Определение рационального варианта размещения производственно-хозяйственных предприятий (на примере АБЗ) и выбор оптимального маршрута поездки коммивояжера

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАДИ (ТУ)

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Выполнил: Белоногов М. В.

Группа 4ВЭДС3

Проверил: Беляков Г. С.

Москва 1999-2000

Раздел 1.

Выбор оптимального маршрута поездки.

Постановка задачи:

Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек (пункты Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее в банк (пункт А). Определено время на проезд по различным улицам с учетом интенсивности движения по ним транспортного потока. Требуется найти маршрут движения инкассаторской машины, который начинался и заканчивался бы в пункте А, позволял посетить каждую торговую точку и проехать по соответствующей улице только один раз и характеризовался минимальными затратами времени на поездку. Маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г.

Порядок решения задачи:

1. Определить кратчайшие расстояния между различными парами пунктов используя алгоритм поиска кратчайших путей на циклической сети.

А 1 Б

4 В 2

Д 3 Г

Найдем кратчайшие расстояния до пункта А.

Пункт iАБВД14
Yi0¥¥¥¥¥
2813178,329
16,64

Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а расстояние от А до самого себя равным нулю.

Затем пересчитываем величины yi используя правило:

Если yj + lij < yi, то величина yi = yj + lij, в противном случае yi оставляем без изменений. Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в него входят.

YA + l4A =0+9=9 < y4 =¥Þ y4 =9

YA + lBA =0+13=13 < yB =¥Þ yB =13

YA + l1A =0+8,32=8,32 < y1 =¥Þ y1 =8,32

Теперь рассматриваем пункт i для которого yi перестала быть равной бесконечности и дуги, которые в него входят.

Y4 + lB4 =9+7=16 > yB =13

Y4 + lД4 =9+8=17 < уД =¥Þ yД =17

YВ + lДВ =13+12=25 > yД =17

YВ + lБВ =13+15=28 < уБ =¥Þ yБ =28

YВ + l1В =13+9=22 > у1 =8,32

Y1 + lВ1 =8,32+10=18,32 > yВ =13

Y1 + lБ1 =8,32+8,32=16,64 < уБ =28 Þ yБ =16,64

YД + l4Д =8,32+17=25,32 > y4 =9

YД + lВД =17+12,32=29,32 > yВ =13

YБ + lВБ =16,64+15,32=31 > yВ =13

YБ + l1Б =16,64+8=24,64 > y1 =8,32

Теперь проверим условие lij ³ yi – yj для всех дуг сети.

L4A = у4 – уА 9=9-0

L4Д >у4 – уД 8,32>9-17

LД4 = уД – у4 8=17-9

LДВ >уД – уВ 12>17-13

LBA = yB – yA 13=13-0

LBД > yB – yД 12,32>13-17

LBБ > yB – yБ 15,32>13-16,64

LB4 > yB – y4 7>13-9

LB1 > yB – y1 10>13-8,32

LБВ >уБ – уВ 15>16,64-13

LБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32

L1А = у1 – уА 8,32=8,32-0

L1В >у1 – уВ 9>8,32-13

L1Б >у1 – уБ 8>8,32-16,64

Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется условие:

Lij = yi – yj

Таковыми являются:

L4A = у4 – уА 9=9-0

LД4 = уД – у4 8=17-9

LBA = yB – yA 13=13-0

LБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32

L1А = у1 – уА 8,32=8,32-0

Кратчайшие расстояния до пункта А равны:

Пункт4ДБ1В
Расстояние до А91716,648,3213

Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов.

2. Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д.

АБВГД
А1613,3217,64
Б16,641521
В1315,321512,32
Г21,6415,3216
Д171216,32

3. Математическая модель задачи коммивояжера:

Найти минимальное значение целевой функции z

N+1 n+1

Min z = SSlij * xij

I=1 j=1

При следующих ограничениях:

– из каждого города i нужно уехать только один раз

N+1

Sxij = 1 i=1, ……, n+1

J=1

– в каждый город j нужно приехать только один раз:

N+1

Sxij = 1 j=1, ……, n+1

I=1

– переменные xij могуть принимать одно из двух значений: 0 или 1,

1 – если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j

0 – в противном случае

– решение есть простой цикл

4. Решение задачи:

АБВГД
А1613,3217,64
Б16,641521
В1315,321512,32
Г21,6415,3216
Д171216,32

Б – Г, Д – В, В – А, А – Б, Г – Д

Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок. (2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы в строке и столбце содержащем элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим. Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент.

В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты:

А – Б – Г – Д – В – А

Minz = 16+21+16+12+13 = 78

Раздел 2.

Определение рационального варианта размещения производственных предприятий (на примере АБЗ).

Постановка задачи:

В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. Территория района разбита на 4 части, потребности которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять:

B1 = 50.000 т

B2 = 60.000 т

B3 = 45.000 т

B4 = 70.000 т

Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час.

Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку потребителям были минимальными.

Затраты на приготовление аб, руб

Мощность АБЗПриведенные затраты на приготов-е 1т аб АБЗ, располож-м в пункте, руб, Cpi + E*Kpi уд
Т/часТыс. т/год1234
1018484489495481
2545423428435420
5090405410416401

Затраты на транспортировку 1т аб потребителям, Сij, руб

Пункт размещенияЗона-потребитель
128,360,345,390,3
261,330,393,348,3
350,395,333,362,3
499,354,365,336,3

Математическая модель транспортной задачи:

M n

Min z = SSCij * xij

I=1 j=1

Ограничения:

N

-Sxij = ai i=1, ……, m

J=1

Весь продукт ai имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю.

M

-Sxij = bj j=1, ……, n

I=1

Спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен

– xij ³ 0 i=1, …., m; j=1, …., n

Xij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю

Транспортная таблица:

Мощность АБЗСпрос зон-потребителей, тыс. т/год
Тыс. т/годB1 =50B2 =60B3 =45B4 =70Bф =135UiKi
433,3440,3 < 465,3449,3 < 450,3437,3 < 495,30
X1 =90504005/9
433,3 < 471,3440,3449,3 < 503,3437,3 < 458,30
X2 =90603006/9
433,3 < 466,3440,3 < 511,3449,3437,3 < 478,30
X3 =9045450½
433,3 < 500,3440,3 < 455,3449,3 < 466,3437,30
X4 =90702007/9
Vj433,3440,3449,3437,30

Так как задача не сбалансирована, то определяем спрос фиктивного потребителя:

Вф =Sаi – S bj = 360 – 225 = 135 тыс. т/год

В верхний правый угол клеток вносится суммарная величина приведенных затрат на приготовление и транспортировку 1т аб, Сpi + E*Kpi + Cij

С помощью правила минимального элемента вносим в таблицу перевозки xij.

Проверяем план на вырожденность:

M + n – 1 = 8 = 8 (занятых клеток), следовательноплан является невырожденным.

Строим систему потенциалов поставщиков и потребителей. Для этого потенциал столбца или строки с наибольшим кол-вом занятых клеток приравниваем нулю, в данном случае это потенциал столбца Bф, остальные потенциалы определяем исходя из условия оптимальности для занятых клеток(Ui + Vj = Сpi + E*Kpi + Cij ).

Проверяем план на оптимальность:

– число занятых клеток не должно превышать величину m + n – 1

– для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна равняться суммарной величине затрат на приготовление и транспортировку 1т аб.

– для каждой свободной клетки должно выполняться неравенство :

Ui + Vj <Сpi + E*Kpi + Cij

Все три условия выполняются, следовательно план является оптимальным с точки зрения транспортной задачи.

Определяем значения коэффициентов интенсивности.

Ki = S xij / xi

S xij – cуммарный объем поставок i-го АБЗ реальным потребителям

Xi – мощность i-го АБЗ

Так как ни один Ki не равен нулю или единице, то рассматриваемый вариант размещения АБЗ соответствующей мощности не есть наилучший, поэтому необходимо его улучшить.

Отыскиваем смешанную строку с минимальной величиной Ki и в этой строке мощность АБЗ уменьшаем до следующей возможной величины, в нашем случае это третья строка.

Строим новую транспортную таблицу не забывая, что суммарная мощность АБЗ должна равняться суммарному спросу потребителей. Также необходимо пересчитать величину Сpi + E*Kpi + Cij для клеток третьей строки.

Мощность АБЗСпрос зон-потребителей, тыс. т/год
Тыс. т/годB1 =50B2 =60B3 =45B4 =70Bф =90UiKi
433,3424,3 < 465,3450,3421,3 < 495,3-16< 0
X1 =905040-161
449,3 < 471,3440,3466,3 < 503,3437,3 < 458,30
X2 =90603006/9
449,3 < 485,3440,3 < 530,3466,3 < 468,3437,3 < 497,30
X3 =454500
449,3 < 500,3440,3 < 455,3466,3437,30
X4 =9057015015/18
Vj449,3440,3466,3437,30

Новый вариант также не является наилучшим, поэтому уменьшаем мощность АБЗ во втором пункте.

Мощность АБЗСпрос зон-потребителей, тыс. т/год
Тыс. т/годB1 =50B2 =60B3 =45B4 =70Bф =45UiKi
433,3439,3 < 465,3450,3421,3 < 495,3-18< 0
X1 =905040-16
452,3 < 489,3458,3469,3< 521,3440,3 < 476,31 > 0
X2 =4545 _+3
451,3 < 485,3457,3 < 530,3468,3439,3 < 497,30
X3 =450 +_ 452
449,3 < 500,3455,3466,3437,3-2 < 0
X4 =9015 +5 _700
Vj449,3455,3466,3437,3-2

Для одной свободной клетки не выполняется условие Ui + Vj <Сpi + E*Kpi + Cij поэтому план необходимо улучшить.

Строим цикл для этой клетки. Вершине свободной клетки присваиваем знак “-“, для остальных вершин этот знак чередуется. Перевозка хп = 5. Перемещаем эту перевозку по циклу, прибавляя ее в клетках со знаком “+” и отнимая в клетках со знаком “-“. После строим новую транспортную таблицу с учетом изменений.

Мощность АБЗСпрос зон-потребителей, тыс. т/год
Тыс. т/годB1 =50B2 =60B3 =45B4 =70Bф =45UiKi
433,3440,3 < 465,3450,3422,3 < 495,3-18 < 0
X1 =905040-181
451,3 < 489,3458,3468,3 < 521,3440,3 < 476,30
X2 =4540508/9
451,3 < 485,3458,3 < 530,3468,3440,3 < 497,30
X3 =4554001/9
448,3 < 500,3455,3465,3 < 466,3437,3-3 < 0
X4 =902070-31
Vj451,3458,3468,3440,30

План является оптимальным, теперь подсчитываем коэффициенты интенсивности. Так как не все коэффициенты равны нулю или единице, то уменьшаем мощность завода в 3-м пункте.

Мощность АБЗСпрос зон-потребителей, тыс. т/год
Тыс. т/годB1 =50B2 =60B3 =45B4 =70Bф =18UiKi
433,3439,3 < 465,3450,3421,3 < 495,3-78 < 0
X1 =905040-161
452,3 < 489,3458,3469,3 < 521,3440,3 < 476,3-59 < 0
X2 =454531
511,3 < 545,3517,3 < 590,3528,3499,3 < 557,30
X3 =18018620
449,3 < 500,3455,3466,3437,3-62 < 0
X4 =901557001
Vj449,3455,3466,3437,3-62

План является оптимальным, подсчитываем значения коэффициентов интенсивности. Так как все коэффициенты равны либо 1, либо 0, то данный план является наилучшим.

Рассчитать значение целевой функции для каждого из промежуточных вариантов и построить таблицу.

Вариант размещенияМощность АБЗ, расположенного в пункте, тыс. т/годЗначение целевой функции, zi, тыс. руб.
М1М2М3М4
15060457098912,5
2906007599037,5
39040590100067,5
4 – наилучший9045090100072,5

Определение рационального варианта размещения производственно-хозяйственных предприятий (на примере АБЗ) и выбор оптимального маршрута поездки коммивояжера