Определение среднестатистических показателей

Задача 17.

Определите среднюю урожайность картофеля в регионе по данным о:

А) посевной площади и валовом сборе;

Б) посевной площади и урожайности;

В) валовом сборе и урожайности.

Объясните, как определена форма средней величины.

ОбластьПосевная площадь, тыс. га

Валовой сбор,

Тыс. т

Урожайность,

Ц/га

А139,802055147
Б102,341484145
В63,29981155

А) при определении средней урожайности картофеля в регионе по данным о посевной площади и валовом сборе используем формулу средней арифметической

W (x*f) – валовый сбор;

Fi – площадь.

Х ср =(20550+14840+9810 )/ (139,80+102,34+63,29)= 148

Б) по данным по посевной площади и урожайности используем формулу средней арифметической взвешенной:

Xi -урожайность по области;

Fi – посевная площадь по области.

Х ср =(139,80*147+102,34*145+63,29*155)/(139,80+102,34+63,29)= 148

В) по данным о валовом сборе и урожайности используем среднюю гармоническую взвешенную:

Хi – урожайность;

W – валовый сбор.

Х ср =(20550+14840+9810 )/(20550/147+14840/145+9810/155) = 148

Задача 27.

В целях изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими завода проведена 10%-ная случайная бесповторная выборка, в результате которой получено следующее распределение деталей по затратам времени:

Затраты времени на одну деталь, мин.Число деталей, шт.
До 2010
От 20 до 2420
От 24 до 2850
От 28 до 3215
Свыше 325
Итого100

1. На основании этих данных вычислите: средние затраты времени на изготовление одной детали, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

2.С вероятностью 0,954 определить:

А) предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе;

Б) необходимую численность выборочной совокупности, чтобы предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не превышала 1 минуты.

Решение:

Для расчетов составим таблицу.

Затраты времени на одну деталь, мин., х iСередина интервала

Число деталей,

Fi

х i * fi(xi – xср )(xi – xср )2(xi – xср )2 * fi
До 201018180-7,353,29532,9
20 – 242022440-3,310,89217,8
24 – 28502613000,70,4924,5
28 – 3215304504,722,09331,35
Свыше 325321606,744,89224,45
Итого1002530131,651331

1) средние затраты времени на изготовление одной детали рассчитаем по формуле средней арифметической взвешенной, предварительно выбрав середину интервала веса:

=2530/100═ 25,3

Средние затраты времени на изготовление одной детали составили 25,3 мин.

2) дисперсию и среднее квадратическое отклонение рассчитаем по формулам:

– дисперсия

σ2 = ((xi – xср )2 * fi ) / Σ fi

σ2 = 1331/100 =13,31

– среднее квадратическое отклонение

σ= √σ2 = √ 13,31 = 3,65

3) коэффициент вариации рассчитаем по формуле

ν = σ / хср *100%

ν = 3,65/ 25,3 * 100 = 14 (%)

ν = 14 %

Коэффициент вариации показывает однородность выборки. Если он ниже 35%, выборка однородная, как и в данном случае.

4) Рассчитаем с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе. Используем для расчета формулу средней ошибки выборочной средней

μ х = √ σ2х /n (1-n/N),

Где σ2х – дисперсия изучаемого признака,

N – численность выборки,

N – число единиц в генеральной совокупности,

N/N = 0,1 (десятипроцентное).

μ х = √ σ2х /n (1-n/N) = √13,31/ (100*(1-0,1)) = 0,3

Предельная ошибка выборки рассчитывается по формуле

∆ х = t * μ х,

Где t – коэффициент доверия, при вероятности 0,954 равен 2

∆ х = t * μ х = 2*0,3= 0,6

Итак, средние затраты времени на изготовление одной детали находится в пределах

Хср ±∆ х, или 25,3 ± 0,6 или от 24,7 до 25,9 мин.

Б) необходимую численность выборочной совокупности, чтобы предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не превышала 1 минуты, рассчитаем по формуле:

N= ( 22 *13,312 *1000) / ( 12 * 1000+22 *13,312 ) = 414

Численность выборочной совокупности, где предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не превышает 1 минуты составит 414 деталей.

Задача 37.

Имеются данные о среднедушевых доходах населения области за 1993-2002 гг. (тыс. руб.) в сопоставимых ценах:

Год1993199419951996199719981999200020012002
Доход ы100117128154163150132144158164

Требуется выявить основную тенденцию среднедушевых доходов населения области 1993-2002 гг.:

1) методом сглаживания рядов динамики с помощью скользящей трехзвенной средней;

2) методом аналитического выравнивания ряда динамики по уравнению прямой;

3) Используя результаты п.2, дайте прогноз на 2003 год.

4) Охарактеризуйте за 1993-2002 гг. среднегодовой абсолютный прирост и темп прироста доходов.

Решение.

1) выявим тенденцию методом сглаживания рядов динамики с помощью скользящей трехзвенной средней по формуле:

Год1993199419951996199719981999200020012002
Доходы100117128154163150132144158164
115133148156148142145155

2) выявим тенденцию методом аналитического выравнивания ряда динамики по уравнению прямой вида:

=а+ b*t

Произведем необходимые вычисления в таблице, обозначив время t.

tУt* Уt 2
1100100191
21172344100
318549109
415461616117
516381525126
615090036134
713292449143
8144115264151
9158142281160
101641640100169
ИТОГО55130078573851300
Среднее5,5130,0785,738,5

Решим систему уравнений вида:

А*n+b ∑t= ∑у

а∑t+ b ∑t2 = ∑у*t

Подставим рассчитанные значения

10 *а +b*55 = 1300

A*55+b*385 =7857

Рассчитаем параметры а, bпо формулам

B=

А = ;

B =(10*7857-55*1300)/(10*385-55*55)= 8,5697

А = 130-8,5697*5,5 = 82,8667

Рассчитанное уравнение регрессии имеет вид

Уt = 82,8667+8,5697*t

Для проверки его правильности рассчитаем выравненные значения у.

=∑ у, следовательно, уравнение рассчитано верно.

Представим графически полученные выше расчеты.

Прогноз на 2003 год составит:

У11 = 82,8667+8,5697*11=177

4) Среднегодовой абсолютный прирост за 1993-2002 гг. рассчитаем по формуле:

∆ср = (Уn-У1 ) / (n-1)

∆ср = (164-100)/9= 7

Среднегодовой темп роста рассчитаем по формуле

N -1________

Тр (ср) =√ Yi /Y1 *100%

10 -1________

Тр (ср) =√ 164 /100 *100% = 105,1

Задача 47.

Имеются следующие данные:

Товар

Цена за 1 кг в

Базисном периоде, руб.

Продано, тИндивидуальные индексы цен
Базисный периодОтчетный период
А0,50120015001,01
Б1,20420063000,85
В2,45200025000.97

Рассчитайте:

А) индекс физического объема реализации;

Б) индекс цен и индекс товарооборота.

Разложите общую сумму прироста товарооборота по факторам. Сделайте выводы.

Вычислим:

А) индекс физического объема реализации по формуле

= 1350/1312,5=1,029, или 102,9 %

Уpq = (0,5*1500+6300*1,2+2500*2,45)/(1200*0,5+4200*1,2+2000*2,45)=

=14435/10540=1,3695

Физический объем реализации увеличился на 36,95 %.

Б) Индекс цен рассчитаем по формуле

Y р = ∑ р0q1*iр / ∑ р0q1

Y р = (0,5*1500*1,01+6300*1,2*0,85+2500*2,45*0,97)/(1500*0,5+6300*1,2+2500*2,45)

=13125/14435 = 0,909, или 90,9%

В среднем цены снизились на 9,1 %.

Индекс товарооборота рассчитаем по формуле

= (0,5*1500*1,01+6300*1,2*0,85+2500*2,45*0,97)/(1200*0,5+4200*1,2+2000*2,45)=

= 13125/10540=1,245, или 124,5 %

Товарооборот по трем видам увеличился на 24,5 %.

Прирост товарооборота всего составил:

13125-10540 = 2585

Изменение за счет увеличения физического объема:

14435-10540=3895

Изменение за счет снижения цен:

13125-14435 = -1310

ИТОГО: 3895-1310 = 2585

Задача 57.

Имеются следующие данные о реализации сельскохозяйственных продуктов на колхозных рынках двух городов в сентябре месяце:

ГородТоварПродано, тСредняя цена за 1 кг, д. е.
1994199519941995
АМясо706110,015,0
Картофель1801621,22,5
БМясо30271,02,0
Картофель2823000,72,0

1. Для города “А” определите:

1) индекс товарооборота;

2) общий индекс цен на проданные товары (среднее изменение

Цен);

3) общий индекс физического объема товарооборота (количества проданных товаров);

Покажите взаимосвязь исчисленных индексов.

2. Для двух городов вместе (по картофелю) вычислите:

Индекс цен переменного состава (изменение средней цены);

Индекс цен постоянного состава (среднее изменение цен);

Индекс структурных сдвигов.

Решение:

Произведем дополнительные расчеты и представим в таблице

Наименование товаровПродано, тСредняя Цена, д. е.Объем продаж в ценах базисного годаОбъем продаж в ценах отчетного года
ОбозначениеQ0Q1Р0Р1р0 q0Р0 q1Q0р1Q1 р1
Мясо706110,015,07006101050915
Картофель1801621,22,5216194,4450405
ИТОГО916804,415001320

1.1) Индекс товарооборота для города “А” рассчитаем по формуле

= 1320/916=1,441, или 144,1 %

Товарооборот по обоим видам в связи с увеличением цен увеличился на 44,1%.

2) общий индекс цен на проданные товары (среднее изменение цен)

Рассчитаем по формуле

Y р = ∑ р1q1 / ∑ р0q1

Y р =1320 /804,4=1,641, или 164,1%

В среднем цены увеличились на 64,1 %.

3) общий индекс физического объема товарооборота (количества проданных товаров) по формуле

= 804,4/916=0,878, или 87,8 %

В среднем объем снизился на 12,2 %.

Взаимосвязь индексов исчисляется: Y рq = Y р * Yq

Y рq = 1,641*0,878=1,441

2. Для двух городов вместе (по картофелю) вычислим:

Индекс цен переменного состава (изменение средней цены) рассчитаем по формуле

Yпер. сост. = ∑ р1 q 1 : ∑ р0 q 0

∑q1 ∑q0

Yпер. сост. = ((2,5*162+2*300)/(162+300))/ ((1,2*180+0,7*282)/(180+282))=2,431

Индекс цен постоянного состава (среднее изменение цен);

Yпост. сост. = ∑ р1 q 1 : ∑ р0 q 1

∑q1 ∑q1

Yпост. сост. = ((2,5*162+2*300)/(162+300))/ ((1,2*162+0,7*300)/(162+300))=2,485

Индекс структурных сдвигов рассчитаем по формуле

Y стр. сдв. = ∑ р0 q 1 : ∑ р0 q 0

∑q1 ∑q0

Yстр. сост. =((1,2*162+0,7*300)/(162+300))/ ((1,2*180+0,7*282)/(180+282))=0,978


Определение среднестатистических показателей