриц порядка 3. складывая формулы (2.3), (2.6) и (2.7), полученные в этапах 1), 2) и 3) получаем формулу для нахождения количества обратимых матриц порядка 3матриц над полем Zp

(р-1)3 р3 (р+1)(р2 +р+1) (2.8)

3. Общая формула для подсчета обратимых матриц над полем Zp.

Используя алгоритм, описанный в предыдущих пунктах, для выведения формулы подсчета количества обратимых матриц, можем получить частные формулы для матриц произвольных порядков.

Например:

Для матриц порядка 4:

(р-1)4 р6 (р+1)(р2 +р+1)(р3 +р2 +р+1).

Для матриц порядка 5:

(р-1)5 р10 (р+1)(р2 +р+1)(р3 +р2 +р+1)( р4 +р3 +р2 +р+1), и т. д.

Анализируя полученные результаты, можем сделать выводы, что общая формула для получения количества обратимых матриц порядка n над полем Zp выглядит так:

Данную формулу тождественными преобразованиями можно привести к виду:

§3. Обратимые матрицы над кольцом Zn

Из теоремы доказанной в § 1 следует, что для определителей матриц A и B выполняется равенство |A-B|=|A|-|B|.

Для обратимых матриц A и B следует A – B=E. Следовательно |A – B|=|A|- |B|=|E|=1.

Таким образом, получаем: определитель обратимой матрицы является обратимым элементом.

Попытаемся сосчитать количество обратимых матриц над некоторыми кольцами вычетов по составному модулю.

Обратимые матрицы над Z4 .

*0123
00000
10123
20202
30321

Всего различных матриц второго порядка над Z4 : 44 =256.

В Z 4 обратимыми элементами являются 1и3. Рассмотрим сколько обратимых матриц с определителем равным 1: |A|=ad-bc=1.

Разобьем на следующие варианты:

1. ad=3. Возможные случаи:

1) a=1 Ù d=3,

2) a=3 Ù d=1,

Bc=2. Возможные случаи:

1) b=1 Ù c=2,

2) b=2 Ù c=1,

3) b=2 Ù c=3,

4) b=3 Ù c=2.

Получили с данным условием 8 обратимых матриц.

2. ad=2.Возможно 4 случая (см. предыдущий пункт).

Bc=1. Возможные случаи:

1) b=c=1,

2) b=c=3.

Получили с данным условием 8 обратимых матриц.

3. ad=1. Возможно 2 случая (см. предыдущий пункт).

Bc=0. Возможные случаи:

1) b=0 Ù c=1,

2) b=0 Ù c=2,

3) b=0 Ù c=3,

4) b=1 Ù c=0,

5) b=2 Ù c=0,

6) b=3 Ù c=0,

7) b=c=0,

8) b=c=2.

Получили сданным условием 16 обратимых матриц.

4. ad=0. Возможно 8 случаев (см. предыдущий пункт).

Bc=3. Возможно 2 случая (см. первый пункт).

Получили с данным условием 16 обратимых матриц.

Таким образом, по данной классификации получаем 8+8+16+16+16=48 обратимых матриц, определитель которых равен 1. Аналогичную классификацию можно составить для обратимых матриц с определителем равным 3, и число таких матриц будет также равно 48.

Следовательно, из 256 квадратных матриц второго порядка над Z4 обратимыми являются 96.

Обратимые матрицы над Z6 .

*012345
0000000
1012345
2024024
3030303
4042042
5054321

Всего различных матриц второго порядка над Z6 : 64 =1296.

В Z 6 обратимыми элементами являются 1 и 5. Аналогично рассмотрим, сколько обратимых матриц с определителем равным 1: |A|=ad-bc=1.

Разобьем на следующие варианты:

1. ad=5. Возможные случаи:

1) a=1 Ù d=5,

2) a=5 Ù d=1,

Bc=4. Возможные случаи:

1) b=1 Ù c=4,

2) b=4 Ù c=1,

3) b=2 Ù c=5,

4) b=5 Ù c=2,

5) b=c=2,

6) b=c=4.

Получили с данным условием 12 обратимых матриц.

2. ad=4.Возможно 6 случаев (см. предыдущий пункт).

Bc=3. Возможные случаи:

1) b=3 Ù c=1,

2) b=1 Ù c=3,

3) b=3 Ù c=5,

4) b=5 Ù c=3,

5) b=c=3.

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

3. ad=3. Возможно 5 случаев (см. предыдущий пункт).

Bc=2. Возможные случаи:

1) b=2 Ù c=1,

2) b=1 Ù c=2,

3) b=2 Ù c=4,

4) b=4 Ù c=2,

5) b=4 Ù c=5,

6) b=5 Ù c=4.

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

4. ad=2. Возможно 6 случаев (см. предыдущий пункт).

Bc=1. Возможные случаи:

1) b=c=1,

2) b=c=5.

Получили с данным условием 12 обратимых матриц.

5. ad=1. Возможно 2 случая (см. предыдущий пункт).

Bc=0. Возможные случаи:

1) b=0 Ù c=1,

2) b=0 Ù c=2,

3) b=0 Ù c=3,

4) b=0 Ù c=4,

5) b=0 Ù c=5,

6) b=1 Ù c=0,

7) b=2 Ù c=0,

8) b=3 Ù c=0,

9) b=4 Ù c=0,

10) b=5 Ù c=0,

11) b=2 Ù c=3,

12) b=3 Ù c=2,

13) b=3 Ù c=4,

14) b=4 Ù c=3,

15) b=c=0.

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

6. ad=0. Возможно 15 случаев (см. предыдущий пункт).

Bc=5. Возможно 2 случая (см. первый пункт).

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

Таким образом по данной классификации получаем 12+30+30+12+30+30=144 обратимых матриц, определитель которых равен 1. Аналогичную классификацию можно составить для обратимых матриц с определителем равным 5, и число таких матриц будет также равно 144.

Следовательно, из 1296 квадратных матриц второго порядка над Z6 обратимыми являются 288.

Обратимые матрицы над Z8

*01234567
000000000
101234567
202460246
303634725
404040404
505274163
606420642
707654321

Всего различных матриц второго порядка над Z8 : 84 =4096.

В Z 8 обратимыми элементами являются 1, 3, 5 и 7. Аналогично рассмотрим, сколько обратимых матриц с определителем равным 1 |A|=ad-bc=1.

Аналогично предыдущим пунктам будем придерживаться той же классификации:

1. ad=7. Возможно 4 случая.

Bc=6. Возможно 8 случаев.

Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.

2. ad=6. Возможно 8 случаев.

Bc=5. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.

3. ad=5. Возможно 4 случая.

Bc=4. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

4. ad=4. Возможно 12 случаев.

Bc=3. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

5. ad=3. Возможно 4 случая.

Bc=2. Возможно 8 случаев.

Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.

6. ad=2. Возможно 8 случаев.

Bc=1. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.

7. ad=1.Возможны 4 случая.

Bc=0. Возможно 20 случаев.

Получили с данным условием 80 обратимых матриц.

8. ad=0. Возможно 20 случаев.

Bc=7. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 80 обратимых матриц.

Таким образом, обратимых матриц, определитель которых равен 1 -384.

Следовательно, из 4096 квадратных матриц второго порядка над Z8 обратимыми являются 1536.

Обратимые матрицы над Z9

*012345678
0000000000
1012345678
2024681357
3036036036
4048372615
5051627384
6063063063
7075318642
8087654321

Всего различных матриц второго порядка над Z9 : 94 =6561.

В Z 9 обратимыми элементами являются 1, 2, 4, 5, 7 и 8.

1. ad=8. Возможно 6 случаев.

Bc=7. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 36 обратимых матриц.

2. ad=7. Возможно 6 случаев.

Bc=6. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 72 обратимых матриц.

3. ad=6. Возможно 12 случаев.

Bc=5. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 72 обратимых матриц.

4. ad=5. Возможно 6 случаев.

Bc=4. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 36 обратимых матриц.

5. ad=4. Возможно 6 случаев.

Bc=3. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 72 обратимых матриц.

6. ad=3. Возможно 12 случаев.

Bc=2. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 72 обратимых матриц.

7. ad=2. Возможно 6 случаев.

Bc=1. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 36 обратимых матриц.

8. ad=1. Возможно 6 случаев.

Bc=0. Возможно 21 случай.

Получили с данным условием 126 обратимых матриц.

9. ad=0. Возможно 21 случай.

Bc=8. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 126 обратимых матриц.

Таким образом, обратимых матриц, определитель которых равен 1 -648.

Следовательно, из 6561 квадратных матриц второго порядка над Z9 обратимыми являются 3888.

Обратимые матрицы над Z10

*0123456789
00000000000
10123456789
20246802468
30369258147
40482604826
50505050505
60628406284
70741852963
80864208642
90987654321

Всего различных матриц второго порядка над Z10 : 104 =1000.

В Z 10 обратимыми элементами являются 1, 3, 7 и 9.

1. ad=9. Возможно 4 случая.

Bc=8. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

2. ad=8. Возможно 12 случаев.

Bc=7. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

3. ad=7. Возможно 4 случая.

Bc=6. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

4. ad=6. Возможно 12 случаев.

Bc=5. Возможно 9 случаев.

Получили с данным условием 108 обратимых матриц.

5. ad=5. Возможно 9 случаев.

Bc=4. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 108 обратимых матриц.

6. ad=4. Возможно 12 случаев.

Bc=3. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

7. ad=3. Возможно 4 случая.

Bc=2. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

8. ad=2. Возможно 12 случаев.

Bc=1. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

9. ad=1. Возможно 4 случая.

Bc=0. Возможно 27 случаев.

Получили с данным условием 108 обратимых матриц.

10. ad=0. Возможно 27 случаев.

Bc=9. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 108 обратимых матриц.

Таким образом, обратимых матриц, определитель которых равен 1 -720.

Следовательно, из 10000 квадратных матриц второго порядка над Z10 обратимыми являются 2880.

Используя выше изложенный метод, было также вычислено количество обратимых матриц для колец вычетов по модулям:10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21. В результате всех вычислений были получены следующие данные (ниже также использованы формулы полученные в § 2):

Z nФормулаКоличество
2(p-1)2 p(p+1)6
3(p-1)2 p(p+1)48
496
5(p-1)2 p(p+1)480
6288
7(p-1)2 p(p+1)2016
81536
93888
102880
11(p-1)2 p(p+1)13200
124608
13(p-1)2 p(p+1)26208
1412096
1523040
1624576
17(p-1)2 p(p+1)78336
1823328
19(p-1)2 p(p+1)123120
2043520
2196768

В итоге анализа полученных результатов эмпирическим путем была получена следующая формула для вычисления количества обратимых матриц второго порядка над кольцом вычетов по произвольному модулю.

Пусть Z n – кольцо вычетов по модулю n, причем n = p 1 k 1 p 2 k 2 … pmkm,

Тогда количество обратимых матриц второго порядка равно:

(p1 -1)2 (p2 -1)2 …(pm -1)2 p1 p2 …pm (p1 +1)(p2 +1)…(pm +1)(p14 )k1-1 (p24 )k2-1 …(pm4 )km-1

Литература

1. Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966.

2. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.

3. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.


Обратимые матрицы над кольцом целых чисел